2011山东临清三中数学必修4教学案：2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

临清三中数学组 编写人：罗清华

审稿人： 刘桂江 李怀奎

2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示
教学目标： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： 平面向量基本定理：如果 e1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ 1，λ 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 1 a ? xi ? yj …………○1○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 2 a ? ( x, y) …………○2○ 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，○2○式叫做向量的坐标表示. 与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y ) . ． ．．．．．．．．．． 特别地， i ? (1,0) ， j ? (0,1) ， 0 ? (0,0) .
2 是被

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? a ， e1 ， e 2 唯一确定的数量

如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 OA ? a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ，则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标 ( x, y ) 也就 是向量 OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表 示. 2．平面向量的坐标运算 （ 1 ） 若 a ? ( x1 , y1 ) ， b ? ( x2 , y 2 ) ， 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ，

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ，则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ，同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) （2） 若 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) ，则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)
（3）若 a ? ( x, y) 和实数 ? ，则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、j ， ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ， ?a ? (?x, ?y) 则 即 三、讲解范例： 例 1 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求 AB 的坐标. 例 2 已知 a =(2，1)， b =(-3，4)，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为 ABCD 时，由 AB ? DC 得 D1=(2， 2) 当平行四边形为 ACDB 时，得 D2=(4， 6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D3=(?6， 0)

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例 4 已知三个力 F1 (3， 4)， 的坐标. 解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0

F2 (2， ?5)， F3 (x， y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ，求 F3

得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)

即： ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5，1)

四、课堂练习： 1．若 M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP ?

1 MN ， 求 P 点的坐标 2
.

2．若 A(0， 1)，

B(1， 2)， C(3， 4) ， 则 AB ?2 BC = C(1， 3)，

3．已知：四点 A(5， 1)， B(3， 4)， 是梯形. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

D(5， -3) ， 求证：四边形 ABCD

临清三中数学组 编写人：罗清华

审稿人： 刘桂江 李怀奎

2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案 一、复习回顾： 平面向量基本定理：

理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一，关键是 ；

;

(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式 二、提出疑惑： 如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何 呢？ . 即λ 1，λ 2 是被 a ， e1 ， e 2 唯一确定的数量

?

课内探究学案 一、探究学习 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 1 a ? xi ? yj …………○ 我们把 ( x, y ) 叫做 2 a ? ( x, y) …………○ ，记作

2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，○式叫做 等的向量的坐标也为 ( x, y ) . ．．．．．．．．． 特别地，i= , j= , 0= .

与a相 ． ．

如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 OA ? a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ，则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1）若 a ? ( x1 , y1 ) ， ? ( x2 , y 2 ) ， a ? b = 则 b 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ，则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b= ，同理可得 a ? b = . ， ?b= a .

（2） 若 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) ，则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2， y2) ? (x1，y1)=
（3）若 a ? ( x, y) 和实数 ? ，则 ?a ? (?x, ?y) .

.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、 j ， ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ， ?a ? (?x, ?y) 则 即 二、讲解范例： 例 1 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求 AB 的坐标.

??? ?

例 2 已知 a =(2，1)， b =(-3，4)，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐标.

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例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点.

例 4 已知三个力 F1 (3， 4)， 的坐标.

F2 (2， ?5)， F3 (x， y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ，求 F3

三、课堂练习： 1．若 M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP ?

1 MN ， 求 P 点的坐标 2
.

2．若 A(0， 1)，

B(1， 2)， C(3， 4) ， 则 AB ?2 BC = C(1， 3)，

3．已知：四点 A(5， 1)， B(3， 4)， 是梯形. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略）

D(5， -3) ， 求证：四边形 ABCD

课后练习与提高 1、在平面直角坐标系中，已知点 A 时坐标为（2，3） ，点 B 的坐标为（6，5） ，则

?? ? ??? OA =_______________， OB =__________________。
2 、 已 知 向 量 | a |? 4 , 的 方 向 与 x 轴 的 正 方 向 的 夹 角 是 30 ° ， 则 a 的 坐 标 为 _____________。 3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ A． a ? (0,0),b ? (1,?2) B． a ? (?1,2),b ? (5,7) ）

?

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b C． a ? (3,5) ? (6,10)

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?

b D． a ? (2,?3) ? (4,?6)

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4、已知向量 a ? (?2,4) b ? (1,?2)则 a 与 b 的关系是（

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?

?

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）

A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向 5、已知点 A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6） 在平面直角坐标系中，分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

??? ??? ??? ?

??? ??? ??? ?

参考答案： 1、 （2，3） （6，5） 2、 2 3 ，2） （ 3、B 5、略 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4、D

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