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无锡市2014年高考数学立体几何直线 重点难点高频考点串讲 (教师版)



1.若直线 l:y=kx- 3 与直线 x+y-3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的取 值范围是( ) A. (

? 3?
2 , 4

]

B. [

? 3?
2 , 4

)

C. (

? 3?


3 , 4

)

D. (

? 3?
2 , 4

)

【答案】D 【解析】 试题分析:把两条直线方程联立,解出交点坐标,然后利用第二象限的点横坐标小于 0,纵 坐标大于 0,列出关于 k 的不等式组,求出不等式组的解集即可得到 k 的取值范围. 考点:求交点坐标,第二象限点坐标的特点. 2.已知点 M(2,-3) ,N(-3,-2) ,直线 ax ? y ? 1 ? a ? 0 与线段MN相交,则实数 a 的取值范围是( A. ? ) B. ? 4 ? a ?

3 ?a?4 4 3 C. a ? ? 或a ? 4 4

3 4 3 4

D. a ? ?4或a ?

【答案】C 【解析】 试题分析:∵直线 ax+y-a+1 与线段 MN 相交, ∴M,N 在 ax+y-a+1=0 的两侧,或在 ax+y-a+1=0 上 ∵M(2,-3) ,N(-3,-2) , ∴(2a+3-a+1) (-3a+2-a+1)≤0 ∴(a+4) (-4a+3)≤0 ∴(a+4) (4a-3) ? 0

3 ? a ? ? 或a ? 4 . 4
考点:直 线 与 线 段 的 位 置 关 系 3.过点( ,0)引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x2 交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点,当△AOB

的面积 取最大值时,直线 l 的斜率等于( A.



3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

【答案】B 【解析】 试题分析:由 y ? 1 ? x2 , 得 x +y =1 ( y ≥ 0 )
2 2

∴ 曲 线 y ? 1 ? x2 表 示 単 位 圆 在 x 轴 上 方 的 部 分 ( 含 于 x 轴 的 交 点 )

1

由 题 知 , 直 线 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 斜 率 为 k, 若直线与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合 则 -1 < k < 0 ,

4. 、 过 点 P ( 2, 2)的 直 线 与 圆 ( x ?1) ? y ? 5 相 切 , 且 与 直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂 直 , 则
2 2

a ?(
A. ?

).

1 2

B.1

C.2

D.

1 2

【答案】C 【解析】 试题分析:设直线的斜率为 k ,则直线方程 y ? 2 ? k ?x ? 2? ,化简得 kx ? y ? 2 ? 2k ? 0 , 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等于 半 径 得

k ? 2 ? 2k k 2 ?1

2 ? 5 , 化 简 得 ?2k ? 1? ? 0 , k ? ?

1 ; 2

1 ? ? ? a ? ?1 解之得 a ? 2 . 2
考点:直线方程的应用.

2

5.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a 2 ?1) ? 0 垂直,则 a 的值为( A. 0 或 ? 【答案】A 【解析】 试题分析:由于两条直线垂直,? a ?1 ? 2 ? a?a ? 1? ? 0 ,解之得 a ? 0或 考点:两条直线垂直的应用.



3 2

B. 0 或 ?

2 3

C. 0 或

2 3

D. 0 或

3 2

3 . 2

6.若直线 l 过点 A(0, a), 斜率为 1,圆 x2 ? y 2 ? 4 上恰有 1 个点到 l 的距离为 1,则 a 的值 为( A. 3 2 【答案】B 【解析】 试题分析 圆上有 1 个点到直线 l 的距离为 1, 圆心到直线的距离等于 3,圆心(0,0)到 直线 l:y=x+a 的距离为 ) B. ?3 2 C. ?2 D. ? 2

d?

0?0?a 2

?

a 2

? 3 ,解得 a ? ?3 2

考点:点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系. 7.当曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 与直线 kx ? y ? 2k ? 4 ? 0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值 范围是 ( ) A. (0,

5 ) 12

B. (

1 3 , ] 3 4

C. (

5 3 , ] 12 4

D. (

5 , ?? ) 12

【答案】C 【解析】 试题分析:方程 y ? 1 ? 4 ? x2 对应的曲线为以 (0,1) 为圆心, 2 为半径的上半圆,直线

kx ? y ? 2 k ? 4 ? 0 可化为 k ( x ? 2) ? y ? 4 ? 0 ,即直线恒过点 (2,4) ,利用数形结合思想可
知实数 k 的取值范围是 (

5 3 , ]。 12 4

考点: (1)曲线的方程,方程的曲线; (2)数形结合思想。 8.已知方程 x ? y ? 2mx ? 2my ? 2 ? 0 表示的曲线恒过第三象限的一个定点 A,若点 A
2 2

又在直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 上,则当正数 m 、 n 的乘积取得最大值时直线 l 的方程是 _________. 【答案】 x ? y ? 2 ? 0
3

【解析】 试 题 分 析 : 方 程

x2 ? y 2 ? 2mx ? 2my ? 2 ? 0







?x ? y ? 0 ( x 2 ? y 2 ? 2) ? 2m( x ? y) ? 0, 要使式子无论取何值都 成立,需满足? 2 2 ?x ? y ? 2 ? 0
则?

