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湖北省枣阳市白水高级中学2016年高三8月模拟考试数学(理)试题



湖北省枣阳市白水高级中学 2016 年高三模拟数学试题(理科)
命题人:刘作晶 2015.8.24

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.不等式组 ? A. (0, 3 )

?| x ? 2 |? 2,

/>2 ?log 2 ( x ? 1) ? 1

的解集为 (



B. ( 3 ,2)

C. ( 3 ,4)

D. (2,4) ( )

2.已知全集 U ? R, A ? ?x | x ? 0?, B ? ?x | x ? ?1? ,则集合 A. ?x | ?1 ? x ? 0? B. ?x | ?1 ? x ? 0? C. x | x ? ?1或x ? 0

?

? ?

D. x | x ? ?1或x ? 0

?

3 .已知函数 f ( x) ? ?

?2 ? x ? 2 , (0? x ? 4) ,若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, x ?2 ? 2 ? 3, (4 ? x ? 6)
) C. [1, 6] D. [0,1] ? [3,8] )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是(
A. [0,1) 4.已知双曲线 B. [1, 4]

y2 x2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为 ( a 2 b2
B. y ? ? 2 x C. y ? ?2 x

y??
A.

2 x 2

y??
D.

1 x 2

5.已知向量 a ? (? ,1) , b ? (? ? 2,1) ,若 A.2 B. ? 2

? ? ? ? a ?b ? a ?b
C.1

,则实数 ? 的值为 D. ? 1

x2 ? x ?1 2 , 若f (a) ? , 则f (?a) ? ( ) 6.已知函数 f ( x) ? 2 3 x ?1
A.

2 3

B. ?

2 3

C.

4 3

D. ?

4 3

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 7 . 已 知 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0, 构 成 平 面 区 域 ? ( 其 中 x , y 是 变 量 ) .若目标函数 ?y ? 0 ?
z ? ax ? 6 y (a ? 0) 的最小值 为-6,则实数 a 的值为(
A. ) D.

3 2

B.6

C.3

1 2


? ?? ? sin ? cos 3 2 8.若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
1 1 B. ? C. 2 2 2 9.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为( )
A.

?? 2 ?( ?? 2
D. ?2

A.4

B.5

C.6
2

D.7
2

10.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则

1 1 ) ? 的最小值是( a b 1 1 A. B.- 2 2

C.-2

D.4

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可,对而不全均不得分. )
2 11 . 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n = 3n ? 2n ? 1 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an



. .

12.求值: tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ?

13. 在极坐标系中, 极点为 O , 曲线 C1 : ? ? 6sin ? 与曲线 C2 : ? sin(? ? ) ? 上的点到曲线 C2 的最大距离为 . .

? 4

2, 则曲线 C1

14.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为

15. 2 ?

2 3 4 5 , 3 ? , 4 ? , 5 ? , L ,由此猜想出第 n(n ? N? ) 个数是 3 8 15 24



1 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 实数 a 的取值范围是 ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. 已知 a 、b 、c 是三个非零向量, 命题 “若 a ? b , 则 a ?c ? b ?c ” 的逆命题是
16. 已知 a ? 0 , 函数 f ? x ? ? ln x ? 题(填真或假) .

. 命

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 12 分)为了了解某市居民的用水量,通过抽样获得了 100 位居民的月均用水 量下图是调查结果的频率直方图. (1)估计该样本的平均数和中位数; (结果精确到 0.01) ; (2)由(1)中结果估算该市 12 万居民的月均用水总量。

频率/组距 0.54 0.44 0.30 0.28 0.16 0.12 0.08 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量/t

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

?x
1? x
?

( x ? 0, ? 为常数,数列 {an } 满足: a1 ?

1 , an ?1 ? f (an ) , n ? N * . 2

(1)当 ? ? 1 时,求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 在 ( 1 ) 的 条 件 下 , 证 明 对

?n ? N *





a1a2a 3 ? a 2a 3a 4 ? L ? an a n? 1a n? 2 ?

n(n ? 5) ; 12(n ? 2)(n ? 3)
2 ?1 . 8

(3)若 ? ? 2 ,且对 ?n ? N * ,有 0 ? an ? 1 ,证明: an ?1 ? an ? 20. (12 分)平面内给定三个向量 a ? ?3,2?, b ? ??1,2?, c ? ?4,1? (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m 、 n ; (2)设 d ? ?x, y ? 满足 d ? c // a ? b 且 d ? c ? 1 ,求 d . 21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? cos x ?
2

? ?? ?
) 上的值域.

