湖北省枣阳市白水高级中学2016年高三8月模拟考试数学(理)试题

湖北省枣阳市白水高级中学 2016 年高三模拟数学试题（理科）
命题人：刘作晶 2015.8.24

第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.） 1．不等式组 ? A． (0, 3 )

?| x ? 2 |? 2,
2 ?log 2 ( x ? 1) ? 1

的解集为 （

）

B． ( 3 ,2)

C． ( 3 ,4)

D． (2,4) （ ）

2．已知全集 U ? R, A ? ?x | x ? 0?, B ? ?x | x ? ?1? ，则集合 A． ?x | ?1 ? x ? 0? B． ?x | ?1 ? x ? 0? C． x | x ? ?1或x ? 0

?

? ?

D． x | x ? ?1或x ? 0

?

3 ．已知函数 f ( x) ? ?

?2 ? x ? 2 , (0? x ? 4) ，若存在 x1 , x2 ，当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时， x ?2 ? 2 ? 3, (4 ? x ? 6)
） C． [1, 6] D． [0,1] ? [3,8] ）

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是（
A． [0,1) 4．已知双曲线 B． [1, 4]

y2 x2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ，则双曲线的渐近线方程为 （ a 2 b2
B． y ? ? 2 x C． y ? ?2 x

y??
A．

2 x 2

y??
D．

1 x 2

5．已知向量 a ? (? ,1) ， b ? (? ? 2,1) ，若 A．2 B． ? 2

? ? ? ? a ?b ? a ?b
C．1

，则实数 ? 的值为 D． ? 1

x2 ? x ?1 2 , 若f (a) ? , 则f (?a) ? （ ） 6．已知函数 f ( x) ? 2 3 x ?1
A．

2 3

B． ?

2 3

C．

4 3

D． ?

4 3

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 7 ． 已 知 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0, 构 成 平 面 区 域 ? （ 其 中 x , y 是 变 量 ） ．若目标函数 ?y ? 0 ?
z ? ax ? 6 y (a ? 0) 的最小值 为-6，则实数 a 的值为（
A． ） D．

3 2

B．6

C．3

1 2
）

? ?? ? sin ? cos 3 2 8．若 sin(? ? ? ) ? ， ? 是第三象限的角，则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
1 1 B． ? C． 2 2 2 9．执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ）
A．

?? 2 ?（ ?? 2
D． ?2

A．4

B．5

C．6
2

D．7
2

10．若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4，则

1 1 ） ? 的最小值是（ a b 1 1 A． B．－ 2 2

C．－2

D．4

第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置 上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分． ）
2 11 ． 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 S n ， 且 S n ＝ 3n ? 2n ? 1 ， 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an

＝

． ．

12．求值： tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ?

13． 在极坐标系中， 极点为 O ， 曲线 C1 : ? ? 6sin ? 与曲线 C2 : ? sin(? ? ) ? 上的点到曲线 C2 的最大距离为 ． ．

? 4

2， 则曲线 C1

14．阅读如图所示的程序框图，输出的结果 S 的值为

15． 2 ?

2 3 4 5 , 3 ? , 4 ? , 5 ? , L ，由此猜想出第 n(n ? N? ) 个数是 3 8 15 24

．

1 在 ?1, ?? ? 上是增函数， 实数 a 的取值范围是 ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17． 已知 a 、b 、c 是三个非零向量， 命题 “若 a ? b ， 则 a ?c ? b ?c ” 的逆命题是
16． 已知 a ? 0 ， 函数 f ? x ? ? ln x ? 题（填真或假） ．

． 命

三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.） 18．(本小题满分 12 分)为了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了 100 位居民的月均用水 量下图是调查结果的频率直方图. （1）估计该样本的平均数和中位数； （结果精确到 0.01） ； （2）由（1）中结果估算该市 12 万居民的月均用水总量。

频率/组距 0.54 0.44 0.30 0.28 0.16 0.12 0.08 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量/t

19． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ?

?x
1? x
?

( x ? 0, ? 为常数，数列 {an } 满足： a1 ?

1 ， an ?1 ? f (an ) ， n ? N * ． 2

（1）当 ? ? 1 时，求数列 {an } 的通项公式； （ 2 ） 在 （ 1 ） 的 条 件 下 ， 证 明 对

?n ? N *

有

：

a1a2a 3 ? a 2a 3a 4 ? L ? an a n? 1a n? 2 ?

n(n ? 5) ； 12(n ? 2)(n ? 3)
2 ?1 ． 8

（3）若 ? ? 2 ，且对 ?n ? N * ，有 0 ? an ? 1 ，证明： an ?1 ? an ? 20． （12 分）平面内给定三个向量 a ? ?3,2?, b ? ??1,2?, c ? ?4,1? （1）求满足 a ? mb ? nc 的实数 m 、 n ； （2）设 d ? ?x, y ? 满足 d ? c // a ? b 且 d ? c ? 1 ，求 d . 21． （本题满分 14 分） 设函数 f ( x) ? cos x ?
2

? ?? ?
) 上的值域.