? x ? 1 ? x ? ?1 , 因为点 A 在第三象限, 所以 A (-1, -1) ; 点 A 又在直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 或? y ? 1 y ? ? 1 ? ?

上 , 所以 ? m ? n ? 1 ? 0 ,即 m ? n ? 1 ,因为 m, n是正数,所以 m ? n ? 2 mn ,所以

mn ?

1 1 ,当且仅当 m ? n = 取等号,从而得到答案 4 2
2 2

考点:过定点问题及基本不等式 9. 已知点 P 在直线 y ? 2 x 上, 若在圆 C : B, 使 PA ? PB =0 , ( x ? 3) ? y ? 4 上存在两点 A, 则点 P 的横坐标 x0 的取值范围是 【答案】 ? ,1? 5 【解析】 试题分析: 过点 P ?m,2m ? 作圆 C 的两条切线, 当两切线垂直即两切线的斜率 k1 ? k2 ? ?1 的 两点是极限位置,过点 P ?m,2m ? 作切线,设斜率为 k ,切线方程为 y ? 2m ? k ?x ? m? 代入 圆的方程得 .

?1 ? ? ?

?x ? 3?2 ? ?k ?x ? m? ? 2m?2 ? 4 整理得 ?k 2 ?1?x2 ? ?2k 2m ? 4km ? 6?x ? m2 ?k ? 2?2 ? 5 ? 0
由于直线与圆相切,因此 ? ? 0 即 2k 2 ? 4km ? 6 ? 4 k 2 ? 1 m2 ?k ? 2? ? 5 ? 0 化简得
2 2

?

?

?

??

?

k 2 m2 ? 6m ? 5 ? 4k 3m ? 4m2 ? 4m2 ? 4 ? 0 , k1 ? k2 ?
1 ?1 ? m ? 或1 ,因此 P 点横坐标 x0 ? ? ,1? . 5 ?5 ?
考点:直线与圆的综合应用. 10 .当 k > 0 时,两 直线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与 为 【答案】 .

?

?

?

?

4m 2 ? 4 ? ?1 , 解 得 m 2 ? 6m ? 5

x 轴 围成的三角 形面积的 最大值

2 4

4

【解析】试题分析:因为 2 x+ky-2=0 与

x 轴交于 (1, 0),由 ?

? kx-y=0 解得, ?2 x+ky-2=0

y?

2k , k ?2
2

所以,两直线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与 x 轴围成的三角形面积为

1 2k 1 , ?1? 2 ? 2 k ?2 k ? 2 k

而k ?

2 2 2 . ? 2 k ? ? 2 2 ,故三角形面积的最大值为 4 k k

考点:1.两直线的位置关系;2.基本不等式. 11.已知圆 C 过点 ? ?1,0 ? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦 长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 .
2

.

【解析】 试题分析: 设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (a,0)(a ? 0) , 则圆 C 的标准方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 . 圆心 C 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为: d ?

a ?1 2

,又因为该圆过点 ? ?1,0? ,所以其半径为

r ? a ?1 . 由 直 线 l : y ? x ?1 被 该 圆 所 截 得 的 弦 长 为 2 2 以 及 弦 心 距 三 角 形 知 ,
?2 2? ? a ?1 ? 2 ? ? r 2 ,即 ? ? a ? ?3 或 a ? 1 (舍).所以 d ?? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? a ? 1 ? ,解之得: ? ? ? ?
2 2 2

r ? a ? 1 ? 2 ,所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3?2 ? y 2 ? 4 .
考点:圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 12.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则 ab 的取值范
2 2

围是



【答案】 ( ?? , ) 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 直 线 经 过 该 圆 的 圆 心 (?1,2) , 则 有 a ? b ? 1 ? 0 , 则

1 4

1 1 1 ab ? a(1 ? a) ? ?(a ? ) 2 ? ,又 a ? R ,则 ab 的取值范围是 ( ?? , ) 。 4 2 4
考点: (1)直线与圆的位置关系, (2)二次函数最值问题。
2 13. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一 2

5

个公共点 M ,则 PM 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】
2 试题分析: 因为点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一个公共点 M , 因此 PM 为 2

圆 C 的切线,

? PC ? PM ? r 2 ,当 PC 最小时, PM 最小,当 PC ? l1 时, PC 最小为 ?5,0? 为直
2 2

线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

5?3 1?1

? 4 2 ,因此 PM min ?

