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求解函数解析式的几种常用方法



题目 高中数学复习专题讲座 求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮 助考生在深刻理解函数定义的基础上, 掌握求函数解析式的几种方法, 并形 成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2 换元法或配凑法,已知复合函数 f[g(x)]的表达式可用换元法,当 表达式较简单时也可用配凑法; 3 消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解
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例 1 (1)已知函数 f(x)满足 f(logax)=
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a a
2

?1

(x ?

1 x

)

(其中 a>0,a≠1,x>0),

求 f(x)的表达式 (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求? f(x)?的 表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应 法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化, 注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易 出错 技巧与方法 (1)用换元法;(2)用待定系数法 解 (1)令 t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则 x=at
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因此 f(t)=
a

a
2

?1

(at-a t)




∴f(x)=
a

a
2

?1

(ax-a x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)

(2)由 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c
1 ? a ? [ f (1 ) ? f ( ? 1 )] ? f ( 0 ) ? 2 ? 1 ? 得 ? b ? [ f (1 ) ? f ( ? 1 )] 2 ? ?c ? f (0) ? ?

并且 f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于 1 或-1, 所以所求函数为 f(x)=2x2-1 或 f(x)=-2x2+1 或 f(x)=-x2-x+1 或 f(x)=x2-x-1 或 f(x)=-x2+x+1 或 f(x)=x2+x-1 例 2 设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过 点(-2,0),斜率为 1 的射线,又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0, 2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数 f(x)的表达式,并在图中作 出其图象 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及 其图象的作法,对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此,分段函数 是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲 线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发 生混乱 技巧与方法 合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当 x≤-1 时,设 f(x)=x+b ∵射线过点(-2,0) ∴0=-2+b 即 b=2,∴f(x)=x+2 (2)当-1<x<1 时,设 f(x)=ax2+2 ∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即 a=-1 ∴f(x)=-x2+2 (3)当 x≥1 时,f(x)=-x+2
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综上可知

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? x ? 1, x ? ? 1 ? f(x)= ? 2 ? x 2 , ? 1 ? x ? 1 作图由读者来完成 ? ? x ? 2, x ? 1 ?
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例 3 已知 f(2-cosx)=cos2x+cosx,求 f(x-1) 解法一 (换元法) ∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1 令 u=2-cosx(1≤u≤3),则 cosx=2-u ∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3) ∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4) 解法二 (配凑法) f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5 ∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3), 2 2 即 f(x-1)=2(x-1) -7(x-1)+5=2x -11x+14(2≤x≤4) 学生巩固练习
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1 若函数 f(x)=
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mx 4x ? 3

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(x≠ B
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3 4

)在定义域内恒有 f f(x)] [ =x,则 m 等于(
3

)

A
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3

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C

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3 2

D

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-3

2
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2 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1, 则 x>1 时 f(x)等于( ) 2 A f(x)=(x+3) -1 B f(x)=(x-3)2-1 2 C f(x)=(x-3) +1 D f(x)=(x-1)2-1
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3 已知 f(x)+2f(
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1 x

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)=3x,求 f(x)的解析式为_________

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4 已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________ 5 设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且其图象在 y 轴上的截距为 1,
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在 x 轴上截得的线段长为 2 ,求 f(x)的解析式
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6 设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间 [2,3]上时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式 若矩 形 ABCD 的两个顶点 A、B 在 x 轴上,C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图象上, 求这个矩形面积的最大值 P C 7 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发 D 顺次经过 B、 D 再回到 A, x 表示 P 点的行程, C、 设 f(x) 表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的面积,求 f(x)和 g(x),并 P 作出 g(x)的简图 B A 8 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5, 函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, 又知 y=f(x)在 [0,1] 上是一次函数, 在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取得最小值,最小值为-5 (1)证明 f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式 参考答案
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解析

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∵f(x)=
m?

mx
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4x ? 3

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mx
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∴f[f(x)]=

4x ? 3 =x,整理比较系数得 m=3 mx 4? ?3 4x ? 3

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答案 A 2 解析 利用数形结合,x≤1 时, f(x)=(x+1)2-1 的对称轴为 x=-1,最小值为-1,
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又 y=f(x)关于 x=1 对称, 故在 x>1 上,f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为-1 答案 B
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由 f(x)+2f(

1 x

)=3x 知 f(
1 x

1 x

)+2f(x)=3
2 x

1
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x

由上面两式联立消去 f( 答案
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)可得 f(x)=

-x

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f(x)=
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2 x

-x
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4 解析 ∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0 又 f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1
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故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= 答案 5
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1 2

,b=

1 2

,∴f(x)=

1 2

x2+

1 2

x

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x2+

1 2

x

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利用待定系数法,设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程
2 7 x
2

组求解,f(x)=
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?

8 7

x ?1

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6 解 (1)设 x∈[1,2],则 4-x∈[2,3], ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x), 又因为 4 是 f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4 (2)设 x∈[0,1] ,则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4, 又由(1)可知 x∈[0,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4, 设 A、B 坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1 ) ,
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则|AB|=2t,|AD|=-2t2+4,S 矩形=2t(-2t2+4)=4t(2-t2),令 S 矩=S, ∴
S
2

=2t2(2-t2)·(2-t2)≤(
6 3

2t ? 2 ? t ? 2 ? t
2 2

2

)3=

64 27

,

8

3

当且仅当 2t2=2-t2,即 t= ∴S2≤ 7
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时取等号
16

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64 ? 8 27

即 S≤

16 9

6

,∴Smax=

6
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(1)如原题图,当 P 在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运
D P C

动时,由 Rt△ABD ?可得 PA= 1 ? ( x ? 1 ) 2 ;当 P 点 在 CD 上运动时, Rt△ADP 易得 PA= 1 ? ( 3 ? x ) 2 ; 由 当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为
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P A B

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( 0 ? x ? 1) ?x ? 2 (1 ? x ? 2 ) ? x ? 2x ? 2 f(x)= ? 2 ? x ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3 ) ? (3 ? x ? 4 ) ?4 ? x

(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时,△ABP 的形状各有特征,计 算它们的面积也有不同的方法,因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解 如原题图,当 P 在线段 AB 上时,△ABP 的面积 S=0; 当 P 在 BC 上时,即 1<x≤2 时,
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S△ABP=

1 2

AB·BP=

1 2

(x-1) ;

D

P

C

当 P 在 CD 上时,即 2<x≤3 时, S△ABP=
1 2

·1·1=

1 2

;当 P 在 DA 上时,
A

P B

即 3<x≤4 时,S△ABP=
?0 ? 1 ? ( x ? 1) ?2 ? 故 g(x)= ? 1 ? 2 ? 1 ? (4 ? x ) ?2 ?
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1 2

(4-x)

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( 0 ? x ? 1) (1 ? x ? 2 ) ( 2 ? x ? 3) (3 ? x ? 4)

y
1 1 2

o

1

2

3

4

x

8 (1)证明 ∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0 (2)解 当 x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 解得 a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4) (3)解 ∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0, 又 y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数, ∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1), ∵f(1)=2(1-2)2-5=-3, f(1)=k·1=k,∴k=-3 ∴当 0≤x≤1 时,f(x)?=-3x, 当-1≤x<0 时,f(x)=-3x, 当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15,?
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当 6<x≤9 时, 1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5 ∴f(x)= ?
? ? 3 x ? 15 ?2( x ? 7) ? 5
2

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(4 ? x ? 6)
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(6 ? x ? 9 )

课前后备注

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