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高三文科数学8月月考试卷



高三文科数学 8 月月考试卷
2 M ? {x | <1}, N ? { y | y ? x ? 1} x 1.已知 R 是实数集, ,则

N? C ? ( R M
2. 复数

)A.(1,2) B. [0,2]

C. ?

D. [1,2]

3?i (

i 为虚数单位)等于( ) i A. ?1 ? 3i B. ?1 ? 3i C. 1 ? 3i 2013 ? ? 2 x) 是( 3.函数 y ? sin( ) 2
A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数

D. 1 ? 3i

B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数

4.已知 p:x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

y ? 2 sin( 3 x ?
5.要得到函数 象( )

?

) 5 的图象,只需将函数 y ? 2 sin 3x 的图

? A.向左平移 5 个单位
? C.向左平移 15 个单位

? B.向右平移 5 个单位
? D.向右平移 15 个单位

6.若函数 y ? cos 2 x 与函数 y ? sin( x ? ? ) 在 [0,

?
2

] 上的单调性相同,则

? 的一个值为
A.

? 6
? ?? ?

B.
? ?? ?

? 4
? ??

C.

? 3

D.

? 2

7 已知 OA = a , OB = b , C 在 AB 上且 AC =

? ??

? ?? ?? 1 ? AB ,又 D 在 CB 上且 3

? ? ?? ? ?? 1 ? CB ,则 a , b 表示 OD 的表达式为 ( ) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 A. (4 a +5 b ) B. (9 a +7 b ) C. (2 a + b ) D. (3 a + b ) 9 16 3 4

CD =

? ??

8.设函数 f(x)= A.--3

?

x ?x

,x ? 0 , x ? 0 若 f(a)+f(-1)=2,则 a=
C.---1 D. ±1
? ?? ? ??

B.±3

9.已知平面内三点 A (-1,0) , B (x,6) , P (3,4) ,且 AP = ? PB , x 和 ? 的值分别为 A.-7,2
?

( C.-7,
? ?



B.5,2
? ?

2 5
?

D.5,
?

2 5
?

?(k a - b ) 10.已知| a |=| b |,a ? b , 且 (a +b ) , 则 k 的值是 (
A.1 B.-1 C.0 D.-2



2 11.命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是

2 ,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1

α 1+tan 2 4 12.(2010· 课标全国)若 cos α=- ,α 是第三象限的角,则 = 5 α 1-tan 2 ( ) 1 A.- 2 1 B. 2 C .2 D.-2

13.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,已知 A= 则 c=_____

? , a= 3 , b=1, 3

x2 ? 3 lnx 的一条切线的斜率为 ? 5 ,则切点的坐标 14. 已知曲线 y ? 4 2
为 ;

在?ABC中,角A, B, C所对应的边分别为 a, b, c, 且满足cos 则?ABC的面积为 ? ? ? ? ?

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3, 2 5

e1、 e2是两单位向量,其夹角为60?,求向量a ? 2e1 ? e2与向量b ? ?3e1 ? 2e2
的夹角? .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明
过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) = 2sin(x + ) ? 2cosx . (Ⅰ )若 sin x ?

π 6

4 π π] ,求函数 f(x)的值; , x ?[ , 5 2

(Ⅱ )求函数 f(x)的最小正周期和值域. 18.已知 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边. (1)若 A 、 B 、 C 成等差数列,且 A > C ,△ ABC 的面积为 10 3 ,最 大边与最小边之和等于 13,求三角形的三边长. (2)若 acos A =bcos B ,试判断△ ABC 的形状,证明你的结论. 3 2 19.已知:cos α- sin α= , 5 15sin 2α (1)求 μ= 的值; π? ? α + cos? 4? (2)若函数 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(-1)=320, 求 f(μ)的值. 20 设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并 π 2 ? ?π ? 且 sin2A=sin? ?3+B?sin?3-B?+sin B. (1)求角 A 的值;

→ → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c) 21 已知抛物线 f ( x) ? ax2 ? bx ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意 x ? [1, 9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 t 的取值范 围. 22.某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位: 千克) 与 销售价格 x ( 单位:元 / 千克 ) 满足关系式 y ?

1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) . 4

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 x ?3

3? x ? 6,

a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日
销售该商 品所获得的利润最大.

22. 解:(Ⅰ)因为 x ? 5 时 y ? 11 , 所以

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 ; 2 2 ? 10( x ? 6) 2 , x?3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 y ?

