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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题2 第1讲 选择题解题 5 技法



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第一讲 选择题解题 5 技法

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高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、基

本技能的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面,注重多个知
识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能充分考查考生灵 活应用基础知

识解决数学问题的能力. 选择题属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,其 基本解答策略是:充分利用题干和选项所提供的信息作出判

断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直接,先排除后求
解.解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏.

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解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类.直接 法是解答选择题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大,如 果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目

根本无法解答.因此,我们还要研究解答选择题的一些间接法的
应用技巧.总的来说,选择题属于小题,解题的常用原则是:小 题巧解.

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技法1 排 除 法 在解答某些选择题时,可以根据选项的特征,通过灵 活赋值,利用一些特殊的对象,如数、点等代入选项进行 验证,根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求 这一信息,可以间接地得到符合题目要求的选项.
[ 例 1] 已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的

零点 x1,x2,方程 f(x)=m 有两个不同的实根 x3,x4.若这 四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值 为( ) 1 A.- 2 1 B. 2 C. 3 2 D.- 3 2

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思维流程: 确定x1,x2的值 → 逐项验证 → 定结果
π 3π 解析:由题意,可知 x1,x2 的取值为2, 2 .对于 f(x)=m, 1 2π 4π 4π 2π 3π 若 m=-2,则 x3,x4 的两个值为 3 , 3 ,因为 3 - 3 ≠ 2 - 4π 3 ,显然这四个数不能构成等差数列; 1 π 5π 3π π 5π 若 m=2,则 x3,x4 的两个值为3, 3 ,因为 2 -2≠ 3 - 3π 2 ,故这四个数不能构成等差数列;
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3 π 11π 11π 3π 3π 若 m= 2 , 则 x3, x4 的两个值为6, 6 , 因为 6 - 2 ≠ 2 π -2,显然这四个数不能构成等差数列; 3 5π 7π 若 m=- 2 ,则 x3,x4 的两个值为 6 , 6 ,显然这四个 π 数能构成等差数列,公差为3.故选 D. 答案:D

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排除法的使用技巧

排除法适用于不易直接求解的选择题.当题目中的条件
多于一个时,先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以 否定, 再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾,这样逐 步排除,直到得出正确的选项.

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1.方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 ( ) A.0<a≤1 C.a≤1 B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0

1 解析:选 C 当 a=0 时,x=-2,故排除 A、D.当 a =1 时,x=-1,排除 B.

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2.

函数 y=f(x)的图像如图所示,给出以下命题: ①函数 y=f(x)的定义域是[-1,5]; ②函数 y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4]; ③函数 y=f(x)在定义域内是增函数; ④函数 y=f(x)在定义域内是奇函数. 其中正确命题的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③
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D. ②

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解析:选 A

y=f(x)的定义域中含有 x=3,①②正确;

函数 y=f(x)在定义域内不是增函数也不是奇函数,③④错 误.

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技法2 特值法 特值法(也称特例法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位

置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各个选项进
行检验,从而做出正确选择的方法,常用的特值法有:特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角和特殊 位置等.

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[ 例 2] 对于非空实数集 A, 记 A*={y|?x∈A, y≥x}. 设 非空实数集合 M,P 满足 M?P,且若 x>1,则 x?P.现给出 以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必有 P*? M*; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M , P , 必有 M*∩P≠?; ③对于任意给定符合题设条件的集合 M, P, 必有 M∩P* =?; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必存在常 数 a,使得对任意的 b∈M*,恒有 a+b∈P*. 其中错误的命题是( ) A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
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思维流程: 列出特例对 判断②和③错误, → → 得出正确选项 命题检验 ①和④正确

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解析: 对于②,假设集合 M = P= ,所以 M*∩P=?. 由此可知②错误; 对于③,假设 M=P= 1 又2∈P*,所以 M∩P*≠?. 由此可知③也错误. 同理,可证得①和④都是正确的.故选 D. 答案:D 1 ,则2∈M, ,则 M* =

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用特值法解题应注意三点

(1)所选取的特例一定要简单,且符合题设条件;
(2)特殊只能否定一般,不能肯定一般; (3)当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时,这 时要根据题设要求选择另外的特例代入检验,直到找到正确 选项为止.

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3.已知函数

? ?|lg x|,0<x≤10, ? f(x)=? 1 ?- x+6,x>10, ? 2 ?

