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柯西不等式教学现状及策略分析



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数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第6期

柯西不等式教学现状及策略分析
俞 昕
( ) 浙江省湖州市第二中学 3 1 3 0 0 0

1  问题提出 柯西不等式是由法国大数学家柯西在研究数 学分析中的 “ 流数 ” 时得到的 . 但从历史的角度讲 , 该不 等 式

应 当 称 为 C B a u c h u n i a k o w s k - - y y 因为正是后两位数学家彼此独 S c h w a r z 不等式 , 立地在积分学 推 而 广 之 , 才将这一不等式应用到 近乎完善的地 步 . 高中数学新课标下的教材在选 修系列 4 不等式选讲中明确提出了对柯西不等式 的要求 : 学生能 够 了 解 它 的 深 刻 的 教 学 意 义 和 背 景, 加深学生对柯西不等式的数学本质的理解 , 提 高学生的逻辑 思 维 能 力 和 分 析 解 决 问 题 的 能 力 . 一方面要关注 学 生 数 学 学 习 水 平 , 学习过程和提 出、 分析 、 解决问 题 的 能 力 ; 另一方面也要关注学 生个性品质与 潜 能 的 发 展 , 培养学生数学探究等 能力 . 但就目前 的 选 修 课 程 教 学 而 言 却 存 在 很 多 问题 , 下面我们逐一进行分析与探讨 . 2  柯西不等式的教学现状及原因分析 浙江省目前的高考现状是将柯西不等式置于 自选模块的考 试 中 , 报考一类高校的考生需要学 习并参加自选 模 块 考 试 , 而自选模块的考试模式 ( 在语数外 、 理 化 生、 政史地每门课2道 为1 8选6 , 是否选择数学 题, 共1 8 题中选择 6 题进行解答 ) 题完全由学生 自 己 决 定 , 即使选择数学也不一定 要选择不等式 选 讲 的 题 目 . 这样的高考模式决定 了柯西不等式的教学处于非常尴尬的位置 . 2. 1  教师很难把握教学的度 柯西不等式内容随着不等式选讲进入数学课 堂的时间并不久 , 很多教师并不熟悉这块内容 . 从 教师本身具备的学科知识 C K 理论的角度来讲 , P 就可能不够了 , 更何谈学科教学知识 . 当然这不能 完全归责于教 师 , 因为任何学科教学知识与教学 经验都需要时 间 的 积 累 , 只有经历一轮轮教学实

践的积累 , 经历 与 学 生 在 数 学 课 堂 上 及 课 堂 外 面 对面的交流 , 才能不断在实践中积累丰富的学科 教学知识 ( 即所谓的教学经验 ) . 另外 , 基于柯 西 不 等 式 权 威 的 教 学 参 考 资 料 较少 , 使得一线 的 数 学 教 师 很 难 把 握 柯 西 不 等 式 教学的度 . 很多 教 师 就 收 集 一 些 有 关 柯 西 不 等 式 的题目 , 在课堂上进行讲解或是让学生训练 . 殊不 知柯西不等式的一些技巧对于专门从事数学研究 的人是极为重 要 的 , 而且在数学竞赛中也时有出 现, 但作为新课 程 标 准 下 高 中 选 修 课 程 系 列 的 学 习, 教学的重点 之 一 ( 第一课时) 应该落在柯西不 等式的产生角 度 上 , 让学生通过不同的角度来认 识柯西不等式的二维形式 , 从而理解其数学本质 , 体现其文化价 值 . 这些都需要我们教师在教学实 践中摸索着前行 . 2. 2  学生的重视程度不统一 由于不等式选 讲 在 高 考 中 的 位 置 尴 尬 , 学生 对此块内容的重视程度明显没有必修内容那样重 视. 而且有些学 校 ( 比如笔者所在学校) 并没有对 选修课程实施 走 班 制 , 仍然以行政班为单位进行 教学 , 而笔者所在学校的生源并不是当地最好的 , 行政班中有一 批 学 生 是 无 心 考 一 类 学 校 的 , 因此 他们在课堂上 基 本 或 者 是 完 全 不 跟 从 教 师 , 所以 教师如果不对 教 学 内 容 花 费 功 夫 进 行 二 次 开 发 、 创造 , 只是基于解题而讲题目 , 只会使学生更加敬 畏厌烦于柯西 不 等 式 的 解 题 技 巧 , 以致于造成课 堂上人心涣散 . 2. 3  考试结果很难归责 自选模块的考试模式很难对某一门学科的教 师进行归责 , 所以就容易造成教师们的责任心降 低. 反正教得好不好都无所谓 , 学生又不一定会选 择数学的题目 去 做 , 即使选择了数学也不一定非

