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2015-2016学年重庆市重庆一中高二上学期期末考试数学理试题 word版


秘密★启用前

2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷(理科) 2016.1
(时间:120 分钟 分数:150 分)

一.选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 3i 1.复数 (是虚数单位)的虚部是( ) 1? i 3 3 3 (A) i (B) (C) ? i 2 2 2
2.定积分

(D) ?

3 2

? ? ? 2 x ? sin x ? dx 等于(
? 3

? 3



(A)0

(B)

?2
9

?

1 2

(C)

2? 2 ?1 9

(D)

2? 2 ?1 9


3. (原创)已知命题 p : ?x ? R , e x ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 ? 0 ,则 ?p 为(
3 2 ( A ) ?x0 ? R , 使 得 ln x0 ? x0 ? 2 x0 ?4?0 3 2 e x0 ? x0 ? 2 x0 ?4?0

( B ) ?x0 ? R , 使 得

( C ) ?x ? R , 使 得 e x ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 ? 0
3 2 e x0 ? x0 ? 2 x0 ?4?0

( D ) ?x0 ? R , 使 得

4.用反证法证明结论: “曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至少有两个不同的交点”时, 要做的假设是( )

(A)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至多有两个不同的交点 (B)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至多有一个交点 (C)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 恰有两个不同的交点 (D)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至少有一个交点 5.已知直线 x ? ay ? a ? 2?a ? R ? 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 交于 M , N 两点,则
2 2

线段 MN 的长的最小值为( (A) 4 2

) (C)2 (D) 2

(B) 2 2

6. ? x ? 8 ?? 3 ? x ? ? 0 的一个充分不必要条件是( (A) ? 8 ? x ? 3 (B) x ? 8 (C) x ? ?3

) (D) x ? ?8 或 x ? 3

7.给出以下五个结论:①经过 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点的直线的方程为

y ? y1 x ? x1 ; ? y2 ? y1 x2 ? x1
②以 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径的两个端点的圆的方程为

? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 ;③平面上到两个定点 F1 , F2 的距离的和为常数 2a
的点的轨迹是椭圆;④平面上到两个定点 F1 , F2 的距离的差为常数 2a ? 2a ?| F1 F2 |? 的点的 轨迹是双曲线;⑤平面上到定点 F 和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。其中正确 结论有( ) (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 8.是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,且 a ? ? b ? 1? i ? 0 ? a, b ? R ? ,复数 为( z 满足 | z |? 3 ,则 | z ? a ? bi | 的最大值 ... (A) 3 ? 5 (B) 2 ) (D) 26

(C) 3 ? 5

9. (原创)在 ? ABCD 中,已知 C ? ?3, 0 ? , D ? 3, 0 ? ,点 E , F 满足 AC ? 3 AE ,

????

??? ?

???? ??? ? ??? ? ???? DF ? 2 FA ,且 | CF | ? | DE |? 4 ,则点 A 的轨迹方程是(
(A)



x2 y2 ? ?1 4 5

(B)

x2 y2 ? ? 1? x ? 2 ? 4 5

(C)

x2 y2 ? ?1 9 27

(D)

x2 y2 ? ? 1? x ? 3? 9 27
10. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 在平面 ABCD 上, 满足 PC1 ? 3PA , 则点 P 的轨迹为( ) (A)直线 (B)一段圆弧 (C)椭圆 (D)圆

11. (原创)点 P ?1, t ?? t ? 0 ? 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, A, B 是该椭圆上异于点 P 的 4 3


两个点,且直线 PA, PB 的倾斜角分别为 720 和 1080 ,则直线 AB 的斜率为( (A) ?

