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西藏日喀则一中2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(文科) Word版含解析



西藏日喀则一中 2015-2016 学年高二 (上) 12 月月考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题中,真命题是( ) A.?x0∈R,e ≤0 B.a+b=0 的充要条件是 =﹣1 C.?x∈R,2 >x D.a>1,b>1 是 ab>1 充分条件 2.命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是( ) x0 x0 A.不存在 x0∈R,2 >0 B.存在 x0∈R,2 ≥0 x x C.对任意的 x∈R,2 <0 D.对任意的 x∈R,2 >0 3.命题“若 α= A.若 α≠ ,则 tanα=1”的逆否命题是( B.若 α= )
x0 x 2 x0

,则 tanα≠1

,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α≠

D.若 tanα≠1,则 α=

4.阅读下列程序:如果输入 x=﹣2π,则输出结果 y 为(



A.3+π B.3﹣π C.﹣5π D.π﹣5 5.从 1,2,3,4 这 4 个数中,依次不放回地任意取两个数,两个数都为偶数的概率是( A. B. C. D. )

6. 有 5 件产品, 其中 3 件正品, 2 件次品, 从中任取 2 件, 则互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 7.“ ”是“(x+2) (x﹣1)≥0”的( )



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71,则下 列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 9.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )

A.105 B.16

C.15

D.1
2

10.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ( ) A. ,s +100 B. +100,s +100 2 2 C . ,s D. +100,s
2 2 2 2 2

11. 已知“命题 p: ?x0∈R, 使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题, 则实数 a 的取值范围是( A.[0,1) B. (﹣∞,1) C.[1,+∞) D. (﹣∞,1] 12.已知命题 p:?x∈R,使 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.③④ ;命题 q:?x∈R,都有 x +x+1>0.给出下列结论:
2



D.①②③

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 一个容量为 20 的样本数据, 分组后, 组距与频数如下: (10, 20], 2; (20, 30], 3; (30, 40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2.则样本在区间[50,+∞)上的频率 为 . 14.一渔民从池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带有标记的鱼完全混合于鱼群 中,十天后在从池塘里捞出 50 条,发现其中带有标记的鱼有 2 条,据此可以估计改池塘里约 有 条鱼. 15.若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为 m,第二次掷得的点数为 n,则点 P(m,n)落 在圆 x +y =16 内的概率是
2 2

. (填上正确命题的序号)

16.给定下列四个命题:其中为真命题的是 ①“x= ”是“sinx= ”的充分不必要条件;

②若“p∨q”为真,则“p∧q”为真; ③已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 2 2 ④“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 命题 p 方程: x +mx+1=0 有两个不等的实根, 命题 q: 方程 4x +4 (m+2) x+1=0 无实根. 若 “p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 18.某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对两 部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:
2 2

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 19.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件,求 实数 a 的取值范围.
2

20.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小 学的概率. 21.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六 月份的降雨量 X (单位: 毫米) 有关, 据统计, 当 X=70 时, Y=460; X 每增加 10, Y 增加 5. 已 知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 70 110 140 160 200 220 降雨量 频率 (Ⅱ) 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 22.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为合格品,否则视为不合 格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测, 结果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm) ,将 所得数据分组,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 0.10 [﹣3,﹣2) 8 [﹣2,﹣1) 0.50 (1,2] 10 (2,3] (3,4] 50 1.00 合计 (Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概 率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批产 品中的合格品的件数.

2015-2016 学年西藏日喀则一中高二(上)12 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题中,真命题是( ) A.?x0∈R,e ≤0 B.a+b=0 的充要条件是 =﹣1 C.?x∈R,2 >x D.a>1,b>1 是 ab>1 充分条件 【考点】特称命题;全称命题. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可. 【解答】解:A.∵?x∈R,e >0,∴A 错误. B.当 a=0,b=0 时,满足 a+b=0,但 =﹣1 不成立,∴B 错误. C.当 x=2 时,2 >2 ,∴2 >x ,不成立,∴C 错误. D.当 a>1,b>1 时,ab>1 成立,即 a>1,b>1 是 ab>1 充分条件,正确. 故选:D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假判断,根据函数的性质是解决本题的关键. 2.命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是( ) x0 x0 A.不存在 x0∈R,2 >0 B.存在 x0∈R,2 ≥0 x x C.对任意的 x∈R,2 <0 D.对任意的 x∈R,2 >0 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, x0 x 所以命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是:对任意的 x∈R,2 >0. 故选:D. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.
x0 2 2 x 2 x x 2 x0