2 0 1 4年 第5 3 卷   第 6 期           数学通报 得做不等式的 题 目 . 这个时候就需要我们数学教 师具备一定的职业操守 、 专业素养与精神追求 . 希 “ 数 学 问 题 的 宝 藏 是 无 穷 无 尽 的, 尔伯特说过 : 一 ” 个问题一旦解 决 , 无 数 新 的 问 题 就 会 取 而 代 之. 找到答案是解题的基本要求 , 但不是最终目的 , 当 问题还没有解决时 , 要鼓励学生锲而不舍 , 当答案 已经找到时 , 应引导学生从解题过程中自觉吸收 营养 , 并饶有兴趣地进行新的探索 : 解题中用到哪 些知识?它们是怎样联系起来的?解题的关键在 哪里?思路是 怎 样 打 通 的? 这 个 问 题 能 推 广 吗? 改变某一条件或结论如何? …… 所以说我们数学 教师的主要任 务 不 应 该 只 是 集 中 于 让 学 生 应 试 , 仅将学生的考 试 分 数 与 教 师 的 工 作 成 绩 挂 钩 . 更 应该是让学生 的 思 想 沉 浸 在 无 边 的 探 索 时 , 能从 解题中获得崇高的享受 , 并接受数学文化的熏陶 , 在潜移默化中 使 得 各 种 数 学 思 想 方 法 得 到 渗 透 , 观察发现探究能力得到提高 . 3  柯西不等式教学的探索 基于以上柯西 不 等 式 教 学 现 状 的 分 析 , 教学 往往偏重 于 应 用 柯 西 不 等 式 解 决 数 学 问 题 的 研 究, 而忽视柯西 不 等 式 在 高 中 数 学 内 容 中 所 具 有 的教育价值的 发 现 . 解题活动中一种司空见惯的 情况是 , 题目解 完 了 , 方 法 的 功 能 也 随 之 结 束. 笔 者以柯西不等 式 第 一 课 时 为 例 , 对柯西不等式教 学的几个环节 进 行 一 番 探 索 , 希望能起到抛砖引 玉的作用 . 3. 1  以有趣的几何图形为视角认识柯西不等式 以2 赵爽 0 0 2 年北京国际数学家大会的会标 “ ( ) 如图 1 弦图 ” 为引入的 几 何 图 形 , 让学生发现隐
2 2 赵爽 含于赵爽弦 图 中 的 不 等 关 系 : a +b a b. ≥2 2

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图1 图2

( ) ( ) 图3 1 2          图 3

从另一方面又可得到

S平 行 四 边 形 =2 S红 色R S蓝 色R S中 间 矩 形 t△ +2 t△ +
= a c d- a b- c) b+ d+ (   ( ) = a b c+ d, 由 ①② 可以得到 ②

a+ b·槡 c +d  槡
2 2



2 2 2 2 ·槡 ·s a + b c +d i n ≥槡 α , = a b c+ d

两边平方即可得到
2 2 2 2 2 ·( a + b c +d a b c+ d  ≥( ( ) ) ) 当且仅当 s 即 α=9 此时两 °时 取 到 等 号 , i n 0 α=1,