PC ? r 2 ? 32 ? 16 ? 16 ? 4 .

2

考点:直线与圆的位置关系.
2 14. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一 2

个公共点 M ,则 PM 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】
2 试题分析: 因为点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一个公共点 M , 因此 PM 为 2

圆 C 的切线,

? PC ? PM ? r 2 ,当 PC 最小时, PM 最小,当 PC ? l1 时, PC 最小为 ?5,0? 为直
2 2

线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

5?3 1?1

? 4 2 ,因此 PM min ?

PC ? r 2 ? 32 ? 16 ? 16 ? 4 .

2

考点:直线与圆的位置关系. 15.已知直线 2ax ? by ? 1 (其中 a , b 为非零实数)与圆 x ? y ? 1相交于 A, B 两点,O
2 2

为坐标原点,且 ?AOB 为直角三角形,则 【答案】4 【解析】

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b

.

试题分析: ∵直线 2ax ? by ? 1(其中 a , b 为非零实数) 与圆 x ? y ? 1相交于 A, B 两点,
2 2

O 为坐标原点,且 ?AOB 为直角三角形,∴ | AB |? 2r ? 2 ,∴圆心 O(0,0)到直线

2ax ? by ? 1 的距离 d ?

1 2a ? b
2 2

?

2 2 2 ,化为 2a ? b ? 2 , 2

1 2 1 1 2 1 b2 4a 2 1 b2 4a2 2 2 ∴ 2 ? 2 ? (2a ? b )( 2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ? 2 ? 2 ) ? (4 ? 2 2 ? 2 ) ? 4 , a b 2 a b 2 a b 2 a b

6

当且仅当 b2 ? 2a 2 ? 1 取等号,∴

1 2 ? 2 的最小值为 4. 2 a b

16.如图,已知 PA ? 圆O 所在的平面, AB 是 圆O 的直径, AB ? 2 , C是圆O 上的一点,

45? 角, E是PC 中点, F为PB 的中点. 且 AC ? BC , PC与圆O所在的平面成
P

F E A O C
(1)求证: EF //面 ABC ; (2)求证: EF ? 面PAC ; (3)求三棱锥 B ? PAC 的体积 【 答 案 】 ( 1 ) 见

B





;



2









;



3



1 1 1 2 ?VB ? PAC ? ( S?PAC ) ? BC ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 3 3 2 3
【解析】 试题分析: (1)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行 的性质定理,三是利用面面平行的性质; (2)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定 理; 二是利用面面垂直的性质定理; 三是平行线法 (若两条平行线中的一条垂直于这个平面, 则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化. (3) 利用 棱锥的体积公式 V ? 容易计算. 试题解析: (1)证明:在 ?PBC 中, EF 为中位线,所以 EF / / BC ,又 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 EF / / 平面 ABC . 4分 AB 是圆 O 的直径,? BC ? CA ; (2) PA ? 平面 ACB , BC ? 平面 ACB , ? PA ? BC ;又 BC CA ? C , ? BC ? 平面

1 Sh 求体积.在求三棱柱体积时,选择适当的底作为底面,这样体积 3

PAC ,又 BC / / EF ,? EF ? 平面 PAC .

8分

? BC 是三棱锥 B ? PAC 的高;AC ? BC ? PA ? (3) 由第 2 问知 BC ? 平面 PAC ,
1 1 1 2 . ?VB ? PAC ? ( S?PAC ) ? BC ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 3 3 2 3
7

2,

13 分

考点: (1)直线与平面平行的判定; (2)直线与平面平行的判定; (3)三棱锥的体积公式 17 .如图,在五棱锥 S — ABCDE 中, SA ⊥底面 ABCDE , SA=AB=AE=2 , BC ? DE ? 3 ,

?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 ?

S

A B C
(1) CD // 平面SBE .

E D

(2)证明:平面 SBC⊥平面 SAB. 【答案】 (1)见解析; ( 2 ) 见解析. 【解析】 试题分析: (1)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行 的性质定理, 三是利用面面平行的性质; (2) 证明两个平面垂直, 首先考虑直线与平面垂直, 也可以简单记为“证面面垂直,找线面垂直” ,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中 的平行关系的证明类似,掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.
? 试题解析: (1)连结 BE ,延长 BC, ED 交于点 F ,则 ?DCF ? ?CDF ? 60 ,

∴ ?CDF 为正三角形,∴ CF ? DF 又 BC ? DE ,∴ BF ? EF 因此, ?BFE 为正三角形, ∴ ?FBE ? ?FCD ? 60 ,∴ BE // CD
?