(1)求 f ( x) 在 (

? 2?
6 , 3

1 ? 1 sin(2 x ? ) ? . 2 2 2

(2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若角 C 满足 f ( ) ?

C 2

2 且边 c ? 2a ,求角 A . 2

22. (本小题满分 15 分)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 3a c o s (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

Cn i sc ? A



??? ? ??? ? 3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

数学答案(理科)
选择题 1-5 CDBAD 6-10CCBAD 填空题

11. an ? ?

n ?1 ?4 2 3 n ?1 3? 12. 3 13. 14. 15. (n ? 1) ? 16. [1, ??) 2 2 (n ? 1)2 ? 1 ?6n ? 1 n ? 2

17. 假命题. 解答题 18. (1)平均数为 (0.08? 0.25 ? 0.16 ? 0.75 ? 0.30 ? 1.25 ? 0.44 ? 1.75 ? 0.54 ? 2.25 ?

0.28? 2.75 ? 0.12? 3.25 ? 0.08? 3.75) ? 0.5 ? 1.98 .
因为 (0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44) ? 0.5 ? 0.49 , 所以中位数为 2 ?

??4 分

0.5 ? 0.49 ? 2.02 . 0.54

??8 分

(2)若以样本平均数来估算 12 万居民的月均用水总量: 120000 ?1.98 ? 237600(t ) , 若以样本中位数来估算: 120000 ? 202 ? 242400(t ) (两者求出其一即可). ??12 分 19. (1)当 ? ? 1 时, an ?1 ? f (an ) ?

an , 1 ? an
??2 分

两边取倒数,得

1 1 ? ? 1, an ?1 an

故数列 {

1 1 } 是以 ? 2 为首项,为公差的等差数列, an a1
??4 分

1 1 ,n? N *. ? n ? 1 , an ? n ?1 an
(2)证法 1:由(1)知 an ?

1 ,故对 k ? 1, 2,3... n ?1
??6 分

ak ak ?1ak ? 2 ?


1 1 1 1 ? [ ? ] (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3)


a1a 2 a ? ? an a n ? a n ? 1 3 a a2a 3? ...... 4

2

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ... ? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ? 5 ( n ? 1) ? ( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 1 1 1 n(n ? 5) . ? [ ? ]? 2 2 ? 3 (n ? 2)( n ? 3) 12(n ? 2)(n ? 3)
证法 2:①当 n=1 时,等式左边 ? ??9 分

1? (1 ? 5) 1 1 1 ,等式右边 ? ,左 ? ? 2 ? 3 ? 4 24 12 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) 24

边=右边,等式成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时等式成立, 即 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? 则当 n ? k ? 1 时

??5 分

k (k ? 5) , 12(k ? 2)(k ? 3)

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? ak ?1ak ? 2 ak ?3 ?

k (k ? 5) 1 ? 12(k ? 2)(k ? 3) (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4)

?

k (k ? 5)(k ? 4) ? 12 k 3 ? 9k 2 ? 20k ? 12 ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) k 2 (k ? 1) ? 4(k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 6) (k ? 1)[(k ? 1) ? 5] ? ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12[(k ? 1) ? 2][(k ? 1) ? 3]
??8 分

?

这就是说当 n ? k ? 1 时,等式成立, 综①②知对于 ?n ? N * 有:

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2 ?
(3)当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ?

n(n ? 5) . 12(n ? 2)(n ? 3)

??9 分】

2an 2 1 ? an
??10 分

则 an ?1 ? an ?

2an 1 ? an , ? an ? an (1 ? an ) 2 2 1 ? an 1 ? an

∵ 0 ? an ? 1 , ∴ an ?1 ? an ? an (1 ? an )

1 ? an a ? 1 ? an 2 1 ? an ?( n ) ? 2 2 1 ? an 2 1 ? an

??1 1 分

?

1 ? an 1 ? 2 4 (1 ? an ) ? 2(an ? 1) ? 2

?