) 弦图的变形图 ( 如图 2 中同样隐含着这个不等关 系. 继续鼓励学生思考 , 如果我们使用的四个直角 , 那能拼出怎 三角形并不是完 全 相 同 ( 两两相同) 样的几何图形?教师可以给学生预备两幅直角三 让学 角形的三角板 , 直角边长 分 别 为 a, b 和c, d, 生依据自己的习惯进行独立思考或者小组合作讨 论, 结果学生给出了两种 拼 接 组 合 的 方 法 ( 如图3 ( ) ) ( ) 在这两种拼接组合方法中都蕴涵着不等 2 . 1 ( ) 关系 , 以图 3 为例 : 1 设所拼接而成的平行四边形的一个内角为α, 则 S平 行 四 边 形 = 槡 a+ b·槡 c +d ·s i n α  ①
2 2 2 2

个直角三角形相似 , 可得到等号成立的条件是 a d = b c. ( ) 如图 3 的拼接组 合 方 法 , 我们可设中间那 2 则 个平行四边形的一个内角为θ,
2 2 2 2 ·槡 ·s S平 行 四 边 形 = 槡 a + b c +d i n θ ·( =( a+d) b+ c) -( a c b+ d)

= a b c+ d, 也可以推导出不等式
2 2 2 2 2 ·( a + b c +d a b c+ d  ≥( ( ) ) ).

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数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第6期 后, 就可以适当介绍有关柯西的生平简介 . 教师 应 发挥数学史的 教 育 功 能 , 让学生明白数学并不是 一门枯燥无味的学科 , 而是一门不断进步 、 生动 有 趣的学科 . 这些 都 是 可 用 于 课 堂 的 精 彩 有 趣 的 历   
图4 图5

史话题 , 即使简略提及一个问题的研究者 , 研究 的 原因 , 最早的解 法 是 什 么 , 最 后 的 解 法 是 什 么, 最 重要的或是最 好 的 解 法 如 何 等 等 , 都能激发学生 的兴趣 , 因为学生对于人物 , 原因或最佳结果有着 天生的好奇心 . 比如柯西不等式包含了柯西本人 的溯源 , 谈及柯西在数学很多方面的贡献 , 蕴含 了 柯西本人坚韧 不 拔 的 探 索 精 神 , 这对激发学生学 习数学的积极 性 , 培养学生勤奋好学的优良道德 品质 , 会起到很好的作用 . 3. 3  以循序 渐 进 的 原 则 让 学 生 熟 悉 柯 西 不 等 式 的应用 , 因为本 紧接着我们 要 引 领 学 生 “ 走 进 柯 西” 节课是第一课时 , 考虑到学情 , 我们应该采取循序 渐进的原则 , 让学生逐步熟悉柯西不等式的应用 . 、 让学生充分 体 会 “ 看 法 不 一 样, 形 式 就 不 一 样” “ 你的眼光决定了世界的色彩 ” . 教师可以给出一组填空题 :
2 2 2 _ ( ) x + x+ +_ 2 1 ≥( y) y   ( ( ) ); 2 2 2 ( ) _ 2 +_ a + b a+ b 2 4 ≥(   ( ( ) ) ); 2 2 2 ( ) _ a + b 3 +_ 2+1) ≥( ( ( ) );

“ , 横看成岭侧成峰 , 我们若 远近高低各不同 ” 是从图 4 到图 5 的变换视角来审视也能得到同样 的不等式 . 图 4 中两块 白 色 矩 形 面 积 之 和 a b c+ d 等于 图 5 中 白 色 平 行 四 边 形 面 积 槡 a+ b ·
2 2 2 2 2 2 ·s · 立即可得到不等式 ( c +d a + b i n θ, 槡 ) 2 2 2 通过学生自己的动手操作 c +d a b c+ d  ≥( ( ) ). 实现柯西不等 式 几 何 形 式 的 内 化 , 向学生多角度

展示柯西不等式在不同几何文化背景下的表现形 式, 从而让学生 自 觉 的 加 深 对 柯 西 不 等 式 形 式 的 印象 , 这样比将 柯 西 不 等 式 强 行 塞 进 学 生 的 脑 海 里效果更好 . 3. 2  从数形结 合 的 视 角 理 解 柯 西 不 等 式 的 数 学 本质