3.命题“若 α= A.若 α≠

,则 tanα=1”的逆否命题是( B.若 α=



,则 tanα≠1

,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α≠

D.若 tanα≠1,则 α=

【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】简易逻辑. 【分析】原命题为:若 a,则 b.逆否命题为:若非 b,则非 a.

【解答】解:命题:“若 α=

,则 tanα=1”的逆否命题为:若 tanα≠1,则 α≠



故选 C. 【点评】考查四种命题的相互转化,掌握四种命题的基本格式,本题是一个基础题. 4.阅读下列程序:如果输入 x=﹣2π,则输出结果 y 为( )

A.3+π B.3﹣π C.﹣5π D.π﹣5 【考点】顺序结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,可知:该程序的作用是计算并输出分段函数 y= 的函数值.结合题中条件:输入 x=﹣2π,求出输出结果即可.

【解答】解:执行程序,有 x=﹣2π 满足条件 x<0,有 y=3﹣π 输出 y 的值为 3﹣π. 故选:B. 【点评】本题主要考查了程序算法,属于基本知识的考查. 5.从 1,2,3,4 这 4 个数中,依次不放回地任意取两个数,两个数都为偶数的概率是( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题. 【分析】根据已知中从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,我们列出所有的基 本事件个数,及满足条件两个数都是偶数的基本事件个数,代入古典概型概率公式,即可得 到答案. 【解答】解:从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,共有 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3)共 12 种 其中满足条件两个数都是偶数的有(2,4) , (4,2)两种情况 故从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率 P= 故答案为 A 【点评】本题考查的知识点是古典概型公式,古典概型问题的处理方法是:计算出基本事件 总数 N,则满足条件 A 的基本事件总数 A(N) ,代入 P=A(N)÷N 求了答案. 6. 有 5 件产品, 其中 3 件正品, 2 件次品, 从中任取 2 件, 则互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 )

B.至少有 1 件次品与都是正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】应用题. 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义,对每个选项做出判断,从而得到结论. 【解答】解:A、至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 不互斥,它们都包括了“一件正品与一件 次品”的情况,故不满足条件. B、至少有 1 件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件. C、至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况, 故不满足条件. D、恰有 1 件次品与恰有 2 件正 是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是 次品”的情况, 故满足条件. 故选 D. 【点评】本题考查互斥事件和对立事件的定义、判断方法,准确理解互斥事件和对立事件的 定义,是解题的关键. 7.“ ”是“(x+2) (x﹣1)≥0”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题. 【分析】通过移项合并同类型,分别解出两个一元二次不等式的解,再利用充分必要条件的 定义进行判断; 【解答】解:∵ 可得 ≥0,可得 x>1 或 x≤﹣2;

∵“(x+2) (x﹣1)≥0”可得 x≥1 或 x≤﹣2, ∴“ ∴“ ”?“(x+2) (x﹣1)≥0” ”是“(x+2) (x﹣1)≥0”的充分不必要条件,

故选 A; 【点评】此题主要考查充分必要条件的定义,考查的知识点比较单一,解题的关键是正确求 出一元二次的等式的解集; 8.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71,则下 列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg

D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 【考点】回归分析的初步应用. 【专题】阅读型. 【分析】根据回归方程为 =0.85x﹣85.71,0.85>0,可知 A,B,C 均正确,对于 D 回归方程 只能进行预测,但不可断定. 【解答】解:对于 A,0.85>0,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,故正确; 对于 B,回归直线过样本点的中心( , ) ,故正确; 对于 C, ∵回归方程为 =0.85x﹣85.71, ∴该大学某女生身高增加 1cm, 则其体重约增加 0.85kg, 故正确; 对于 D, x=170cm 时, =0.85×170﹣85.71=58.79, 但这是预测值, 不可断定其体重为 58.79kg, 故不正确 故选 D. 【点评】本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题. 9.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )

A.105 B.16 C.15 D.1 【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1) ,由此能够求 出结果. 【解答】解:如图所示的循环结构是当型循环结构, 它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1) ∴输入 n 的值为 6 时,输出 s 的值 s=1×3×5=15. 故选 C.