CD ? 平面SBE, BE ? 平面SBE
?CD // 平面SBE .
(2)由题意, ?ABE 为等腰三角形, ?BAE ? 120 ,
?

∴ ?ABE ? 30 ,又 ?FBE ? 60 ,
? ? ? ∴ ?ABC ? 90 ,∴ BC ? BA

∵ SA ⊥底面 ABCDE , BC ? 底面 ABCDE , ∴ SA ? CB ,又 SA ? BA ? A , ∴ BC ⊥平面 SAB 又 BC ? 平面SBC

∴平面 SBC ⊥平面 SAB . 考点: (1)直线与平面平行的判定; (2)平面与平面垂直的判定.

8

18.如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED⊥平面 ABCD,ED=1,EF∥BD 且 EF= (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:平面 EAC⊥平面 BDEF (3)求几何体 ABCDEF 的体积.

1 BD. 2

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)2 【解析】试题分析:(1)利用线线平行,推证线面平行;(2)利用一个面内一条直线与另一个 平面垂直,则这两个平面垂直,证明面面垂直;(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体 积求解. 试题解析:(1)证明:记 AC 与 BD 的交点为 O,则 DO=BO=

1 BD,连接 EO, 2

∵EF∥BD 且 EF=

1 BD, 2

∴EF∥BO 且 EF=BO,则四边形 EFBO 是平行四边形, ∴BF∥EO, 又∵ EO ? 面 ACE, BF ? 面 ACE, ∴BF∥平面 ACE; (2)证明:∵ED⊥平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,∴ED⊥AC. ∵ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, 又 ED∩BD=D,∴AC⊥平面 BDEF, 又 AC ? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 BDEF; (3)解:∵ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BD, 又∵EF∥BD 且 EF=

1 BD,∴BDEF 是直角梯形, 2

又∵ABCD 是边长为 2 的正方形,BD=2 2 ,EF= 2 , ∴题型 BDEF 的面积为

( 2 ? 2 2) ?1 3 2 ? , 2 2

由(1)知 AC⊥平面 BDEF, ∴几何体的体积 VABCDEF=2VA-BDEF=2× 1 SBDEF·AO= 2 ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 2 . 3 3 2 考点:空间直线与平面位置关系,几何体的体积 19.求经过 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.

9

【答案】 3x ? 2 y ? 0或x ? y ? 5 ? 0 【解析】 试题分析:本小题最优解是设直线方程的截距式,但考虑到截距式的局限性(即不能表达过 原点截距相等的直线方程) ,故分两类,一类过原点,一类截距相等不过原点的截距式:

x y ? ?1 a a
试题解析:设该直线在两轴上截距为 a.那么, ①当 a=0 时,直线过原点.由两点式求得直线方程为 3x ? 2 y ? 0 ; ②当 a≠0 时直线方程为

x y ? ? 1 把 P(2,3) 代入求得 a ? 5 .直线方程为 x ? y ? 5 ? 0 , a a

由①②知所求直线方程是 3x ? 2 y ? 0或x ? y ? 5 ? 0 . 考点:直线方程的求解. 20.圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,?1) , (1)试求圆 M 的方程; (2) 从点 P(3,1) 发出的光线经直线 y ? x 反射后可以照在圆 M 上, 试求发出光线所在直线 的斜率取值范围. 【答案】 (1) ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ; (2) [?

46 46 , ] 23 23

【解析】 试题分析: (1)根据条件一般来说,求圆的方法有两种(1)几何法,通过研究圆的性质进 而求出圆的基本量; (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解(2)运用入射光线 与反射光线的性质, 利用对称性简单易行; 直线与圆的位置关系可以根据他们构成方程组实 数解的个数来判断,也可根据圆心到直线的距离与半径的距离来判断 试题解析: (1)由题意知:过 A(2,-1)且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线方程为: y ? x ? 3 ∵圆心在直线:y=-2x 上,
y ? ?2 x ? ? x ? 1 即 M (1, ?2) ,且半径 r ? AO ? (2 ?1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 ,∴ ∴由 ? 1 ? ? ? y ? ?2 ?y ? x ?3

所求圆的方程为: ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

6 分(得到圆心给 2 分)

2 2 (2)圆 M 关于直线 y ? x 对称的圆为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2 ,

设发出光线为 y ? 1 ? k ( x ? 3) 化简得 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,由 2 ?

| ?2k ? 1 ? 3k ? 1| 1? k 2
10

得k ? ?

46 , 23

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 [?

46 46 , ]。 23 23

12 分

考点:求圆的方程点关于直线的对称性及直线与圆的位置关系

11



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