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指数和对数函数



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指数和对数函数 教学内容

指数与指数函数
★知识梳理 分数指数幂 根式 如果 x ? a(n ? 1, n ? N ) ,那么 x 称为 a 的 n 次实数方根;
n n 式子 a 叫做根式,其中 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 ?

r />?a ? ?a 方根的性质:当 n 为奇数时, a =a.当 n 为偶数时, a =|a|= ?
n n
n n

(a ? 0), (a ? 0).

2.分数指数幂

1
(1)分数指数幂的意义:a = a (2)有理数指数幂的性质:
m n

n

m

?

,a

m n

=

m an

1
m = a (a>0,m、n 都是正整数,n>1). n

a r ? a s ? a r ? s ; (a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r b r

(a ? 0, b ? 0, r ? R, s ? Q)

二、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数. ②指数函数的图像

y y= ax(a> 1 1 O x y= a x (0<a<1) y

1 O

x

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 y 轴对称. ④指数函数的性质:定义域:R; 值域: (0,+∞) ;过点(0,1) ;即 x=0 时,y=1. 当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. 画指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像时,应该抓住两点:一是过定点(0,1) ,二是 x 轴 是其渐近线 ★重、难点突破 重点:有理指数幂的定义及性质,指数函数的概念、图像与性质 难点:综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重难点:1.指数型函数单调性的判断,方法主要有两种: (1)利用单调性的定义(可以作差,也可以作商)
1

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(2)利用复合函数的单调性判断形如 y ? a

f ( x)

的函数的单调性:若 a ? 1 ,则 y ? f ( x) 的单调增(减)区间,就是

y ? a f ( x ) 的单调增(减)区间;若 0 ? a ? 1 ,则 y ? f ( x) 的单调增(减)区间,就是 y ? a f ( x ) 的单调减(增)区
间; 2. 指数函数的图像与性质 (Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图 所示,对 应关系为 (1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 则0 ? c ? d ?1? a ? b 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上相 应的底数由大变小,即无论在 y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (Ⅱ) 指数函数的图像 y ? a 与 y ? a
x ?x

(a ? 0, a ? 1) 的图象关于 y 轴对称

对数及对数函数
★知识梳理 对数的概念 如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b ? ab=N logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 二、对数的运算性质

loga(MN)=logaM+logaN.

M loga N =logaM-logaN.

logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)

log a N log a b (a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0). 三、对数换底公式:logbN=
四、对数函数的图像及性质 ①函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,图像如下
y y= log a x(a> 1) 1 O 1 x O x y= log a x(0< a< 1) y

②对数函数的性质:定义域: (0,+∞) ; 值域:R; 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0. 当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数。 五、对数函数与指数函数的关系 对数函数

y ? log a x

与指数函数 y ? a 互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称.。
x

★重、难点突破 1.对数函数性质的拓展
2

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(Ⅰ)同底数的两个对数值

log a f ( x)



log a g ( x)( a ? 0, a ? 1)

的大小比较

log a f ( x) ? log a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 若 a ? 1, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ,则


0 ? a ? 1, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0





log a f ( x) ? log a g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)
(Ⅱ)同真数的对数值大小关系如图 对应关系为 (1) (3)

y ? log a x y ? log c x

, (2) , (4)

y ? log b x y ? log d x



则作直线 y ? 1 得 0 ? c ? d ? 1 ? a ? b 即图象在 x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大

指数练习题(一)
1. 2
? ( 2 k ?1)

? 2 ?( 2k ?1) ? 2 ?2k 等于
?2 k

( (C) ? 2


? ( 2 k ?1)

(A) 2

(B)2
b ?b

? ( 2 k ?1)

(D)2 )

2.若 a>1,b>0, a ? a (A) 6
?1

? 2 2 ,则 a b ? a ?b 等于
(C)-2
?1



(B)2 或-2

(D)2
?2

3.若 a ? (2 ? 3 ) , b ? (2 ? 3 ) ,则 (a ? 1) 4.已知 10
m

? (b ? 1) ?2 的值是

? 2 , 10 ? 3 ,则 10
n

3m? n 2

的值为_____________。
1

5.化简:① (0.0001)

?

1 4

2

? (27 ) 3 ? (

49 ? 2 1 ) ? ( ) ?1.5 64 9

② a

3

7 2

a ?3 ?

3

a ?8 3 a15 ? 3

a ?3 a ?1

3

7.已知 a ? b

1 2

?

1 2

a2 ? a 2 ? 2 的值 ? 3, 求 2 a ? a ?2 ? 3
3

?

3

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指数练习题(二)
1.函数 f ( x ) ? a (a>0,且 a≠1) ,对于任意的 x、y∈R,都有
x

(A)f(xy) = f(x) + f(y) (C)f(x+y) = f(x)f(y) 2.函数 y ?

(B)f(xy) = f(x)f(y) (D)f(x+y) = f(x) + f(y)

a x ? 1 的定义域为 (??,0] ,则 a 的取值范围是
(D)a≠1

(A)a>0 (B)a>1 (C)0<a<1 3.下列四个函数中,值域为(0,+∞)的函数是 (A) y ? 2
1 x

(B) y ?
x

2x ?1

(C) y ?

2x ?1

(D) y ? ( )

1 2

2? x

4.函数 y ? a -b(a>0且a ? 1)的图像不经过第一象限,则 (A) 5.若 a
4x

a ? 1且b ? ?1 (B)
? ax
2

a ? 1且b ? ?1 (C) a ? 1且b ? 1


(D) a ? 1且b ? 1

?4

(a>0,且 a≠1) ,则 a 的取值范围是 , b ? 0.6
0.8

6.已知 a ? 0.6 7.函数 y ? 2

0.7

, c ? 1.01

0.8

,则 a,b,c 的大小关系是 ,最小值是

x?2

? 3 ? 4 x 在[-1,0]上的最大值是

8.点(2,1)与(1,2)在函数

f ? x ? ? 2ax ?b 的图象上,求 f ? x ? 的解析式。

9.设函数 f ( x) ? a ?