【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 10.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ( ) A. ,s +100 B. +100,s +100 2 2 C . ,s D. +100,s 【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【专题】概率与统计. 【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义,直接代入即可得到结论. 【解答】解:由题意知 yi=xi+100, 则 =
2 2 2 2 2 2

(x1+x2+…+x10+100×10)=
2

(x1+x2+…+x10)= +100,
2 2

方差 s =
2

[(x1+100﹣( +100) +(x2+100﹣( +100) +…+(x10+100﹣( +100) ]=
2 2 2

[(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(x10﹣ ) ]=s . 故选:D. 【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,利用均值和方差的定义是解决本 题的关键,要求熟练掌握相应的计算公式. 11. 已知“命题 p: ?x0∈R, 使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[0,1) B. (﹣∞,1) C.[1,+∞) D. (﹣∞,1] 【考点】特称命题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质,可知当 a≤0 时,命题为真命题,当 a>0 时, 2 若“命题 p:?x0∈R,使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题,则△ =4﹣4a>0,最后综合讨论结果, 可得答案. 2 【解答】解:当 a=0 时,“命题 p:?x0∈R,使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题, 2 当 a<0 时,“命题 p:?x0∈R,使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题, 2 当 a>0 时,若“命题 p:?x0∈R,使得 ax0 +2x0+1<0 成立”为真命题, 则△ =4﹣4a>0,解得 a<1, ∴0<a<1, 综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1) ,
2

故选:B 【点评】本题考查的知识点是特称命题,一次函数和二次函数的图象和性质,难度不大,属 于基础题. 12.已知命题 p:?x∈R,使 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.③④ 【考点】复合命题的真假. 【专题】阅读型. ;命题 q:?x∈R,都有 x +x+1>0.给出下列结论:
2

D.①②③

【分析】 根据正弦函数的值域及二次不等式的解法,我们易判断命题 p: ?x∈R, 使 sin x=
2



命题 q:?x∈R,都有 x +x+1>0 的真假,进而根据复合命题的真值表,易判断四个结论的真 假,最后得到结论. 【解答】解:∵
2

>1,结合正弦函数的性质,易得命题 p:?x∈R,使 sin x=
2

为假命题,

又∵x +x+1=(x+ ) + >0 恒成立,∴q 为真命题,故非 p 是真命题,非 q 是假命题; 所以①p∧q 是假命题,错; ②p∧非 q 是假命题,正确; ③非 p∨q 是真命题,正确; ④命题“≦p∨?q”是假命题,错; 故答案为:②③ 故选 A. 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假,其中根据正弦函数的值域及二次不等式的解 法,判断命题 p 与命题 q 的真假是解答的关键. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 一个容量为 20 的样本数据, 分组后, 组距与频数如下: (10, 20], 2; (20, 30], 3; (30, 40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2.则样本在区间[50,+∞)上的频率 为 [0.3] . 【考点】频率分布表. 【专题】计算题. 【分析】根据所给的样本容量和在区间[50,+∞)上的频数,做出频率的结果,不管要求的样 本区间怎样变化,频率的做法不变. 【解答】解:∵在(10,20) ,2; (20,30) ,3; (30,40) ,4; (40,50) ,5; (50,60) ,4, (60,70],2. ∴样本在区间[50,+∞)上共有 4+2=6 个数据, ∴频率= = .