（1）求 f ( x) 在 (

? 2?
6 , 3

1 ? 1 sin(2 x ? ) ? . 2 2 2

（2）设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角，若角 C 满足 f ( ) ?

C 2

2 且边 c ? 2a ,求角 A . 2

22． （本小题满分 15 分）在 ?ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， 若 3a c o s （1）求角 C 的大小； （2）若 a ? 3 ， ?ABC 的面积为

Cn i sc ? A

。

??? ? ??? ? 3 3 ，求 CA ? AB 的值。 2

数学答案（理科）
选择题 1-5 CDBAD 6-10CCBAD 填空题

11． an ? ?

n ?1 ?4 2 3 n ?1 3? 12． 3 13． 14． 15． (n ? 1) ? 16． [1, ??) 2 2 (n ? 1)2 ? 1 ?6n ? 1 n ? 2

17． 假命题. 解答题 18． （1）平均数为 (0.08? 0.25 ? 0.16 ? 0.75 ? 0.30 ? 1.25 ? 0.44 ? 1.75 ? 0.54 ? 2.25 ?

0.28? 2.75 ? 0.12? 3.25 ? 0.08? 3.75) ? 0.5 ? 1.98 .
因为 (0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44) ? 0.5 ? 0.49 , 所以中位数为 2 ?

??4 分

0.5 ? 0.49 ? 2.02 . 0.54

??8 分

（2）若以样本平均数来估算 12 万居民的月均用水总量： 120000 ?1.98 ? 237600(t ) , 若以样本中位数来估算： 120000 ? 202 ? 242400(t ) （两者求出其一即可）. ??12 分 19． （1）当 ? ? 1 时， an ?1 ? f (an ) ?

an ， 1 ? an
??2 分

两边取倒数，得

1 1 ? ? 1， an ?1 an

故数列 {

1 1 } 是以 ? 2 为首项，为公差的等差数列， an a1
??4 分

1 1 ，n? N *． ? n ? 1 ， an ? n ?1 an
（2）证法 1：由（1）知 an ?

1 ，故对 k ? 1, 2,3... n ?1
??6 分

ak ak ?1ak ? 2 ?
所

1 1 1 1 ? [ ? ] (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3)
以

a1a 2 a ? ? an a n ? a n ? 1 3 a a2a 3? ...... 4

2

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ... ? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ? 5 ( n ? 1) ? ( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 1 1 1 n(n ? 5) ． ? [ ? ]? 2 2 ? 3 (n ? 2)( n ? 3) 12(n ? 2)(n ? 3)
证法 2：①当 n=1 时，等式左边 ? ??9 分

1? (1 ? 5) 1 1 1 ，等式右边 ? ，左 ? ? 2 ? 3 ? 4 24 12 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) 24

边=右边，等式成立； ②假设当 n ? k (k ? 1) 时等式成立， 即 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? 则当 n ? k ? 1 时

??5 分

k (k ? 5) ， 12(k ? 2)(k ? 3)

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? ak ?1ak ? 2 ak ?3 ?

k (k ? 5) 1 ? 12(k ? 2)(k ? 3) (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4)

?

k (k ? 5)(k ? 4) ? 12 k 3 ? 9k 2 ? 20k ? 12 ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) k 2 (k ? 1) ? 4(k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 6) (k ? 1)[(k ? 1) ? 5] ? ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12[(k ? 1) ? 2][(k ? 1) ? 3]
??8 分

?

这就是说当 n ? k ? 1 时，等式成立， 综①②知对于 ?n ? N * 有：

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2 ?
（3）当 ? ? 2 时， an ?1 ? f (an ) ?

n(n ? 5) ． 12(n ? 2)(n ? 3)

??9 分】

2an 2 1 ? an
??10 分

则 an ?1 ? an ?

2an 1 ? an ， ? an ? an (1 ? an ) 2 2 1 ? an 1 ? an

∵ 0 ? an ? 1 ， ∴ an ?1 ? an ? an (1 ? an )

1 ? an a ? 1 ? an 2 1 ? an ?( n ) ? 2 2 1 ? an 2 1 ? an

??1 1 分

?

1 ? an 1 ? 2 4 (1 ? an ) ? 2(an ? 1) ? 2

?

