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选修2-2模块测试前两章



选修 2-2 模块测试题(A)
一、选择题
1. y ?
3

x ? x 的导数 y ' 为(
B.

) .

A.

5 x 6

56 x 6

C.

5 66 x

/>D.

56 x 6

2.已知 f ( x ? 1) ?

2 f ( x) ,猜想 f ( x ) 的表达式为( , f (1) ? 1 (x ? N ?) f ( x) ? 2 4 2 1 A. f ( x ) ? x B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? 2 ?2 x ?1 x ?1
) . C. y ? x 3 ? x

) . D. f ( x) ?

2 2x ?1

3.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是( A. y ? sin 2 x B. y ? xe x

D. y ? ln(1 ? x) ? x ) .

4.设函数 f ( x) ? x m ? tx 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 ?

? 1 ? ? (n ? N *) 的前 n 项和为( ? f (n) ?
D.
2? 0

A.

n ?1 n

B.

n ?1 n

C.

n n ?1

n?2 n ?1

6.给出以下命题: (1)若

?

b a

(2) ? f ( x)dx ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;

sin xdx ? 4 ;
a 0

(3) f ( x ) 的原函数为 F ( x) ,且 F ( x) 是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( A. 1 B. 2 7.用数学归纳法证明不等式 等式左边( A.增加了 1 项 ) . ) . C. 3

?

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

D. 0

1 1 1 1 13 ? ? ? ??? ? ? (n ? 2) 的过程中,由 n ? k 递推到 n ? k ? 1 时的不 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24

1 2(k ? 1)

B.增加了 2 项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

C.增加了“

1 1 1 ? ”,又减少了“ ”; k ?1 2k ? 1 2(k ? 1)

D.增加了

1 1 ,减少了“ ” k ?1 2(k ? 1)
) .

8.设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, b] 上均可导,且 f ?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) B. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

二、填空题
f 11 . 函 数 y ? f ( x) 在 (0, 2) 上 是 增 函 数 , 函 数 y ? f ( x? 2 )是 偶 函 数 , 则 f (1) , f ( 2 . 5) , ( 3的 大 小 关 系 . 5)

是 . 12.对于定义在区间 [ a, b] 上的函数 f (x) ,给出下列命题: (1)若 f (x) 在多处取得极大值,那么 f (x) 的最大值一定
第 1 页 共 5 页

是所有极大值中最大的一个值; (2)若函数 f (x) 的极大值为 m ,极小值为 n ,那么 m ? n ; (3)若 x0 ? (a, b) , 在 x0 左侧附近 f ' ( x) ? 0 , f ' ( x0 ) ? 0 , x0 是 f (x) 的极大值点; 4) f ' ( x) 在 [ a, b] 上恒为正, f (x) 在 [ a, b] 且 则 ( 若 则 上为增函数,其中正确命题的序号是 .

三、解答题
13.已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,试判断 f ( x) 在区间 ? ?4, 4? 上的 单调性,并证明你的结论.

b 14.已知 a 、 ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求证: b ? a .
a b

15.已知函数 f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数 g ( x) ? (1)当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式;

1 ? af ?( x)( x ? 0) : f ?( x)

(2)若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,求直线 y ?

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6

第 2 页 共 5 页

答案与解析: 1.C 推理形式不符合演绎推理的形式. 2.A

? Z ? R ,得 a2 ? 2a ?15 ? 0 ? a ? 3, 或 ? (舍) . 5

3.C 该数列为 2,3, 2,3, 2,3,...
1 5 1 5 5 ?1 5 ? 1 5 y ? 3 x ? x ? x 3 ? x 2 ? x 6 ,所以 y ' ? ? x 6 ? ? x 6 ? 6 . 6 6 6 x

4.C

5.B 计算得 f (1) ? 6.B 7.C

2 2 2 , f (2) ? , f (3) ? 由归纳猜想可得. 2 3 4

y' ? ( xex )' ? ex ? xex ? 0 恒成立.

log2[log3 (log4 x)] ? 0,log3 (log4 x) ? 1,log4 x ? 3, x ? 43 ? 64 , log3[log4 (log2 x)] ? 0,log4 (log2 x) ? 1,log2 x ? 4, x ? 24 ? 16 ,
log4[log2 (log3 x)] ? 0,log2 (log3 x) ? 1,log3 x ? 2, x ? 9 ,
x ? y ? z ? 89 .

8.C

f ' ( x) ? ( xm ? tx)' ? mxm?1 ? t ? 2x ? 1,得 m ? 2, t ? 1,即 f ( x) ? x2 ? x ,
1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? , Sn ? 1 ? ? ? ? … ? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 f ( n) n( n 1 ) n ?n 1 ?