1 1 或 2 2

(B) tan180

(C)

1 2

(D) tan 360

1 7 1 1 29 1 1 1 49 ,1 ? 3 ? 3 ? 3 ? , ? ,1 ? 3 ? 3 ? 3 2 6 2 3 24 2 3 4 40 1 1 1 1 37 1 1 1 1 1 , ??。 照此规律, 第五个 不等式为 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ... 2 3 4 5 30 2 3 4 5 6
12. (原创)观察下列不等式:1 ? ( )

(A)

26 21

(B)

29 20

(C)

67 54

(D)

95 78

二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 S8 ? 3 , 则 a2 ? a3 ? a6 ? a7 ? _____________。
x 14 . 已 知 函 数 f ? x ? ? e ? ax 在 ?3,?? ? 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

_____________。 15. (原创)正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,己知 AA1 ? 8 ,点 E , F 分别的棱 BB1 , CC1 上,且满足 AB ? BE ? 3 , FC1 ? 2 ,则平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值 等于 。

16. (原创)设 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点,过 F 的直线与椭圆 C a 2 b2

交于 A, B 两点,分别过 A, B 作椭圆 C 的切线并相交于点 P ,线段 OP ( O 为坐标原点)交 椭圆 C 于点 Q ,满足 OQ ? 2QP ,且 FQ ? OF ? 0 ,则椭圆 C 的离心率为

????

??? ?

??? ? ??? ?



三.解答题(本题共 6 个小题,共 70 分。要求每道题都必须写出必要的过程)
17. (本题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? e x ?3 。
x 2

?

?

⑴求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?0, f ?0 ?? 处的切线方程; ⑵求函数 y ? f ? x ? 的极值。

18. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 4 ,

1 c ? 3 , cos A ? ? 。 3 ⑴求角 C 的大小; ⑵求 ?ABC 的面积。

19. (原创) (本题满分 12 分)数列 ?an ?满足 an ?1 ? ⑴写出 a2 , a3 , a4 的值;

2an ? 9 n ? N ? ,且 a1 ? 2 。 an ? 4

?

?

⑵归纳猜想数列 ?an ?的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑶设 bn ? ?an ?1 ? 3??an ? 3? n ? N ? ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。

?

?

20. (原创) (本题满分 12 分)如右图,四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD , 且 ?PAD 是边长为 4 的正三角形, M为 PD 的中点,底面 ABCD 是矩形, CD ? 3 。 ⑴求异面直线 PB 与 CM 所成的角 ? 的余弦值; ⑵求直线 AC 与平面 PCM 所成的角 ? 的正切值。

21. (原创) (本题满分 12 分)已知 A ? 0, ?1? 是焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点, F 是椭圆 C 的右焦点,直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B ,满足 | AF |? 5 | FB | 。以

D ? ?1,1? 为圆心的 ? D 与椭圆 C 交于 M , N 两点,满足 | AM |?| AN | 。
⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵求圆心 D 到直线 MN 的距离 d 的值。

22. (原创) (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ln x ? 3 x ? 8 。
3 ⑴求函数 y ? f ? x ? 在 ? ?e, e ? ? ( e 是自然对数的底数)的值域;

⑵设 0 ? a ? b ,求证: 0 ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ?

? 2a ? b ? ? ? ? b ? a ? ln 3 。 ? 3 ?

2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试

数 学 答 案(理科) 2016.1
一.选择题:BACBA BDCDD CA 二.填空题:13. 3 2 ;14. ??, e3 ? ? ;15. 2 ;16. 6 3 。 三.解答题
x 2 x 17. 解: ⑴由题 f ?? x ? ? e x ? 2 x ? 3 ? e ? x ? 3?? x ? 1? , 故 f ??0 ? ? ?3 。 又 f ?0 ? ? ?3 ,

?

?

?

故曲线 y ? f ? x ? 在点 ?0, f ?0 ?? 处的切线方程为 y ? 3 ? ?3 x ,即 3 x ? y ? 3 ? 0 ; ⑵ 由 f ?? x ? ? 0 可 得 x ? 1 或

x
f ?? x ? f ?x ?

