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江西省上饶市上饶中学2016届高三数学上学期第一次月考试题(理科重点、潜能班)



上饶中学 2015-2016 学年高三上学期第一次月考 数 学 试 卷(理科重点、潜能班)
考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、集合 A ? {x | x2 ? 7 x ? 0, x ? N *} ,则 B ? ? y A.1 个 B.2 个 分值:150 分

? 6 ? N ? , y ? A ? 中元素的个数

为( ) ? y
D.4 个 )

C.3 个

2、已知集合 A ? {? x, y ? | x ? 2 y ? 4 ? 0} ,集合 B ? {? x, y ? | x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. ?0, 2? B.

??0,2??

C. ? 0, 2 ? )

D. ?

3、已知命题 p : ?n ? ? , n ?

10 ? 4 ,则 ?p 为( n

10 ?4 n 10 ?4 C. ?n ? ? , n ? n
A. ?n ? ? , n ? A.7 个 B.8 个 C.9 个

10 ?4 n 10 ?4 D. ?n ? ? , n ? n
B. ?n ? ? , n ? ) D.10 个 ) D. (0,1)

4、设 A ? {0,1} , B ? {0,1, 2} ,则从 A 到 B 的映射有( 5、函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (3,4)

2 的零点所在的大致区间是 ( x
C. (1,2)

B. (2,e)

6、已知角 ? 的终边经过点 p0 (-3,-4) ,则 cos( A. ?

?
2

? ? ) 的值为(
D. ?



4 5
?

B.

3 5
?

C.

4 5
( )

3 5

7、 (1 ? tan18 )(1 ? tan 27 ) 的值是

A. 2

B. 3

C.2

D 5

8、在 ? ABC 中, sin A ? A.

63 33 或 65 65

4 12 , cos B ? , 则 sin c 的值为( ) 5 13 33 63 33 13 或 B. C. D. 65 65 65 65


9、函数 y ?

cos x 的图象是( ln x

-1-

10 、 ?ABC 的 三 内 角 A, B, C 的 对 边 边 长 分 别 为 a, b, c , 若 a ?

5 b, A ? 2 B , 则 2

c o sB ? (
A.

) B.

5 3

5 4

C.

5 5

D.

5 6

11、已知 f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? log 2 x ,则

f (2015) ? (
A.-2

) B.

1 2

C.2

D.5

' 12、已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对于任意的 x , f ( x ) ?

1 恒成立,则 2

不等式 f (lg x) ?
2

lg 2 x 1 ? 的解集为( ) 2 2
B. (0,

A. (0,

1 ) 10

1 ) ? (10, ??) 10
? 1 3

C. (

1 ,10) 10

D. (10, ??)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.计算log2.5 6.25 ? ln e ? (0.064)

?

14 、 已 知 A ? { x ? 2 ? x ?5} , B ? {x m ?1 ? x ? m ?1} , B ? A , 则 m 的 取 值 范 围 为 . 15、如果 tan(? ? ? ) ?

? 2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是________. 4 5 4 4

16、已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 2 在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. p?q
三、解答题(第 17 题 10 分,第 18、19、20、21、22 每题 12 分,共 70 分)
2 17、已知命题 p :存在 x ? [1,4] 使得 x -4 x ? a ? 0 成立,命题 q :对于任意 x ? R ,函数

f ( x) ? lg( x 2-ax ? 4) 恒有意义.
(1)若 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p ? q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

-2-

18、已知函数 f ?x? ? ?sin x ? cos x? ? cos?? ? 2x?
2

(1)求 f ?x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)求 f ?x ? 在区间 ?

? ? 3? ? 上的取值范围。 , ?4 4 ? ?

19.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对边分别为 a , b, c ,且 b sin A ? 3a cos B (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a, c 的值.

20、 设 f ( x) 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? , 且 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? (1)求当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式; (2) 解不等式 f ( x) ? ?

x , 1 ? 3x

x . 8

-3-

21、设函数 f ( x) ? 2ln x ?

1 . x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 C 8 A 9 B 10 B 11 A 12 C

(2)如果对所有的 x ≥1,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

22、已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 . ? ln ( a 为实数) x x 1 1 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 处的切线方程; 2 2 1 1 1 1 1 (2)已知 n ? N* ,求证: ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 4 5 n

上饶中学 2015-2016 学年高三上学期第一次月考 数 学参考答案(理科重点、潜能班) 14. ?-1,4?

