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椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质的综合运用



63.椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质的综合运用
一、选择、填空题 1、与椭圆

x2 y2 ? ? 1 共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程是 9 4
B.





A.

x2 y2 ? ?1 30 25

x2 y2 ? ?1

20 15

C.

x2 y2 ? ?1 10 5


D.

x2 y2 ? ?1 15 10

2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( A.

3 3 1 C. D. 3 2 2 3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )

1 3

B.

A.

2 2

B. 2 ? 1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF ? x a2 b2 ??? ? ??? ? 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P 。若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
4、已知椭圆 A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

x2 y 2 5、若点 O 和点 F 分别为椭圆 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 ??? ? ??? ? ) OP?FP 的最大值为( A.2 B.3 C.6 D.8
2 2 1 y x 6、若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为 F(c,0),方程 a x 2 ? 2bx ? c ? 0 2 a b

的两个实根分别为 x1 和 x 2 ,则点 P( x1 , x 2 )到原点距离为( A.



2

B.

7 2

C.2

D.

7 4

二、解答题 7、已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 3 半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,A,B 分别是椭圆的左右两个顶点,P 为椭圆 C

上的动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A,B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ?k2 为定值。

63.椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质的综合运用参考答案
1、D

1 2 2 2 2 ? x ? x y 5、C 解析:由题意,F(-1,0) ,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有 0 ? 0 ? 1 ,解得 y0 2 ? 3 ?1 ? 0 ? , 4 ? 4 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因为 FP ? ( x0 ?1, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? y02

??? ? ??? ? 2、D 3、 D 4、 D 解析: 对于椭圆, 因为 AP ? 2 PB , 则O A ?O 2 F ,? a ? c2 ,? e ?

??? ? ??? ? ? x2? x2 OP ? FP ? x0 ( x0 ?1) ? 3 ?1 ? 0 ? = 0 ? x0 ? 3 ,此二次函数对应的抛物线的 4 ? 4 ?
对称轴为 x0 ? ?2 ,因为 ?2 ≤ x0 ≤ 2 ,所以当 x0 ? 2 时, OP ? FP 取得最大值

??? ? ??? ?

22 ? 2 ? 3 ? 6 ,选 C。 4
6、A 7、解: (1)由题意可得圆的方程为 x2 ? y 2 ? b2 , ∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴ d ? 又e ?

2 ? b ,即 b ? 2 , 2

c 3 ,即 a ? 3c , a 2 ? b2 ? c 2 ,得 a ? 3 , c ? 1 ? a 3

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2
0 ) ,
A(? 3,0) , B( 3,0) , 则
2 x0 y2 ? 0 ?1 , 即 3 2

( 2 ) 设 P( x 0 , y 0 ) (y 0?

y0 y0 2 2 2 y0 ? 2 ? x0 , 则 k1 ? , k2 ? , x0 ? 3 x0 ? 3 3 2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 2 , ∴ k1 ?k2 为定值 ? 2 即 k ? k ? y0 ? 3 ?3 ? ? 3 1 2 2 2 2 x0 ?3 x0 ?3 x0 ?3 3



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