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【数学】3.2《一元二次不等式1》课件(苏教版必修5)



一元二次不等式
第1课时

概念:
一元二次方程: ax2+bx+c=0

二次函数:

y=ax2+bx+c

一元二次不等式: ax2+bx+c>0 a≠0

y x 一元二次不等式: 2-6x+8﹥0 x2-6x+8<0 一元二次方程:x2

-6x+8=0 二次函数: y=x2-6x+8
① ②




x 由图像可看出: 当y=0时, x=2或x=4; 当y>0时, x<2或x>4; 当y<0时,2<x<4。 思考:一元二次方程、一元二次不等式与相应的一 元二次函数之间有什么内在联系? (1)、一元二次方程ax2+bx+c=0的根即是一元二次 2 函数y=ax +bx+c的图像与x轴交点的横坐标; (2)、一元二次不等式ax2+bx+c﹥0(a ﹥0)的解集 2 即是一元二次函y=ax +bx+c的图像(抛物线)位于 x轴上方的点所对应的x值的集合。(3)……

0 2

4

通过以上两例,我们不难对ax2+bx+c>0 (a>0)和

ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
y

设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式△。 (1)当△>0时,二次方程 ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1, x2,(设x1<x2).函数的零点把x轴分 O x1 成三个区间 (-∞,x1),(x1,x2),(x2,+∞), 不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2).

x x2

不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪ (x2,+∞),

简单的说是:大于在两边,小于在中间。

y

(2)当△=0时,通过配方得,

b 2 4ac ? b2 b 2 y ? a( x ? ) ? ? a( x ? ) O b 2a 4a 2a 2a 2+bx+c>0的解集是 x ? ? b 由图可知,ax
的全体实数,即 (??, ? b ) ? (? b , ??) 2a 2a
2a

x

ax2+bx+c<0的解集是空集,即不等式
无解。 (3)当△<0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在

x轴上方,由此可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是
实数集R,不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。

例1:解不等式5x2-10x+4.8<0 解:解方程5x2-10x+4.8=0得:x1=0.8,x2=1.2 作出函数y=5x2-10x+4.8的草图 y 如图所示。
所以不等式5x2-10x+4.8<0的 { 解集为:x 0.8 ? x ? 1.2} 例2.解不等式1-x-4x2>0. 解:原不等式化为4x2+x-1<0,
0 0.8 1.2 x

因为△=12-4×4×(-1)>0, ?1 ? 17 ?1 ? 17 2+x-1=0的根是 x ? , x2 ? 方程4x 1 8 8 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ?x? } 所以不等式的解集是{x | 8 8

例3.解不等式x2+4x+4>0. 解:因为△=42-4×1×4=0, 原不等式化为(x+2)2>0,

所以不等式的解集是{x∈R| x≠-2}.
例4.解不等式-2x2+4x-3>0. 解:原不等式化为2x2-4x+3<0, 因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1>0,

所以原不等式的解集是 ?

例5.求函数 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 3 ? log3 (3 ? 2 x ? x 2 )

的定义域。
解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2 x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ? 3 ? 2 x ? x2 ? 0 ?

?(2 x ? 3)( x ? 1) ≥ 0 即 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?

解得

3 ? ? x ≤ ? 或x ≥ 1 2 ? ? ?1 ? x ? 3 ?

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).

例 练习: 解下列不等式 : 例1 1 解下列不等式 : ?1x 2 2?? 7 x ? 12 ? 0 ; ?22?? x 2?? 2 x ? 3??00 ; ?1? ? x 7 x ? 12 ? 0 ; ?? ? x 2 2 x ? 3 ;
2

?3?3x x ?? 2 x ? 1 ? 0 ; ?44x x ?? 2 x ? 2 ?00 . ? ? 2x ? 1 ? 0 ; ? ? ? 2x ? 2 ? . x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 的解集是? x | x ? 3 或 x ? 4 ?. ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是? x | ?3 ? x ? 1 ?.
2
2

2

x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为? . x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的解集为? .
2

归 求解一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0?的过程, 纳 可用下图所示的流程图来描述. 输入a,b,c 一
△=b2-4ac
N Y

△>0

输出”解集为ф ”

x1 ?

?b? ? ?b? ? , x2 ? 2a 2a

输出{x|x1<x<x2}
结束

归纳2
方程或不等式 (a>0)
2

解 Δ >0

集 Δ =0 {-
b } 2a

Δ <0
?

ax +bx+c=0、 {x|x=x1 或 x=x2}

ax2+bx+c >0 {x|x<x 小 或 x>x 大} {x|x≠-

b } 2a

R

ax2+bx+c <0

{x|x 小<x <x 大}

?

?

归纳3 图像法解一元二次不等式步骤
解方程,画草图,写解集.

P69: 练习:

1、2

小结:
1.数形结合思想
2.求解一元二次不等到式的三个步骤:

解方程,画草图,写解集.
作业:P71 第1 题(1)(3) 第2题(1)(2)
补充 求不等式x2-x-12≤0的整数解.



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