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第三章 直线与方程 3.3.1



§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标
【课时目标】 1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通过求方程组解的个数,判定 两直线位置关系的方法. 3. 通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.

1.两条直线的交点 已知两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0; l2 : A 2 x ?

B2 y ? C2 ? 0 . 若两直线方程组成的方程组 ?

? x ? x0 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 有唯一解 ? ,则两直线______, ? y ? y0 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

交点坐标为________. 2.方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组 交点 的解 无解 有唯一解 有无数个解 两直线____交点 两条直线有 ______个交点 两条直线有 ________个交点

两直线 位置关系 平行 相交 重合

方程系数特征

A1B2 ? A2 B1 B1C2 ? B2C1 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1 B2C1 ? B1C2

一、选择题 1.直线 l1 : ( 2 ?1) x ? y ? 2 与直线 l2 : x ? ( 2 ?1) y ? 3的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合 2.经过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 5 ? 0 的交点,且垂直于直线 x ? 2 y ? 0 的直线的 方程是( ) A. 2 x ? y ? 8 ? 0 B. 2 x ? y ? 8 ? 0 C. 2 x ? y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 8 ? 0 ) 3.直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0, 4 x ? 3 y ? 10 和 2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值为(

(

A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2 4.两条直线 l1 : 2x ? 3 y ? m ? 0 与 l1 : x ? my ? 12 ? 0 的交点在 y 轴上,那么 m 的值为 ) A. ?24 B. 6 C. ? 6 D.以上答案均不对 5. 已知直线 l1 : x ? m2 y ? 6 ? 0, l2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 , 则 m 的值是( l1 // l2 , ) A. m ? 3 B. m ? 0 C. m ? 0 或 m ? 3 D. m ? 0 或 m ? ? 1 6 .直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为

M (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为( 3 2 A. B. 2 3

) C. ?

3 2

D. ?

2 3

二、填空题 7.若集合 {( x, y) x ? y ? 2且x ? 2 y ? 4 ? 0} ? {( x, y) y ? 3x ? b} ,则 b ? ________. 8 . 已 知 直 线 l 过 直 线 l1 : 3x ? 5 y ?10 ? 0 和 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的 交 点 , 且 平 行 于

l3 : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则直线 l 的方程是______________. 9.当 a 取不同实数时,直线 (2 ? a) x ? (a ?1) y ? 3a ? 0 恒过一个定点,这个定点的坐
标为________. 三、解答题 10.求经过两直线 2 x ? y ? 8 ? 0 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且在 y 轴上的截距为 x 轴上 截距的两倍的直线 l 的方程.

11.已知 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点分别是 D(?2, ?3), E (3,1), F (?1, 2) .先画 出这个三角形,再求出三个顶点的坐标.

能力提升 12.在 ?ABC 中, BC 边上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ? A 的角平分线所 在直线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1, 2) ,求点 A 和点 C 的坐标.

13 . 一 束 平 行 光 线 从 原 点 O (0, 0) 出 发 , 经 过 直 线 l :8x ? 6 y ? 25 反 射 后 通 过 点

P(?4,3) ,求反射光线与直线 l 的交点坐标.

1.过定点(x0,y0)的直线系方程 y-y0=k(x-x0)是过定点(x0,y0)的直线系方程,但不含直线 x=x0;A(x-x0)+B(y-y0) =0 是过定点(x0,y0)的一切直线方程. 2.与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+D=0(D≠C).与 y=kx+b 平 行的直线系方程为 y=kx+m(m≠b). 3.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ C2=0 交点的直线系方程是 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含 l2; 一般形式是 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0), 是过 l1 与 l2 交点的所有直线 方程.