1 1 2 ?1 1 1 ． ? ? ? ? 8 4 a ?1? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 n an ? 1
2 不能同时成立，∴上式“=”不成立， an ? 1 2 ?1 ． 8

??13 分

∵ an ? 1 ? an 与 an ? 1 ?

即对 ?n ? N * ， an ?1 ? an ?

??14 分

证法二： 当 ? ? 2 时， an ?1 ? f (an ) ?
3 2an an ? an ? a ? n 2 2 1 ? an 1 ? an

2an ， 2 1 ? an
??10 分

则 an ?1 ? an ?

又 Q an ? (0,1),?

an ?1 2 ? ? 1, 2 an 1 ? an
??11 分

1 ? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2
令 g ( x) ?

? x4 ? 4x2 ? 1 x ? x3 1 ? g ( x ) ? , 则 , x ? [ ,1), (1 ? x 2 ) 2 1 ? x2 2

??12 分

当

1 1 x ? [ ,1), g ?( x) ? 0, 所 以 函 数 g ( x) 在 [ ,1) 单 调 递 减 ， 故 当 2 2 1 1 3 ?( ) 1 3 2 ?1 ??14 分】 x ? [ ,1), g ( x) ? 2 2 ? ? , 所以命题得证 1 2 10 8 2 1? ( ) 2
法 三 ： 当

证

? ?2

时

，

an ?1 ? f (an ) ?

2an 2 1 ? an
??11 分

，

Q an ? (0,1),?

an ?1 2 1 ? ? 1,? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2 an 1 ? an 2

an ?1 ? an ?

2an 2an ?1 1 ? an an ?1 ? ? 2? (an ? an ?1 ) 2 2 2 2 1 ? an 1 ? an ?1 (1 ? an )(1 ? an ?1 )

1 1 1? ? 24 2 2 ? 2? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 1 1 25 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 2
? 数列 {an ?1 ? an } 单调递减，

1 2 ? 1 ? 3 ? 2 ?1 ， ? an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1 2 2 10 8 1? ( ) 2 2?
所以命题得证 ??14 分】

5 ? m? , ? ??m ? 4n ? 3 ? 9 20． （1）由题意得 (3, 2) ? m(?1, 2) ? n(4,1) ，所以 ? ，解得 ? ?2m ? n ? 2 ?n ? 8 . ? 9 ?

（2）∵ d ? c ? ?x ? 4, y ?1? ， a ? b ? ?2,4? ，又 d ? c // a ? b 且 d ? c ? 1 ,

? ?? ?

?4( x ? 1) ? 2( y ? 1) ? 0, ∴? 2 2 ?( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 1,

? ? 5 5 , ?x ? 4 ? , ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? ? y ? 1? 2 5 ? y ? 1? 2 5 , ? ? 5 5 ? ?

∴d ??

? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? 或( , , ) ? ? 5 5 5 5 ? ?
??????3 分

21．（1） f ( x) ? cos 2 x, 值域为 [ ?1, ) （2） cos C ?

1 2

???????6 分

2 , 2
1 ? ,a ? c ? A ? 2 6

???????9 分

由正弦定理得 sin A ?

???????13 分

22 ． （ 1 ）根据正弦定理： 3a cos C ? c sin A 可化为 3 sin A cos C ? sin C sin A ，约掉 sin A 得
3 cos C ? sin C ，即 t a n C?3 ， 从而得 C ?

?
3

； （2） 因为 a ? 3 ，C ?

?
3

，△ ABC 的面积为

3 3 ， 2

所以

1 ? 3 3 ? 3b s i n ? ， 由 此 得 b?2 ， 再 由 余 弦 定 理 可 得 c? 7 ， 从 而 求 得 2 3 2
22 ? ( 7 2? )
2

c oA s?

2? 2? 7

3 ?

14

，

7

??? ? ??? ? 7 所以 CA?AB ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (? ) ? ?1 . 14 ∵ 3a cos C ? c sin A ， 由正弦定理得： 3 sin A cos C ? sin C sin A ， 2 分 ∵ 0 ? A ? ? ，∴ sin A ? 0 ， 3 分 ∴ 3 cos C ? sin C ，即 tan C ? 3 ， 5 分 ? 又 0 ? C ? ? ，∴ C ? ； 6 分
3

（2）∵ a ? 3 ， △ ABC 的面积为 ∴ ? 3b sin
1 2

3 3 ， 2

?
3

?

3 3 ， 7分 2

∴b ? 2 ， 8 分
c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

? 7 ，即 c ? 7 ， 9 分

7 ， 10 分 14

??? ? ??? ? ∴ CA?AB ? bc cos(? ? A) 11 分

? 2 ? 7 ? (?

7 ) ? ?1 . 12 分 14