所以商场每日销售该商品所获得的利润:

f ( x) ? ( x ? 3)[
/

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 ; x ?3
2

∴ f ( x) ? 10[( x ? 6) ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) , 令 f / ( x) ? 0 得 x ? 4 函数 f ( x ) 在 (3, 4) 上递增,在 (4,6) 上递减, 所以当 x ? 4 时函数 f ( x ) 取得最大值 f (4) ? 42 答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值 为 42.

(18)本题主要考查综合运用正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式解 三角形和判断三角形形状. 解: (1)由题设,易知 B =60°,且 a>b>c ∵ S ?ABC ?

1 3 ac ? sin B = ac ? 10 3 2 4

∴ ac=40



又 a+c=13 去) 又 由

② 由 ①②解得: a=8,c=5 或 a=5,c=8(舍













b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 64 ? 25 ? 40 ? 49
∴ b=7 ∴ △ ABC 的三边长为 8,7,5.

(2)由正弦定理得:2Rsin A =a,2Rsin B =b, ∴ 2Rsin A cos A =2Rsin B cos B 知 A , B 为三角形内角, 即 sin2 A = sin2 B 由已

? ∴ A ? B ? 90 或 A ? B

∴△ ABC 为直角三角形或等腰三角形. 函数 y=Asin(ω x+ ? ) (ω >0,| ? |< 示,则该函数为( A.y=2sin( )

? ,x∈R)的部分图象如图所 2

? ? x+ ) 4 4 ? ? C.y=-2sin( x- ) 4 4

? 3? x- ) 4 4 ? ? D.y=-2sin( x+ ) 4 4
B.y=2sin(

3 2 19 已知:cos α- sin α= , 5 15sin 2α (1)求 μ= 的值; π? ? α + cos? 4? (2)若函数 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(-1)=320, 求 f(μ)的值. 3 2 解:(1)由 cos α-sin α= ,得 5 π? 3 cos? ?α+4?=5. π ? 又因为 sin 2α==-cos? ?2+2α? π? 7 =1-2cos2? ?α+4?=25, 15sin 2α 所以 μ= =7 π α+ ? cos? ? 4? (2)由题意函数 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称.

所以 f(3+x)=f(3-x), 所以 f(μ)=f(7)=f(3+4)=f(3-4)=f(-1)=320. 20.(2010· 安徽)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对 边长,并 π 2 ? ?π ? 且 sin2A=sin? ?3+B?sin?3-B?+sin B. (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 解:(1)因为 sin2A =? 3 1 1 ?? 3 ? ? 2 cos B+2sin B?? 2 cos B-2sin B?

3 1 3 +sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 4 4 4 3 π 所以 sin A=± .又 A 为锐角,所以 A= . 2 3 (2) ① 由 ② 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A,将 a=2 7及①代入,得 c2 + b2 = 52 , ③ ③+②×2,得(c+b)2=100, 所以,c+b=10,因此 c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两 个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4. 21.已知抛物线 f ( x) ? ax2 ? bx ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (1) 知 A = π 3 , 所 以 cb = 2 4. 由 → AB → · AC = 12 可 得 cbcos A = 12.

1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) . 4

(Ⅱ)若对任意 x ? [1, 9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 t 的取值范 围.

1 ? 1 1 ? f (1) ? a ? b ? ? 1 ? a ? ,b ? . 解: (Ⅰ)依题意,有 ? 4 4 2 ? ? f ?(1) ? 2a ? b ? 1

? x ?1? 因此, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? ? ; ? 2 ?
(Ⅱ)法一:由 f ( x ? t ) ? x ( 1 ? x ? 9 )得

2

? x ? t ?1? , ? ? ? x (1 ? x ? 9 ) ? 2 ?
解之得 ( x ? 1)2 ? t ? ( x ? 1)2 ( 1 ? x ? 9 ) 由 此 可 得

2

t ?[

x(?

2 m

? 1i

)n

] 且

4

2 t ?[ ( x ? 1 )m ] ? , 4 ax

所以实数 t 的取值范围是 {t | t ? 4} .

法二: f ( x ? t ) ?

1 ( x ? t ? 1) 2 , f ( x ? t ) ? x , 4

1 ? ( x ? t ? 1) 2 ? x , 4
故 x ? (2t ? 2) x ? (t ?1) ? 0 ,
2 2

令 F ( x) ? x ? (2t ? 2) x ? (t ?1) ,
2 2

所以 F ( x) ? 0 ,在 [1,9] 上恒成立,

所以 ?

? F (1) ? 0 ?0 ? t ? 4 ,解得 ? ,所以 t ? 4 , ? F (9) ? 0 ?4 ? t ? 4

所以实数 t 的取值范围是 {t | t ? 4} .



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