1 1 2 ?1 1 1 . ? ? ? ? 8 4 a ?1? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 n an ? 1
2 不能同时成立,∴上式“=”不成立, an ? 1 2 ?1 . 8

??13 分

∵ an ? 1 ? an 与 an ? 1 ?

即对 ?n ? N * , an ?1 ? an ?

??14 分

证法二: 当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ?
3 2an an ? an ? a ? n 2 2 1 ? an 1 ? an

2an , 2 1 ? an
??10 分

则 an ?1 ? an ?

又 Q an ? (0,1),?

an ?1 2 ? ? 1, 2 an 1 ? an
??11 分

1 ? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2
令 g ( x) ?

? x4 ? 4x2 ? 1 x ? x3 1 ? g ( x ) ? , 则 , x ? [ ,1), (1 ? x 2 ) 2 1 ? x2 2

??12 分



1 1 x ? [ ,1), g ?( x) ? 0, 所 以 函 数 g ( x) 在 [ ,1) 单 调 递 减 , 故 当 2 2 1 1 3 ?( ) 1 3 2 ?1 ??14 分】 x ? [ ,1), g ( x) ? 2 2 ? ? , 所以命题得证 1 2 10 8 2 1? ( ) 2
法 三 : 当



? ?2





an ?1 ? f (an ) ?

2an 2 1 ? an
??11 分



Q an ? (0,1),?

an ?1 2 1 ? ? 1,? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2 an 1 ? an 2

an ?1 ? an ?

2an 2an ?1 1 ? an an ?1 ? ? 2? (an ? an ?1 ) 2 2 2 2 1 ? an 1 ? an ?1 (1 ? an )(1 ? an ?1 )

1 1 1? ? 24 2 2 ? 2? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 1 1 25 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 2
? 数列 {an ?1 ? an } 单调递减,

1 2 ? 1 ? 3 ? 2 ?1 , ? an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1 2 2 10 8 1? ( ) 2 2?
所以命题得证 ??14 分】

5 ? m? , ? ??m ? 4n ? 3 ? 9 20. (1)由题意得 (3, 2) ? m(?1, 2) ? n(4,1) ,所以 ? ,解得 ? ?2m ? n ? 2 ?n ? 8 . ? 9 ?

(2)∵ d ? c ? ?x ? 4, y ?1? , a ? b ? ?2,4? ,又 d ? c // a ? b 且 d ? c ? 1 ,

? ?? ?

?4( x ? 1) ? 2( y ? 1) ? 0, ∴? 2 2 ?( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 1,

? ? 5 5 , ?x ? 4 ? , ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? ? y ? 1? 2 5 ? y ? 1? 2 5 , ? ? 5 5 ? ?

∴d ??

? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? 或( , , ) ? ? 5 5 5 5 ? ?
??????3 分

21.(1) f ( x) ? cos 2 x, 值域为 [ ?1, ) (2) cos C ?

1 2

???????6 分

2 , 2
1 ? ,a ? c ? A ? 2 6

???????9 分

由正弦定理得 sin A ?

???????13 分

22 . ( 1 )根据正弦定理: 3a cos C ? c sin A 可化为 3 sin A cos C ? sin C sin A ,约掉 sin A 得
3 cos C ? sin C ,即 t a n C?3 , 从而得 C ?

?
3

; (2) 因为 a ? 3 ,C ?

?
3

,△ ABC 的面积为

3 3 , 2

所以

1 ? 3 3 ? 3b s i n ? , 由 此 得 b?2 , 再 由 余 弦 定 理 可 得 c? 7 , 从 而 求 得 2 3 2
22 ? ( 7 2? )
2

c oA s?

2? 2? 7

3 ?

14



7

??? ? ??? ? 7 所以 CA?AB ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (? ) ? ?1 . 14 ∵ 3a cos C ? c sin A , 由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , 2 分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , 3 分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , 5 分 ? 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? ; 6 分
3

(2)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为 ∴ ? 3b sin
1 2

3 3 , 2

?
3

?

3 3 , 7分 2

∴b ? 2 , 8 分
c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

? 7 ,即 c ? 7 , 9 分

7 , 10 分 14

??? ? ??? ? ∴ CA?AB ? bc cos(? ? A) 11 分

? 2 ? 7 ? (?

7 ) ? ?1 . 12 分 14



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