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5.3.1任意角的三角函数的概念



5.3.1

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
1.掌握任意角的三角函数的定义. 2.理解终边相同的角的三角函数值相等.

【教学目标】

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】

任意角的三角函数的定义. 任意角的三角函数的定义及其运算.

(一) 复习回顾 1.

角的概念. 练习: (1)180- ? 与 ? 的终边 A.关于 x 轴对称
?
2

2.终边相同的角.( ?

? ? ? k ? 360 ? ( k ? Z ) )





B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 )
?

(2)下列各组角中,终边相同的角是( A. ? 与 k ?
2 k
? (k ? Z )

B. k ?

?
3



k 3

?
?
6

(k ? Z ) (k ? Z )

C. ( 2 k

? 1) ? 与 ( 4 k ? 1) ?

(k ? Z )

D. k ?

?

?
6

与 k? ?

(3)下列转化结果错误的是 A. 67
?

3 0 ? 化成弧度是 3 ? 8
?

rad

B. D.

?

10 3

?

化成度是-600 度

C. ? 150 化成弧度是 ? rad
6

7

?
12

化成度是 15 度

3.锐角三角函数的定义:
sin A ? 对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边 ? BC AB ? AC AB ? BC AC

B 斜边 邻边

, , .
A

对边

cos A ?

tan A ?

C

1

(二)讲授新课 1.任意角的三角函数的定义 问题(1) :如何将上述的三角形放入直角坐标系中? 将 ? A 的顶点即点 A 与坐标原点重合, 将其始边 AC 与坐标系中 x 轴的正半 轴重合,B 点坐标为(x,y) 。 根据现有的图形,将刚才的定义进行改写:
AC ? x

y

B

, BC

? y

, AB

?

x

2

? y

2

? r

(勾股定理).
A

把这三个式子带入原始的定义中去可以得到:
s in ? ? y r cos ? ? x r
2

,
2

,
2

ta n ? ?

y x

O

C

x

.

r (r ?

x

? y

?

x

2

? y

)。
? ? ? y r x r y x

(1)比值 (2)比值

y r
x r

叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? 叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ?

; ; ;

(3)比值 y 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ?

问题(3) :若角的终边落在其他象限,如何求呢? 当角的终边在第二、第三、第四象限的时候,其三个三角函数值的计算公式 与上述的完全相同,但符号发生了变化: 第一象限: x 第二象限: x 第三象限: x 第四象限: x
? 0, y ? 0 ,r ? 0 ? 0 , y ? 0 ,r ? 0 ? 0,y ? 0 ? 0,y ? 0

; ; ; .

,r ,r

? 0 ? 0

可以看出: x 与 y 是随着象限的变化而不同,但 r 永远为正.

例 1.



5? 3

的正弦,余弦和正切值。

2

例 2. 已知角 ? 的终边经过点 P ( ? 2 解:∵ x ∴
? ? 2 , y ? 3 ,∴ r ?

, 3)
2

,求 ? 的三个三角函数值.
? y
2

x

?

(?2) ? 3
2

2

?

13

.

sin ? ?

y r

?

3 13

?

3 13 13



cos ? ?

x r

?

?2 13

? ?

2 13 13



tan ? ?

y x

?

3 ? 2

? ?

3 2

.

练习: 已知角 ? 的终边经过 p(-3,-4) ,求角 ? 的正弦,余弦,正切值。

2. 终边相同角的三角函数值 问题(3) :我们知道 sin
30 ? ? 1 2

,那么 sin

390 ? ?


390 ? ? 1 2

我们可以发现这两个角的终边相同,则不难得到 sin 由此可以概括为(从角度和弧度两个方面教授) :
sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ? cos( 2 k ? ? ? ) ? cos ? tan( 2 k ? ? ? ) ? tan ?

.

, sin(

k ? 360 ? ? ? ) ? sin ?

; ; .

, cos( , tan(

k ? 360 ? ? ? ) ? cos ? k ? 360 ? ? ? ) ? tan ?

例 1. 求下列各三角函数值: (1) sin 解:(1)
9? 4
sin 9? 4 ? sin( 2 ? ?



(2) cos(
?
4

? 330 ? ) ;

(3) tan(
2 2

?

23 ? 3

)

.

) ? sin

?
4

?



(2) (3)

cos( ? 330 ? ) ? cos( ? 360 ? ? 30 ? ) ? cos 30 ? ?

3 2



tan( ?

23 ? 3 25 ? 4

) ? tan( ? 8 ? ?

?
3

) ? tan

?
3

?

3

.

练习:计算 sin

和 cos(

? 675 ? ) 的值.

作业:P104,练习 5.3.1

3



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