若 a,b,c 均不 )

相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( A.(1,10) C.(10,12) B.(5,6) D.(20,24)

解析:选 C 不妨设 a<b<c,取特例,如取 f(a)=f(b)= 1 1 1 f(c)=2,则易得 a=10-2,b=102,c=11,从而 abc=11, 故选 C.
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4.设 ?(x),g(x),h(x)是 R 上的任意实值函数,如下定 义两个函数 (? ? g)(x) 和 (?· g)(x) .对任意 x ∈ R , (? ? g)(x) = ?(g(x)),(?· g)(x)=?(x)g(x),则下列等式恒成立的是( A.((??g)· h)(x)=((?· h )? (g · h))(x) B.((?· g)?h)(x)=((??h)· (g?h))(x) C.((??g)?h)(x)=((??h)?(g?h))(x) D.((?· g)· h)(x)=((?· h)· ( g· h))(x)
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)

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解析:选 B 取 ?(x)=-x,g(x)=x2,h(x)=x, 则((??g)· h)(x)=(-x2)· (x)=-x3, ((?· h)?(g· h))(x)=(-x2)?(x3)=-x6,A 错; ((?· g)?h)(x)=(-x3)?(x)=-x3,((??h)· (g?h))(x)= (-x)· (x2)=-x3,B 对;同理可验证 C、D 错.

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技法3 图 解 法 图解法就是将所研究的问题转化为函数的图像或借助

代数式的几何意义,作出相应的几何图形,综合几何图形
的直观特征得到正确选项的一种解题方法,其实质就是数 形结合思想的运用.

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[ 例 3]

1 已知函数 f1(x)=|x-1|,f2(x)= x+1,g(x)= 3

f1?x?+f2?x? |f1?x?-f2?x?| + .若 a,b∈[ -1,5] ,且当 x1,x2∈ 2 2 g?x1?-g?x2? [ a, b] 时, >0 恒成立, 则 b-a 的最大值为( x1-x2 A.2 C.4 B.3 D.5 )

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思维流程: 求出函数g?x?的 → 作出函数图象 → 数形结合求解 解析式
f1?x?+f2?x? f1?x?-f2?x? 解析:当 f1(x)≥f2(x)时,g(x)= + = 2 2 f1(x); f1?x?+f2?x? f2?x?-f1?x? 当 f1(x)<f2(x)时,g(x)= + =f2(x). 2 2 ?f ?x?,f ?x?≥f ?x?, ? 1 1 2 即 g(x)=? ? ?f2?x?,f1?x?<f2?x?.

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在同一直角坐标系中分别作出函数 f1(x)与 f2(x)的图象, 则 g(x)的图象为如图中的实线部分. 由图象,知 g(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞) g?x1?-g?x2? 上单调递增,又当 x1,x2∈[a,b]时, >0 恒成立, x1-x2 所以 g(x)在[a,b]上单调递增,即 a,b∈[0,5],则 b-a 的最 大值为 5.故选 D. 答案:D
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用图解法解题应注意的问题

图解法是依靠图形的直观性进行分析的,用这种方法解
题比直接计算求解更能抓住问题的实质,并能迅速地得到结 果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图 形较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择.

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1 5.函数 y=|log x|的定义域为[ a,b] ,值域为[ 0,2] , 2 则区间[ a,b] 的长度 b-a 的最小值是( A.2 3 B. 2 C.3 ) 3 D. 4

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解析:

选D

1 作出函数 y=|log2x|的图象,如图所示,由 y=0,

1 解得 x=1,由 y=2,解得 x=4 或 x=4.所以区间[a,b]的长 1 3 度 b-a 的最小值为 1-4=4.

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6.若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称,则称点 对[ P,Q] 是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[ P, Q] 与 [ Q , P] 看作同一对“友好点对”) .已知函数 f(x) =
?log x?x>0?, ? 2 ? ?-x2-4x?x≤0?, ?

则此函数的“友好点对”有( B.1 对 D.3 对

)

A.0 对 C.2 对

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解析:选 C

根据题意,将函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图象绕原点旋 转 180° 后,得到的图象所对应的解析式为 y=x2-4x(x≥0), 再作出函数 y=log2x(x>0)的图象,如图所示.由题意,知函 数 y=x2-4x(x>0)的图象与函数 f(x)=log2x(x>0)的图象的交 点个数即为“友好点对”的对数.由图可知它们的图象的交 点有 2 个,所以此函数的“友好点对”有 2 对.
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技法4 正难则反法 在解选择题时,有时从正面求解比较困难,可以转化

为其反面的问题来解决,即将问题转化为其对立事件来解
决,实际上就是补集思想的应用.
[ 例 4] 范围是( ) B.(-∞,0) D.(-∞,1)
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若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值

A.(0,+∞) C.(1,+∞)

