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优秀课件:函数奇偶性(新人教版必修1)



观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题
(1)这两个函数图象有什么共同特征? (2)填函数值对应表

x f(x)=x

-3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1

2 3 2 3

x f(x)= 1 x

-3 -2 -1 0 1

r />
2 3

? 1 ? 1 -1 / 1 3 2

1 1 2 3

从函数值对应表可以看到,当自变量x取一对相反数时, 相应的两个函数值也是一对相反数。

(3)能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗? 例如:对于函数 f(x)=x 有: f(-3)=-3=-f(3);

f(-2)=-2=-f(2);
f(-1)=-1=-f(1).

实际上,对于函数f(x)=x定义域 R内任意的一个 x ,都 有f(-x)=-x=-f(x).这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

同样我们也能说明函数f(x)=1也是奇函数. x

定义2
一般地,如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x ,都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数。

定义的说明: –x也必然在定义域中,因此函数是奇函数或偶 函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点 对称。例如,函数f(x)=x2在(-∞,+∞)上是 偶函数,但 f(x)=x2在 [-1,2]上无奇偶性。 (2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。 (3) 偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足 f(-x)=-f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图 像关于原点对称。

(1)由定义知,若 x是定义域中的一个数值,则

例如,函数 f (x) ? x2 ?1, f (x) ? x22 11 都是偶数,他们的 ? 图像分别如下图(1)、(2)所示

(1)判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性. 例1 解:对于函数f(x)= x3 +x,其定义域为(-∞,+∞).
因为对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 所以,函数 f(x)=x3+x为奇函数。 y (2)如图,给出函数

f(x)=x3+x

图像的一部

.

.

.
x

分,你能根据f(x)的奇 偶性画出它在y轴左边 的图像吗?

.
.

0

.

课堂练习
1.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整。

.

.

y

.
0

.

.

y

. f(x)
x

. . . .
0

. . g(x)
x

2.判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x) ? 2x4 ?3x2; (2) f (x) ? x3 ? 2x.

(偶函数) (奇函数)

1解:对于函数f(x)= 2x4 +3x2,其定义域为(-∞,+∞), 因为对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2= 2x4 +3x2 =f(x), 所以,函数 f(x)= 2x4 +3x2为奇函数。 2解:对于函数f(x)= x3 - 2x,其定义域为(-∞,+∞) 因为对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x), 所以,函数 f(x)=x3-2x为奇函数。

例2 判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) ? x2 ? x (2) f (x) ? x2 ? 4 (x?[?9,10])

解: (1)对于函数f(x)=x2+x ,其定义域为(-∞,+∞). 因为对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)2 +( -x)=x2-x≠ ? f(x), 所以,函数 f(x)=x2+x无奇偶性。 (2)因为函数f(x)=x2-4的定义域是[-9,10] 所以函数f(x)=x2-4无奇偶性

达标练习
(1)已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10,那么f(2)等于(A )。 A、-10 ; B、10 ; C、20 ; D、与b、c有关 (2)下面四个命题中,正确的个数是( C) ①奇函数的图像关于原点对称。 ②偶函数的图像关于y轴对称。 ③奇函数的图像一定过原点。 ④偶函数的图像一定与y轴相交。 A、4 ; B、3 ; C、2 ; D、1 (3)如果定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么, 8 a= ________ (4)判断函数的奇偶性 ① f (x) ? x2 ?1 ② f (x) ? x2 ?1

x



f (x) ? x

④ f (x) ?3x2 ?2x

1 是偶函数,2是奇函数,3、4无奇偶性。

小结
本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性 的方法。(先看定义域后看f(-x)和f(x)的关系, f(-x)=f(x) →偶, f(-x)=-f(x)→奇)

作业:

P46 A组9题,B组1题

课后讨论: 既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?



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