2 , 2 ?1
x

⑴ 求证: 不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; ⑵ 确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数;

指数练习题(三)
1.函数 y ? a 与 y ? ?a
x

?x

(a>0,且 a≠1)的图像关于 (C)原点对称 (D)直线 y=x 对称
4

(A)x 轴对称

(B)y 轴对称

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2.函数 y ? ?2

?x

? 2 的图像只经过
(C)第三、四象限
x
-x

(A)第一、二象限 (B)第二、三象限 3.下列说法中,正确的是 ①任取 x∈R 都有 3 >2 1
x x

(D)第一、四象限
-x

②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a


③y=( 3 ) 是增函数

④y=2|x|的最小值为

⑤在同一坐标系中,y=2x 与 y=2 x 的图象对称于 y 轴 (A)①②④ (B)④⑤ (C)②③④

(D)①⑤

4.函数 y ? ( )

1 2

1? x

的单调递增区间是--------(B) (0,+∞) (C) (1,+∞) (D) (0,1)

(A) (-∞,+∞) 5 函数 y ? 3 ? m
x ?2

(m>0,且 m≠1)的图像恒过定点 P,则定点 P 的坐标为 在区间(1,+∞)上是单调增函数,则 a 的取值范围____________。

6.函数 f ( x) ? a

x 2 ? ax ?1

7.求下列函数的定义域和值域:

1 (1) y ? ( ) 2

2 x ?1 x ?1



(2) y ?

3x ? 1 ; 3x ? 1

(3) y ? ( )

1 2

? x2 ?4 x

对数函数(一) :
对数运算练习: 1. 把下列指数式化成对数式:
5

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2

(1) 26 ? 64 ?

;(2) 53 ? 125 ?

4 ?2? ? ;(3) ? ? ? 25 ?5?
?4

;

(4) 36

?

1 2

1 ? ? 6

;(5) 7.5 ? 1 ?
0

? 1? ;(6 ? ? ? ? 81 ? ? 3?

.

2. 把下列对数式化成指数式: (1) log 2 16 ? 4 ? ; (2) log 49 7 ?
1 ? 2

;

(3) log 0.5 0.125 ? 3 ? (5) log 0.3 0.3 ? 1 ? 3. 求下列各式的值:

;

(4) log3

1 ? ?3 ? 27

;

;

(6) lg 0.0001 ? ?4 ?

.

(1) 5log5 6 =

; (2) 32log3 5 =

?1? ; (3) ? ? ?2?

log 2 7

=



4.计算: (1) log 3 3 9 = ; (2)

? log6 2 ?1?

2

? log6 3 =


2

1 (3) log 6 8 ? 2log 6 3 = 3

; (4)

? log6 2 ?1?
2

? log6 3 =
5 ? log 2 5 = 4

; 。 .

? ? (5) log 2 ?log 1 ? log 2 x ? ? ? 0 ,则 x ? ? 2 ?

; (6) log
;(8)

(7) lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 =

2 lg 2 ? lg 3 = 2 ? lg 0.36 ? 2 lg 2

5. 若 log x

?

2 ? 1 ? ?1, log 2 8 ? y, 求 x ? y .

?

6

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对数函数(二)
1.
log 8 9 的值是( log 2 3

) C.
3 2

A.

2 3

B.1

D.2 ) C.(0,1) ) D.(-∞,2) ) D.[1,+∞]

2.函数 f ( x ) ? log 2 ( x 2 ? 2x ? 1) 的定义域是( A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞)

3.函数 y ? log 5 x ? 2 (x≥1)的值域是( A.R B.[2,+∞]

C.[3,+∞]

4. f ( x ) ? log 5 ( x 2 ? 2x ? 2) ,使 f(x)是单调增函数的 x 值的区间是(

A.R B.(-∞,1) C.[1,+∞] D.(-∞,1)∪(1,+∞) 5.如果 0<a<1,那么下列不等式中正确的是( )
1 1

A. (1 ? a ) 3 ? (1 ? a ) 2
2 3

B. (1 ? a )1?a ? 1

C. log (1?a ) (1 ? a ) ? 0 ) C. f (x) ? lg( x 2 ? x ) )

D. log (1?a ) (1 ? a ) ? 0

6.在区间(0,+∞)上是增函数的函数是( A. f (x ) ? ( ) x ?1 B. f (x) ? log 2 (x 2 ? 1)
3

D. f ( x ) ? 101? x

7.函数 y ? log 3 ( x 2 ? 2x ? 3) 是单调增函数的区间是( A.(1,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,1)

D.(-∞,-1) )

8.如果 log a 2 ? log b 2 ? 0 ,那么下面不等关系式中正确的是( A.0<a<b<1 9 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1

若 a>0 且 a≠1,且 log a A.0<a<1 B. 0 ? a ?
3 4

3 ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( 4 3 3 3 C. a ? 或0 ? a ? D. 0 ? a ? 或 a>1 4 4 4

10.若函数 y = log 1 | x + a |的图象不经过第二象限,则 a 的取值范围是(
2



(A)( 0,+ ∞ ), (B)[1,+ ∞ ) (C)( – ∞,0 )(D)( – ∞,– 1 ]

2.若 2 log3 x ? ,则 x=________ 3 .函数 f(x)的定义域是[-1,2],则函数 f (log 2 x ) 的定义域是_____________

1 4

7

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8



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