13、 0

15.

3 22

16. a ? 15

2 17.解析: (1)设 g ( x) ? x -4 x ? a ,对称轴为 x ? 2

若存在一个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (4) ? 0 ,得 0 ? a ? 3 , 若存在两个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (2) ? 0 ,得 3 ? a ? 4 , 故满足条件的实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 4 (2)由题意知 p, q 都为假命题,若 p 为假命题,则 a ? 0 或 a ? 4
2 若 q 为假命题,则由 ? ? a ? 16 ? 0 得 a ? ?4 或 a ? 4

-4-

故满足条件的实数 a 的取值范围为 a ? ?4 或 a ? 4

18.解析: (1)∵ f ?x ? ? ?sin x ? cos x ? ? cos?? ? 2 x ? ?
2

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?

∴函数 f ?x ? 的最小正周期为 T ? 由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

2? ?? 。 2

? 2k? , (k ?Z ) 得?

?
8

? k? ? x ?

3? ? k? , ?k ? Z ? 8

? 3? ? ∴ f ?x ? 的单调增区间是 ?? ? k? , ? k? ? , ?k ? Z ? ? 8 8 ? ?
(2)∵

?
4

?x?

3? ? ? 5? ? 2x ? ? ,∴ 4 4 4 4

??

2 ?? ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1,? 0 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 2 ? 1 2 4? 4? ? ?
? ? 3? ? 上的取值范围为 ?0, , ? ?4 4 ? ?

∴函数 f ?x ? 在区间 ?

2 ? 1? ?
a b ? sin A sin B , 所以 B ?

19.解析: (1)因为 b sin A ? 3a cos B. 由正弦定理 得: sin B ? 3 cos B, tan B ? 3 ,因为 0 ? B ?

?
2

?

3

2 2 2 ( 2 )因为 sinC ? 2 sin A, 由正弦定理知 c ? 2a ①由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得

9 ? a 2 ? c 2 ? ac ②。由①②得 a ? 3, c ? 2 3.
20.解析: (1)? f ?x ? 是奇函数,所以当 x ? 0 时, f ?x ? ? ? f ?? x ? , ? x ? 0 ,

x ?x x ? ? 当 x ? 0 时, f ?x ? ? ? f ?? x ? ? ? x ?x 1? 3 1? 3 1 ? 3? x x x x ?? (2) f ? x ? ? ? ,当 x ? 0 时,即 x 8 8 1? 3 1 1 1 1 ? ? ? ,所以 x ? ,? 3 x ? 1 ? 8 ,所以 x ? 2 ,所以 x ? ?0,2? . x 8 1- 3 3 ?1 8 x x 1 1 ? ? ,? ?? 当 x ? 0 时,即 ?x ?x 8 8 1? 3 1- 3
又? 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 所以 3
?x

? 32 ,? x ? ?2 ,所以解集是 ?- ?, - 2? ? ?0,2?

-5-

21: (1)函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 单调递增.

1 2

1 2

2ln x 1 ? 2 x x 2ln x 1 2 ? 2ln x 1 2( x ? x ln x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 3? 令 h( x ) ? x x x2 x x3
(2)当 x ≥1 时, f ( x) ≤ ax ? a ? 令 m( x) ? x ? x ln x ? 1( x ? 1) ,则 m?( x) ? ? ln x ,当 x ≥1 时, m?( x) ? 0 于是 m( x) 在 [1, ? ?) 上为减函数,从而 m( x) ? m(1) ? 0 ,因此 h?( x) ? 0 , 于是 h( x) 在 [1, ? ?) 上为减函数,所以当 x ? 1 时 h( x) 有最大值 h(1) ? 1 , 故 a ? 1 ,即 a 的取值范围是 [1, ? ?) . 22.解析: (1)切线方程为: 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0

1? x , 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 ? (1, ??) 时, x2 1 1 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,∴ f ( x) ? 1 ? ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0 x x 1 1 1 1? x 即 f ( x) ? 1 ? ? ln ? f (1) ? 0 ,∴ ln ? , x x x x n n ?1 1 1 令x? ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? , n ?1 n n n
(2) 当 a ? 1 时, f ?( x) ? ∴ ln(n ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln1 ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? [ln n ? ln( n ? 1)] ? ? ? (ln 2 ? ln1)

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? .故 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? n n ?1 n ? 2 1 2 3 4 5 n

-6-



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