故答案为:0.3. 【点评】本题主要考查样本容量频率和频数之间的关系,样本容量、频数、频率这三个数字 可以做到知二求一.这种题目在高考时会出现在选择和填空中,是必得分的题目. 14.一渔民从池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带有标记的鱼完全混合于鱼群 中,十天后在从池塘里捞出 50 条,发现其中带有标记的鱼有 2 条,据此可以估计改池塘里约 有 750 条鱼. 【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】设该池塘中有 x 条鱼,由题设条件建立方程: = ,由此能够估计该池塘中鱼的

数量. 【解答】解:设该池塘中有 x 条鱼,由题设条件建立方程: = ,

解得 x=750. 故答案为:750 【点评】本题考查利用样本数据估计总体数据,是基础题.解题时要认真审题,注意寻找数 量间的相互关系,合理地建立方程. 15.若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为 m,第二次掷得的点数为 n,则点 P(m,n)落 在圆 x +y =16 内的概率是
2 2



【考点】等可能事件的概率. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,分析可得 m、n 都有 6 种情况,由分步计数原理可得点 P 的情况数目,进 2 2 2 2 而列举 P(m,n)落在圆 x +y =16 内,即 m +n <16 的情况,可得其情况数目,由等可能事 件的概率公式,计算可得答案. 【解答】解:由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标(m,n) , 分析可得,m、n 都有 6 种情况,则点 P 共有 6×6=36 种情况; 点 P(m,n)落在圆 x +y =16 内,即 m +n <16 的情况有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) ,共 8 种; 则点 P 落在圆内的概率 P= 故答案为 . 【点评】本题考查等可能事件的概率的计算,解题的关键是计算出所有的基本事件的个数以 及所研究的事件所包含的基本事件总数. 16.给定下列四个命题:其中为真命题的是 ① ①“x= ”是“sinx= ”的充分不必要条件; (填上正确命题的序号) = ;
2 2 2 2

②若“p∨q”为真,则“p∧q”为真; ③已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

④“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】分别根据充分条件和必要条件的定义以及复合命题之间的关系进行判断即可. 【解答】解:①当 x= 不成立,即“x= 时,sinx= 成立,即充分性成立,当 x= ,满足 sinx= ,但 x=

2

2

”是“sinx= ”的充分不必要条件;故①正确.

②当 p 真,q 假时,满足“p∨q”为真,但“p∧q”为假,故②错误; ③若 x= ,满足 x>1,但 x>2 不成立,即“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,不成立.故 ③错误. ④“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为:若 a<b,则 am <bm ”,当 m=0 时,为假命题,故 ④错误. 故真命题为①, 故答案为:① 【点评】本题主要考查命题的真假判断,要求熟练掌握充分条件和必要条件和复合命题之间 的关系. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 命题 p 方程: x +mx+1=0 有两个不等的实根, 命题 q: 方程 4x +4 (m+2) x+1=0 无实根. 若 “p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】先将命题 p,q 分别化简,然后根据若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,判断出 p, q 一真一假,分类讨论即可. 2 2 【解答】解:由题意命题 P:x +mx+1=0 有两个不等的实根,则△ =m ﹣4>0,解得 m>2 或 m<﹣2, 2 命题 Q:方程 4x +4(m+2)x+1=0 无实根,则△ <0,解得﹣3<m<﹣1, 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,则 p,q 一真一假, (1)当 P 真 q 假时: 解得 m≤﹣3,或 m>2, (2)当 P 假 q 真时: , ,
2 2 2 2 2 2

解得﹣2≤m<﹣1, 综上所述:m 的取值范围为 m≤﹣3,或 m>2,或﹣2≤m<﹣1. 【点评】本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,注意解不等式公式的合理运 用 18.某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对两 部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图;众数、中位数、平均数. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据茎叶图的知识,中位数是指中间的一个或两个的平均数,首先要排序,然 后再找, (Ⅱ)利用样本来估计总体,只要求出样本的概率就可以了. (Ⅲ)根据(Ⅰ) (Ⅱ)的结果和茎叶图,合理的评价,恰当的描述即可. 【解答】解: (Ⅰ)由茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序,排在排在第 25, 26 位的是 75,75,故样本的中位数是 75,所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值 是 75. 50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序,排在排在第 25,26 位的是 66,68,故样本的中位 数是 =67,所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是 67. ,