? ??, ?3?
+ ↑

?3
0 极大

?? 3, 1?
- ↓

1 0 极小

?1,?? ?
+ ↑

x ? ?3 ,
如 右 表 所 示 , 得

f 极大 ? x ? ? f ?? 3? ? 6e ?3 ,
f 极小 ? x ? ? f ?1? ? ?2e 。

18.解:⑴由题可知角 A 为钝角,故角 C 为锐角。因 sin A ? 1 ? cos A ? 2 2 3 ,
2



2 4 3 ,即 sin C ? ,得 C ? 450 ; ? 2 sin C 2 2 3
⑵由⑴得 sin B ? sin 450 ? A ?

?

?

2 ?sin A ? cos A? ? 4 ? 2 ,故 ?ABC 的面积为 2 6

S?
算)

1 (提示:亦可先用余弦定理计算出 b ? 2 2 ? 1 ,再用面积公式计 ac sin B ? 4 ? 2 。 2
19.解:⑴ a2 ? 5 2 , a3 ? 8 3 , a4 ? 11 4 ;

1 ,证明如下:①当 n ? 1 时猜想显然成立;② n 1 ? 假 设 当 n ? k k?N 时 猜 想 成 立 , 即 ak ? 3 ? ,则 k
⑵ an ? 3 ?

?

?

ak ?1 ?

2ak ? 9 ? 1 2? ? 1 ? 3k ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ?1? ? ? ? 3? ,故 k? ? k ? k ?1 ak ? 4 ? k ?1
1 1 1 1 ,故 ? ? ? n ?1 n n n ?1

当 n ? k ? 1 时猜想成立。综上知猜想成立; ⑶由⑵可知 bn ?

n 1 n ?1 1 ? 。 Tn ? ? ? ? ? ? ? 1? i ?1? n ?1 n ?1 i ?1 ? i

20.法一:⑴如图,取 AD 的中点 N ,连 PN , BN , BD ,记 BD ? AC ? O ,连 OM 。 则 O 为 BD 中点,故 OM // PB ,且 PB ? 2OM ,且 ?OMC ? ? 。因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 CD ? AD , PN ? AD ,故 CD ? 平面 PAD , PN ? 平面 ABCD ,因此

CD ? DM ,PN ? BN 。 由题易知 PB ?
故 OM ?

?2 3 ? ? 2
2

2

? 32 ? 5 ,CM ? 32 ? 2 2 ? 13 ,

CM 13 5 5 。又 OC ? ,故 cos ? ? 即为所求; ? 2OM 5 2 2

⑵由⑴可知 AM ? 平面 PCM , 故 MC 即为 AC 在平面 PCM 的射影, 从而 ?ACM 即 为 直 线 AC 与 平 面 PCM 所 成 的 角 ? 。 因 CM ? 13 , AM ? 2 3 , 故

tan ? ?

AM 2 39 即为所求。 ? CM 13

法二:如图,取 AD 中点 O , BC 中点 N ,由题知 OP ? AD 且 ON ? AD 。因平面 PAD ? 平面 ABCD ,故 OP ? 平面 ABCD ,从 而 ON , OD, OP 两两垂直。因此可以 O 为原点,以 ON , OD, OP 分别 为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,则 A?0,?2,0 ? , B ?3,?2,0 ? ,

???? ???? ??? ?

C ?3,2,0 ? , P 0,0,2 3 , D?0,2,0 ? , M 0,1, 3 。故
??? ? ??? ? PB ? 3, ?2, ?2 3 , PC ? 3, 2, ?2 3 。

?

?

?

?

?

?

?

?

⑴因 CM ? ?3, ?1, 3 ,故

???? ?

?

?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? |CM ? PB| | ?9 ? 2 ? 6 | 13 ? ??? ? ? ; cos ? ?| cos CM , PB |? ???? ? 5 | CM || PB | 13 ? 25 ? ???? ? ??? ? ⑵设 n ? ? x, y , z ? 是平面 PCM 的法向量,因 PM ? 0,1, ? 3 , PC ? 3, 2, ?2 3 ,

?