9.C

1? i 1? i 1? i 1? i ? ? ? ? ?1 . 2 2 (1 ? i) (1 ? i) 2i ?2i
1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,当 n ? k ? 1 时, k ?1 k ? 2 k ? 3 2k

10.B 仅仅(1)是错误的,其余正确. 11.C 当 n ? k 时,不等式左边为

不等式左边为

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ,对照可得出结论. k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

12.C

? ,则 F ( x) 在 [a, b] 上为减函数,则由 a ? x ? b ,得 令 F ( x)=f ( x) ? g ( x) ,由 F ?( x)=f ? ( x )? g? ( x ) 0

f ( x) ? g ( x)< f (a) ? g (a) ,即 f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) .
13.

x 1 ? nx
2

通过计算可知 f ( f ( x)) ?

x 1? 2x
2

, f ( f ( f ( x))) ?

x 1 ? 3x 2

,

于是猜想 f ( f (... f ( x))) ?

x 1 ? nx 2

?? ??? ? ?
n次



14.二

由一元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程的根的关系得 m ? 0,

p ? ? 2 ? 0 ? p ? 0,即 m

第 3 页 共 5 页

m ? 0, p ? 0 .
15. f (2.5) ? f (1) ? f (3.5) ∵ 函数 y ? f ( x) 在 (0, 2) 上是增函数,∴0 ? x ? 2 ? 2 即 ?2 ? x ? 0 , ∴ 函数 y ? f ( x ? 2) 在 (?2, 0) 上是增函数,又∵ 函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数, ∴ 函数 y ? f ( x ? 2) 在 (0, 2) 上是减函数,由图象可得 f (2.5) ? f (1) ? f (3.5) . 16.⑶ ⑷ (1)错,因为最值也可以在区间 [ a, b] 的端点处取得,故最值可能是 f (a ) 或 f (b) ; (2)错,极大值不一 定大于极小值; 、 (3)(4)均符合相应的定义和性质,正确. 19.解:答: f ( x ) 在 ? ?4, 4? 上是单调递减函数. 证明:∵函数 f ( x ) 的图象关于原点成中心对称, 则 f ( x ) 是奇函数,,所以 a ? 1, b ? 0 ,于是 f ( x) ? x3 ? 48x , ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 48 ,∴当 x ? (?4,4), f ?( x) ? 0 , 又∵函数 f ( x) 在 ? ?4, 4? 上连续, 所以 f ( x ) 在[-4,4]上是单调递减函数. 20.证明:∵ba ? 0, ab ? 0 ,∴ 要证 b ? a ,只要证: a ln b ? b ln a ,
a b

ln b ln a ? , b a ln x 1 ? ln x 取函数 f ( x) ? ,∵ f ?( x) ? , x x2
即只要证: ∴ x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ 当 函数 f ( x) 在 (e, ??) 上是单调递减, ∴ a ? b ? e 时,有 f (b) ? f (a) ,即 当 21.证明: (1)当 n ? 1 时.

ln b ln a ? 得证. b a

1 1 a1 ? S1 ? (a1 ? ) ,∴a12 ? 1(an ? 0) ,∴a1 ? 1 ,又 1 ? 0 ? 1 , 2 a1
∴n ? 1 时,结论成立. (2)假设 n ? k 时, (n ? N ) ,结论成立,即 ak ? k ? k ?1 , 当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ?
?

1 1 1 1 (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) , 2 ak ?1 2 ak

1 1 1 1 1 1 ? (ak ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (ak ?1 ? )? k 2 ak ?1 2 2 ak ?1 k ? k ?1
第 4 页 共 5 页

2 ∴ak ?1 ? 2 kak ?1 ?1 ? 0 ,解得 ak ?1 ? k ? 1 ? k (an ? 0) ,

∴n ? k ? 1 时,结论成立, 由(1) (2)可知,对 n ? N 都有 an ? n ? n ?1 . 22.解: (1)∵ f ( x) ? ln x ,
?

∴ x ? 0 时, f ( x) ? ln x ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) , 当

1 1 1 ? (?1) ? , ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? x ?x x a ∴ x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? ; 当 x a (2)∵ 由⑴ 知当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ? , x
∴ x ? 0 时, f ?( x) ? 当 ∴ a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ? a 时取等号, 当
∴ 函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a ,

∴ 依题意得 2 a ? 2 ∴a ? 1 ;

2 7 3 ? ? ? ?y ? 3 x ? 6 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ? ,? (3)由 ? ,得 ? 5, ?y ? x ? 1 ? y ? 13 ? y2 ? 2 ? 1 6 ? ? x ? ?
∴ 直线 y ?

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积, 3 6

2 ? 2 7 7 1 ? S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx = ? ln 3 . 24 6 x ? 2? 3

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