(Ⅱ) 由茎叶图知, 50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的比率分别为

故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率得估计值分别为 0.1,0.16, (Ⅲ)由茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶 图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差,说明该市市民对甲部门的评 价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 【点评】本题主要考查了茎叶图的知识,以及中位数,用样本来估计总体的统计知识,属于 基础题. 19.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件,求 实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 【专题】计算题. 【分析】根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题 p 和 q,再根据¬p 是¬q 的必要而不 充分条件,可以推出 p?q,再根据子集的性质进行求解; 2 【解答】解:∵p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0, ∴p:﹣1≤4x﹣3≤1,解得{x| ≤x≤1},q:{x|a≤x≤a+1}, ∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件, ∴¬q?¬p,¬p 推不出¬q,可得 p?q,q 推不出 p,
2



解得 0≤a≤ ,验证 a=0 和 a= 满足题意,

∴实数 a 的取值范围为:a∈[0, ]; 【点评】本题考查充分条件必要条件的定义及绝对值的性质,确定两个条件之间的关系,本 题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件,及集合间的包含关系,有一定的综合性. 20.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小 学的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)先求出每个个体被抽到的概率,再用各个层的个体数乘以此概率,即得应从小 学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)根据所有的抽法共有 =15 种,其中抽取的 2 所学校均为小学的方法有 =3 种,由此

求得抽取的 2 所学校均为小学的概率. 【解答】解: (1)每个个体被抽到的概率等于 取的学校数目为 21× =3, 14× =2,7× =1.…(3 分) (2)所有的抽法共有 =15 种,其中抽取的 2 所学校均为小学的方法有 = . =3 种,故抽取的 = ,故从小学、中学、大学中分别抽

2 所学校均为小学的概率等于

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率 等于该层应抽取的个体数,属于基础题. 21.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六 月份的降雨量 X (单位: 毫米) 有关, 据统计, 当 X=70 时, Y=460; X 每增加 10, Y 增加 5. 已 知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 70 110 140 160 200 220 降雨量 频率 (Ⅱ) 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率.

【考点】频率分布表;互斥事件的概率加法公式. 【专题】应用题;综合题. 【分析】 (Ⅰ)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数,求出频率,完成频率分布 图. (Ⅱ)将发电量转化为降雨量,利用频率分布表,求出发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 【解答】解: (Ⅰ)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个, 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为: 70 110 140 160 200 220 降雨量 频率 (Ⅱ)根据题意,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5; 则 Y=460+ ×5= X+425,

解可得,X<130 或 X>210; 故 P=P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) = .

故今年六月份该水利发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为: . 【点评】本题考查频率公式:频率= ;考查将问题等价转化的能力.

22.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为合格品,否则视为不合 格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测, 结果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm) ,将 所得数据分组,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 0.10 [﹣3,﹣2) 8 [﹣2,﹣1) 0.50 (1,2] 10 (2,3] (3,4] 50 1.00 合计 (Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概 率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批产 品中的合格品的件数. 【考点】几何概型;极差、方差与标准差;用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】综合题;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,频数=频率×样本容量,可得相关数据,即可填写表格;

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5+0.2=0.7; (Ⅲ)这批产品中的合格品的件数为 .

【解答】解: (Ⅰ)根据题意,50×0.10=5,8÷50=0.16,50×0.50=25,10÷50=0.2,50﹣5﹣8﹣ 25﹣10=2,2÷50=0.4,故可填表格: 分组 频数 频率 5 0.10 [﹣3,﹣2) 8 0.16 [﹣2,﹣1) 25 0.50 (1,2] 10 0.2 (2,3] 2 0.04 (3,4] 50 1.00 合计 (Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5+0.2=0.7; (Ⅲ)这批产品中的合格品的件数为 .

【点评】本题考查统计知识,考查学生的计算能力,属于基础题.



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