?

?

?

? ???? ? ???? ? ? ? ?n ? PM ? 0 ? y ? 3z ? 0 且 ? ? ??? ,即 ? ,取 z ? 3 得 n ? 0,3, 3 。又 AC ? ? 3, 4, 0 ? , ? ? ? ?n ? PC ? 0 ?3 x ? 2 y ? 2 3 z ? 0

?

?

设 AC 与平面 PCM 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos AC , n |?|

???? ?

0 ? 12 ? 0 2 3 ,故 |? 5 5 ? 12

cos ? ?

2 3 2 39 13 ,从而 tan ? ? 即为所求。 ? 5 13 13

21. 解: ⑴由题可设 C :

x2 ? 6c 1 ? 且 F ? c, 0 ? , 则由 | AF |? 5 | FB | 可知 B ? ? y2 ? 1 , , ?, 2 a ? 5 5?

代入 C 的方程并化简得 2a 2 ? 3c 2 ? 3 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 ,故 C :

?

?

x2 ? y2 ? 1; 3

⑵设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 且 E ? x0 , y0 ? 为 MN 的中点, 则

x12 x2 2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 ? 1。 3 3

2 2 两式相减得 x12 ? x2 ? 3 y12 ? y2 ? 0 ,故 2 x0 ? 6 y0 ? k MN ? 0 。因 | AM |?| AN | ,故点 A 在

?

?

线段 MN 的中垂线上。 又点 D 在线段 MN 的中垂线上, 故 A, E , D 三点共线, 且 AD ? MN 。 因 k AD ? ?2 , 故 k MN ?

?2 x0 y ?1 1 , 从 而 y0 ? 。 因 ? 2 ? k AD ? k AE ? 0 ,故可解得 2 3 x0

3 1 x0 ? ? , y0 ? 。所以圆心 D 到直线 MN 的距离 d ?| DE |? 5 4 。 4 2
22.解:⑴法一:由题易知 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? e 2 。因为
3 2 f ?e ? ? 8 ? 2e ,f ?e 2 ? ? 8 ? e 2 ,f ?e3 ? ? 8 , 故函数 y ? f ? x ? 在 ? ?e, e ? ? 的值域为 ? ?8 ? e ,8? ?;

法二:由题易知 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? e 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 可得

0 ? x ? e 2 。故函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, e 2 ? ? ? e 2 , ?? ? ? ,从而 y ? f ? x ? 在
2 2 3 2 2 3 ? ?e, e ? ? ? ?e , e ? ? ? 。因为 f ?e ? ? 8 ? 2e , f e ? 8 ? e , f e ? 8 ,故函数 y ? f ? x ? 在
3 2 ? ?e, e ? ? 的值域为 ? ?8 ? e ,8? ?;

? ?

? ?

⑵令 g ? b ? ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ?

? 2a ? b ? ? ,则 ? 3 ?

3b ? 2a ? b ? g? ?b ? ? f ? ?b ? ? f ? ? ? 0 ,故 g ? b ? 在 ? a, ?? ? ? ,得 g ?b ? ? g ?a ? ? 0 。 ? ? ln 2a ? b ? 3 ?
令 h ? b ? ? g ? b ? ? ? b ? a ? ln 3 ,则 h? ? b ? ? g ? ? b ? ? ln 3 ?

ln

b ? 0 ,故函数 h ? b ? 在 ? a, ?? ? ? ,得 h?b ? ? h?a ? ? 0 ,故 g ? b ? ? ? b ? a ? ln 3 。综 2a ? b

上可知 0 ? g ? b ? ? ? b ? a ? ln 3 ,即 0 ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ?

? 2a ? b ? ? ? ? b ? a ? ln 3 。 ? 3 ?


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