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重庆市南开中学2016届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案



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重庆南开中学高 2016 级高三(上)中期考试 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求

的。

? x ?1 ? 1、已知集合 A ? x y ? x ? 1 , B ? ? x ? 0? ,则 A ? x?2 ?
A、 ? ?1,1? B、 ? ?1,1?

?

?

B ?(

) D、 ? 0,1? ) D、8

C、 ? ?2,1?

2、公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4 a10 ? 16 ,则 a6 ? ( A、1 B、2 C 、4

3、已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ? x, ?2? , c ? ? 0,2 ? ,若 a ? b ? c ,则实数 x 的值为( A、

?

?



4 3

B、

3 4

C、 ?

3 4

D、 ?

4 3


4、 已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? ln x , 命题 q : 函数y ? a x ? a ? x ? a ? 1? 在 R 上为减函数, 则 ( A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? ? ?q ? 是真命题 B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? ? ?q ? 是假命题

?x ? y ? 0 ? 5、设变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 3 x ? y 的最小值为( ?y ? 2 ? 0 ?



A、 ?8 B、 ?6 C、 ?4 D、 ?2 6、已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的 方程为( ) B、 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 D、 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 A、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 C、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0

? ?? ? 7、函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 的最小正周期是 ? ,若其图象向右平移 个单位 3 2? ?
长得到的函数为偶函数,则函数 f ? x ? 的图象( )

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?? ? A、关于点 ? ,0 ? 对称 ? 12 ?
? 5? ? C、关于点 ? ,0 ? 对称 ? 12 ?

B、关于直线 x ?

?
12

对称

D、关于直线 x ?

5? 对称 12


8、 等差数列 ?an ? 中,a6 ? 0, a7 ? 0且a7 ? a6 ,Sn 是前 n 项之和, 则下列说法正确的是 ( A、 S1 , S2 , S3 均小于 0,而 S4 , S5 , B、 S1 , S2 , C、 S1 , S2 , D、 S1 , S2 , 均大于 0 均大于 0 均大于 0 均大于 0

, S6 均小于 0,而 S7 , S8 ,

, S11 均小于 0,而 S12 , S13 ,
, S12 均小于 0,而 S13 , S14 ,

9、在 ?ABC 中,已知顶点 A ? 5,8 ? ,直线 x ? y ? 1 ? 0 过点 B ,且过点 C 的直线 y ? 4 将 ?ABC 的面积分成相等的两部分,则边长 AB ? ( A、10 B、 8 2 ) C、 6 3 D、 9 2

10、 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? e x 。 若不等式 f ? x ? a ? ? f 2 ? x ? 对任意 x ? ? a,2? 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A、 ? ?4,0 ? B、 ? ??, ?4? C、 ? ?6,0 ? ) D、 ? ??, ?6?

11、如图,正方形 ABCD 的边长为 2, M , N 分别为边 BC, CD 上的动点,且

?MAN ? 45 ,则 AM ? AN 的最小值为(
A、 4 C、4



?

2 ?1

?

B、 8

?

2 ?1

?

D、 4 2

12、设二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c 的导函数为 f ' ? x ? 。若对 ?x ? R ,都有 f ? x ? ? f ' ? x ? 成立, 则直线 a ? 2 x ? 1? ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的位置关系为( A、相交 B、相离 C、相交或相切 ) D、相离或相切

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

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13、过点 A ? 2,3? 且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程为 14、已知向量 a与b 的夹角为

。 。

? , a ? 1, 2a ? b ? 10 ,则 b ? 4

15、已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P 在直线 y ? k ? x ? 4 ? 上,过 P 作圆 O 的两条切线 PA, PB (其 中 A, B 为切点) 。若存在点 P ,使得 ?APB ? 60 ,则 k 的取值范围为 。

? 1 ? 3a ? ? 4 ? b ? 16、已知实数 a, b 满足 a ? b ? 0 ,则 ? ? ?? ? 的最小值为 ? 1? a ? ? 1? b ?
三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

2



17、 (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c c为常数, n ? N * ,且 a1 , a2 , a5 成 公比不等于 1 的等比数列。 (1)求 c 的值; (2)设 bn ?

?

?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 an an ?1

18 、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? ? 2a,1? ,

n ? ? 2b ? c,cos C ? ,且 m // n 。
(1)求角 A 的值; (2)求 sin B ? sin C 的取值范围。

19、 (本小题满分 12 分)已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 ,直线 l : y ? x ? m 。
2 2

(1)若直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ,求实数 m 的值; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,且 ?AOB 为锐角,求 m 的取值范围。

20、 (本小题满分 12 分)已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? mx3 ? 3 ? m ? 1? x 2 ? nx ? 1 的一个极值点,其 中 m, n ? R, m ? 0 。 (1)求 f ? x ? 的单调区间;

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(2)当 x ? ? ?1,1 ? 时,函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范 围。

1 21 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 常 数 a ? 0 , 函 数 f ? x ? ? ax3 ? 4 ?1 ? a ? x , 3 2x 。 g ? x ? ? ln ? ax ? 1? ? x?2
(1)讨论 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上极值点的个数;

? 1 ? (2)若 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上存在两个极值点 x1 , x2 ,且 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,求实数 a 的取值范 a ? ?
围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC ,以点 B 为圆心,以 BC 为半径的圆分别 交 AB, AC 于 D, E 两点,且 EF 为该圆的直径。 (1)求证: ?A ? 2?F ; (2)若 AE ?

1 EC ? 2 ,求 BC 的长。 2

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆 C 的极坐标

?x ? t ?? ? 方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ? ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 和圆 C 交于 4? ? ? y ? ?1 ? t

A, B 两点, P 是圆 C 上不同于 A, B 的任意一点。 (1)求圆心的极坐标; (2)求 ?PAB 面积的最大值。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:不等式选讲

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已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 的最小值为 m 。 (1)求 m 的值; (2)若正实数 a, b 满足

1 1 1 2 m ? ? 3 ,求证: 2 ? 2 ? 。 a a b b 2

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