  
图6 图7

1 1 ( ) 4 a+ b) + ( a b 2   _ ; a>0, b>0) +_  ≥ ( )(





上述几何图形视角中的字母 a, b, c, d 仅限于 线段的长度 , 因此只能取正实数 , 继续引导学生思 考柯西不等式是否仅仅限于正实数才成立 . 此环节是一个放手让学生自主探索思考的过 程, 有些学生运用 “ 作 差 法” 证明柯西不等式对于 任意实数均成立 ; 有些学生想到了“ 向 量” 这个将 数与形 有 效 结 合 的 工 具 , 如图6就是在图5的基 础上建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 图7就是在图6的基 ?→ 础上更加凸显出向量的坐标形式 , 构造向量O A= ?→ 2 2 , , · 则 α· a, b) O c, d) a + b B= α= ( β= ( β= 槡 即 可 得 到 柯 西 不 等 式, c +d ·s i n c+b d, θ=a 槡
2 2

( ) x+ 5 4+2) y) ( ( 2   _ ; x>0, +_  ≥ ( y>0) )( _ ( ) x+ +_ 6 y) ( ( )
2 x>0, .  ≥ ( y>0) x+2槡 y) ( 槡

、 ( ) 、 ( ) ) 引导学生注意 ( 的填法不唯一 , 体 4 5 3 ( 会“ 看法不一 样 , 形式就不一样” 其他例题此处 . 省略 ) 3. 4  让学生在开放题型中开放数学思维 缘于柯西不等 式 形 式 的 灵 活 性 , 教师可以在 此设计开放题 型 , 让学生在开放题型中开放数学 思维 , 进一步提 升 学 生 对 柯 西 不 等 式 各 种 形 式 的 掌握程度 , 为随 后 课 时 中 柯 西 不 等 式 进 一 步 深 化 应用打下良好的基础 . 求      ( 填 已知 x>0, y>0 且 x+ y=4, ( 下转第 4 3 页)

此处的 a, 等号成立 b, c, d 的范围就拓展为实 数. 条件可以让学生自行探究 . 在给出柯西不等式的二维形式以及向量形式

2 0 1 4年 第5 3 卷   第 6 期           数学通报 , 说其 “ 是 因 题 目 条 件 简 洁, 实在 ” 问 题 明 确. 尽管题目变式 多 样 , 但没有故弄玄虚人为挖坑之 嫌, 实为大气所在 . , 还因抓住了学生困惑之所在 . 说其 “ 实在 ” 学 生在解解析几 何 综 合 题 目 时 , 多数学生不清楚如 何转化几何条 件 ; 列出根与系数关系后对于多个 变量的多个等 量 关 系 不 知 所 措 . 这节课的设计打 开了一扇门 , 特别给基础薄弱的学生树立了信心 . , 还因为本课从学生已有的经验 实在 ” 说其 “ 出发 . 本课的问题1几乎所有的学生都能够想到 将圆过原 点 转 化 为 原 点 到 弦 的 两 个 端 点 连 线 垂 直, 但是他们没有意识到这种转化的普遍意义 , 认 为只是一种题 型 . 张老师在这里的点评将学生的 已有经验提升到 “ 转化思想” 的 高 度, 使得学生从 简单的题目体会了深刻的道理 , 可称得上一个 “ 高 立意低起点 ” 教学观念的典型范例 . 如何进行解题教学是一个高三数学教师常思 考、 常出新的话题 , 张老师在教学内容选择上抓住 “ 显现的几何条件 与 等 价 几 何 条 件 的 转 化 ” 和“ 方 ( 上接第 3 8 页) ) 关于 x, 填“ 大” 或“ 小” 的最    ( . y 的式子 ) ( 能用柯西不等式求解 ) ( 四 至 六 人 一 组, 小组合作要 求 : 推选一位 1) ( ) 讨论出解法 . 组长负责 , 记录并作总结发言 ; 2 4  柯西不等式教学的反思 4. 1  柯西不等式第一课时的重难点把握 柯西不等式 的 第 一 课 时 的 重 点 难 点 是 什 么? 很多数学教师认为只要将柯西不等式的形式告诉 学生 , 让学生记住 , 然后就反复练习操作如何运用 柯西不等式证明与求最值 . 殊不知 , 教师教会了学 生这道题 , 遇到 那 道 题 , 学 生 可 能 又 不 会 了. 造成 这种现象的原因主要在于学生没有对柯西不等式 的形式真正的理解 , 更谈不上熟练运用了 . 所以在 第一课时中教师需要向学生展示柯西不等式生成 的过程 , 从多元 文 化 的 视 角 揭 示 柯 西 不 等 式 的 方 方面面 . 4. 2  将数学思想注入柯西不等式的教学中 深层知识蕴含 在 表 层 知 识 之 中 , 是教学的精 髓. 教师必须在 讲 授 表 层 知 识 的 过 程 中 不 断 地 渗