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思维流程: 寻找问题 由y=ex+mx无 求上述m取 得出 → → → 的对立面 极值求m 值的补集 结论

解析:y′=(ex+mx)′=ex+m,函数 y=ex+mx 没有 极值的充要条件是函数在 R 上为单调函数,即 y′=ex+ m≥0(或≤0)恒成立,而 ex≥0,故当 m≥0 时,函数 y=ex +mx 在 R 上为单调递增函数,不存在极值,所以函数存在 极值的条件是 m<0. 答案:B
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利用正难则反法解决问题的关键

应用正难则反法解决问题的关键在于准确转化.在本例中,
根据函数有极值得到函数不单调,但从正面无法直接判断, 所以可以考虑其反面,即函数在R上单调,其导函数的值恒 大于0或恒小于0.

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7.设集合 A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5, x∈R},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0<a<6} C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} ) B.{a|a<2 或 a>4}

解析:选 A 当 A∩B=?时,由图可知 a+1≤1 或 a- 1≥5,所以 a≤0 或 a≥6.故当 A∩B≠?时,0<a<6.

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?0≤x≤2, ? M:? ?0≤y≤2, ?

8.已知区域

定点 A(3,1),在 M 内 )

任取一点 P,使得|PA|≥ 2的概率为( 5 π A. - 4 4 5 π C. - 4 8 π B.1- 4 π D. -1 2

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解析:选 C 如图,区域 M 表示边长为 2 的正方形,其 面积为 22=4. 满足|PA|< 2的点 P 在以点 A(3,1)为圆心, 2为半径的 圆内(阴影部分). 连接 AB,AC,由|AB|=|AC|= 12+12= 2,|BC|=2, 知 AB⊥AC, π 1 π 则 S 阴影=4×2-2× 2× 2=2-1.

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π 2-1 故在 M 内任取一点 P, 使得|PA|< 2的概率为 p= 4 = π 1 8-4. π 1 5 π 故所求的概率为 1-p=1-8+4=4-8.

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技法五 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程,

因此,有些题目不必进行准确的计算,只需对其数值特点
和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就 是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维 的层次.

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? m- 3 4-2m? ?π ? < θ <π 已知 sin θ= ,cos θ= ?, 则 2 m+ 5 m+ 5 ? ? ?

[ 例 5] θ tan =( ) 2 m- 3 A. 9-m 1 C.- 5

m- 3 B. |9-m| D.5

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[思维流程]

[解析]

由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,m 为一确

θ π π θ 定的值,进而推知 tan2也为一确定的值,又2<θ<π,所以4<2 π θ <2,故 tan2>1. [答案] D
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估算法的应用技巧 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解

的方法.当题目从正面解析比较麻烦,特值法又无法确定正确
的选项时,如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的 变化等问题,常用此种方法确定选项.

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?x≤0, ? ? y≥0, 为不等式组? ? ?y-x≤2 ?

9. 若A

表示的平面区域, 则当 a

从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分 区域的面积为( 3 A. 4 ) B.1 7 C. 4 D.2

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解析: 选 C 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直 1 角三角形. 阴影部分面积比 1 大, 比 S△OAB=2×2×2=2 小, 故选 C 项.

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1.选择题设置特点精巧易错
近年来,高考选择题减少了繁琐的运算,着力考查学生 的逻辑思维与直觉思维能力,考查学生观察、分析、比较、 选择简捷运算方法的能力,试题具有设置精巧、运算量不大、 试题破解时易错的特点,着力考查学生的解题能力.

2.选择题的解题策略灵活多变
选择题的解题策略需要因题而变,对于容易题和大部分 中等难度的题,可采取直接法;与几何图形有关的题,尽可 能先画出图形,用数形结合的方法或者几何法;难度较大或
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一时找不到思路的题,常使用一些技巧,采用非常规方法的
同时注意多用图,能不算则不要算;实在不会的,猜一下, 不要留空.温馨提示:小题小做,小题巧做,切忌小题大 做. 3.选择题的破解技巧多样简捷

选择题的解题方法较多,解答选择题的首要标准是准确,其
次要求是快速,力求做到又准又快.解数学选择题有两类基 本技巧:一是直接法;二是间接法.直接法:指充分利用题 干和选项两方面提供的信息,快速、准确地作出判断,是解
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选择题的基本策略;间接法:解选择题时通过注意到通常各
类常规题的解题思想来指导选择题的解答,或根据选择题的 特殊性,寻找存在着若干异于常规题的特殊解法.一般在解 选择题时应先考虑除直接法外的其它方法,充分利用题干和 选项两方面提供的信息,快速、准确地作出判断,是解选择

题的基本策略.

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