§ 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 答案
知识梳理 1.相交 (x0,y0) 2.无 1 无数 作业设计 1.A [化成斜截式方程,斜率相等,截距不等.] 2.A [首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程 y-6=- 2(x-1),即 2x+y-8=0.] ?4x+3y=10 ? 3.B [首先联立? ,解得交点坐标为(4,-2),代入方程 ax+2y+8=0 得 ?2x-y=10 ? a=-1.] m 12 4.C [2x+3y-m=0 在 y 轴上的截距为 ,直线 x-my+12=0 在 y 轴上的截距为 , 3 m 12 m 由 = 得 m=± 6.] m 3 5.D [l1∥l2,则 1· 3m=(m-2)· m2, 解得 m=0 或 m=-1 或 m=3. 又当 m=3 时,l1 与 l2 重合, 故 m=0 或 m=-1.] 6. D [设直线 l 与直线 y=1 的交点为 A(x1,1), 直线 l 与直线 x-y-7=0 的交点为 B(x2, 1+y2 y2),因为 M(1,-1)为 AB 的中点,所以-1= 即 y2=-3,代入直线 x-y-7=0 得 2 -3+1 2 x2=4,因为点 B,M 都在直线 l 上,所以 kl= =- .故选 D.] 3 4-1 7.2

? ? ?x+y-2=0 ?x=0 解析 首先解得方程组? 的解为? , ?x-2y+4=0 ?y=2 ? ? 代入直线 y=3x+b 得 b=2. 8.8x+16y+21=0 9.(-1,-2) 解析 直线方程可写成 a(x+y+3)+2x-y=0,则该直线系必过直线 x+y+3=0 与直 线 2x-y=0 的交点,即(-1,-2). 10.解 (1)2x+y-8=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4 和 8,符合题意. (2)当 l 的方程不是 2x+y-8=0 时, 设 l:(x-2y+1)+λ(2x+y-8)=0, 即(1+2λ)x+(λ-2)y+(1-8λ)=0. 据题意,1+2λ≠0,λ-2≠0. 1-8λ 1-8λ 令 x=0,得 y=- ;令 y=0,得 x=- . λ-2 1+2λ 1-8λ ?-1-8λ?解之得 λ=1,此时 y=2x. ∴- =2· ? 1+2λ? 8 3 λ-2 ? ? 2 ∴所求直线方程为 2x+y-8=0 或 y= x. 3 11.解

如图,过 D,E,F 分别作 EF,FD,DE 的平行线,作出这些平行线的交点,就是△ABC 的三个顶点 A,B,C. 由已知得,直线 DE 的斜率 1+3 4 4 kDE= = ,所以 kAB= . 5 3+2 5 因为直线 AB 过点 F,所以直线 AB 的方程为 4 y-2= (x+1),即 4x-5y+14=0.① 5 由于直线 AC 经过点 E(3,1),且平行于 DF, 同理可得直线 AC 的方程 5x-y-14=0.② 联立①,②,解得点 A 的坐标是(4,6). 同样,可以求得点 B,C 的坐标分别是(-6,-2),(2,-4). 因此,△ABC 的三个顶点是 A(4,6),B(-6,-2),C(2,-4). 12.解

如图所示, 由已知, A 应是 BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点. ? ? x - 2 y + 1 = 0 ? ?y=0 由? ,得? , ?y=0 ?x=-1 ? ?

故 A(-1,0). 又∠A 的角平分线为 x 轴, 故 kAC=-kAB=-1,(也可得 B 关于 y=0 的对称点(1,-2). ∴AC 方程为 y=-(x+1), 又 kBC=-2, ∴BC 的方程为 y-2=-2(x-1), ? ? ?y=-?x+1? ?x=5 由? ,得? , ?y-2=-2?x-1? ?y=-6 ? ? 故 C 点坐标为(5,-6). 13.解 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a,b),由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中 点在 l 上得 b ? 4? ·- =-1 ? a ? 3? ?a=4 ,解得? , a b ?b=3 ? 8× +6× =25 2 2

? ? ?

∴A 的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3), 又由反射光线过 P(-4,3),两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为 y=3. 7 ? ? ?x=8 ?y=3 ? 由方程组 ,解得? , ?8x+6y=25 ? ?y=3 ? 7 ? ∴反射光线与直线 l 的交点坐标为? ?8,3?.



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