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程思想与简化运算的结合 ” 两个关键点 , 提高了学 生分析问题和 解 决 问 题 的 能 力 ; 在教学过程的设 , 优化了教学过程 , 计中 “ 一根生万枝 ” 提高了课堂 效率 ; 这是一节 “ 高立意低起点 , 讲实效抓落实 ” 高 三复习的好课 . “ 张老 听课后 , 许多 生 源 薄 弱 校 的 教 师 认 为 : 师为我们高三 数 学 教 师 上 了 一 节 示 范 课 , 让我们 的复习有了信 心 , 对于高考第1 9 题 这 样 的 难 题, 通过张老师这 样 的 复 习 方 式 , 也可以给我们的学 ” 生讲了! 的确 , 我区是北京市生源相对薄弱的一个区 , 在高三复习教 学 中 , 更需要有效的复习策略的指 导和引领 . 人们对 “ 高三 复习 策 略” 这个话题可以 提出精辟 深 刻 的 观 点 , 然而“ 观念性的东西很抽 象, 容易达成共识 , 关键是如何将观念落实在行动 上. 谈到如何具体落实的问题时就会出现分歧 , 到 操作的 层 面 更 会 出 现 五 花 八 门 , 各行其道的现 象” 张老师的这节课很好地诠释了我区的高三复 . — —“ 高立意 、 低起点 ; 讲实效 、 抓落实 ” 习策略 — .

透相关的深层知识 , 让学生在表层知识上达到 “ 提 , 避免教学上 混 入 “ 题海大战” 数学思想应与 升” . 整个表层知识 融 为 一 体 , 让学生逐步掌握有关新 知识 , 增强数学 能 力 , 进 而 形 成 良 好 的 数 学 素 质. 柯西不等式的引入 , 恰好顺应这种发展 , 因为柯西 不等式中渗透了多种数学思想方法 , 如转化思想 、 数形结合思想 、 联 想 思 想、 辩 证 思 想 等. 教师应该 好好利用 、 开发 柯 西 不 等 式 这 个 良 好 的 素 材 与 资 源, 让它成为充溢着数学思想的海洋 . 经典 ” 4. 3  让学生体验柯西不等式的 “ , 它 柯西不等式 之 所 以 被 誉 为 “ 经 典 不 等 式” 究竟经典在 哪 里?优 美 的 对 称 形 式 、 简洁的证明 方法 、 与其他数 学 知 识 的 内 在 联 系 等 都 处 处 散 发 着它的经典之 光 . 这些如果光靠教师在课堂上讲 解, 学生无法深刻体会 . 我们可以让学生在课后以 “ 探秘柯 西 不 等 式 的 经 典 ” 为课题进行研究性学 习, 允许学生查阅各种形式的资料 , 最后以研究报 告的形式展现 探 究 成 果 , 留给学生充分的时间与 空间去体味其 “ 经典 ” 所在 .



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