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广东省韶关市2015届高三模拟考试理科数学试题及答案



广东省韶关市 2015 届高三模拟底考试 数学(理科)试题
说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷 上。 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在

答题卷相应表格指定位置上。 3.考试结束,考生只需将第Ⅱ卷(含答卷)交回. 参考公式: 第 I 卷 (选择、填空题 满分 70 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的). 1.设全集 I ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z }, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则 A A.{1} B.{l,2} C.{0,1,2}

(?I B) ?

D.{一 1,0,1,2}

2.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i) 2 ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为( ). A. y ? x ? 1 B. y ?

1 x

C. y ? ? x3

D. y ? ln x
).

4. 在 △ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C. ? ) D.64

D.

? ?

5.如图右所示,该程序运行后输出的结果为 ( A.14 B.16

C.18

6. 设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?



B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

7.现有 16 张不同卡片,其中红色,黄色,蓝色,绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张不 能是同一颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法为( A.232 种 B.252 种 C.472 种 D.484 种 )

8. 列命题中是假命题 的个数是( ...



① ?? , ? ? R, 使 cos(? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; ② ?a ? 0,函数f ( x) ? ln 2 x ? ln x ? a有零点 ③ ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m
2

?4m?3

是幂函数 , 且在(0,??) 上递减

x ④若函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,则 ?x1, x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 )

A. 0 B. 1 C. 2 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分). 9.函数 y ? lg(? x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域是________(用区间表示).

D. 3

10. 某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料如图:

x
y
根据 上表可得回 归方程 y ? 1.23x ? a , 则
^ ^

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

a ? _______________.
11. 已知向量 p ? ?2,?3? , q ? ?x,2? ,且 p ? q ,则 p ? q 的值为 .

^

?x ? y ? 1 ? 12.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?

.

14. 已知 {an } 是等差数列,{bn } 是等比数列,其公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a6 ? b6 ,且 {an } 和 {bn } 各项 都是正数,则 an 与 bn 的大小关系是______________________.(填 “ ? ”或“ ? ”或“ ? ”) 14.已知抛物线 C : y ? 2 px 与双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则抛物线 C 上的动点 M 到直线 3

l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和 l2 : x ? ?2 距离之和的最小值为________________.

数学(理科)试题
题号 分数 一 二 三 15 16 17 18 19
20

一.选择题答卷: 题号 答案 二、填空题答卷: 9.____________________. 11.____________________. 13.________________________. 10.__________________________. 12.__________________________. 14.__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8

第Ⅱ卷(解答题 满分 80) 三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤). 15.(本小题满分12分) 已知函数 f ?x ? ? 2 sin x?cos x ? sin x ? ( x ?R). (1)求 f ?

? 5? ? ? 的值; ? 6 ?

(2)求 f ?x ? 在区间 ?0, ? ?上的最大值及相应的 x 值.

16.(本小题满分12分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中 随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其 中年龄分组区间是: ? 20, 25? , ? 25,30? , ?30,35? , ?35, 40 ? , ?40, 45? . (1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名 志愿者中年龄在 ?35, 40 ? 岁的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方 法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用 简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数 学期望.

17. (本小题满分14 分)

AD = AA1 =1, AB ? 2 ,点 E 是线段 AB 中点. 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)求证: D1E ? CE ; (2)求二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值; (3)求 A 点到平面 CD1 E 的距离. A1 B1 D1 C1

D A B

C E

18.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 中, a1 ? 1, 公差d ? 0, 且a2 , a5 , a14 分别是等比数列 {bn } 的第二项、第三项、 第四项. (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 {cn } 满 足 对 任 意 的 n ? N * 均 有 an?1 ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn cn 成 立 , 求 证 :

c1 ? c2 ? ? ? cn ? 4 .

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F 1 (?1,0)、F 2 (1,0) ,且经过定点 a b 3 P (1, ) , M ( x0 , y0 ) 为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心, MF2 为半径作圆 M . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x0 的取值范围;
(3)是否存在定圆 N ,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程;若不存在,请 说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a , a ? 1 . (1)求证函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数 y ? f ( x) ? b ?

1 ? 3 有四个零点,求 b 的取值范围; b
2

(3)若对于任意的 x ∈[-1,1]时,都有 f ( x) ? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

参考解答和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相 应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:,ADCBA BCB 1. 提示:

CI B ? {0,1},? A (CI B) ? {1},所以选 A
2i ? 1 ? i ,对应点在第四象限,所以选 D i ?1

2. 提示: z ?

3. 提示:由定义和图象易知, y ? ? x3 符合题设,所以选 C

4.. 提示: 由正弦定理得:

BC AC 3 2 AC ? ? ? ? AC ? 2 3 ? sin A sin B sin 60 sin 45?

5. 提示:第 1 次循环,S=2,i=9;第 2 次循环,S=4,i=8;第 3 次循环,S=6,i=7, 第 4 次循环,S=8,i=6,;第 5 次循环,S=10,i=5,;第 6 次循环,S=12,i=4,;第 7 次循环,S=14, i=3,不满足 i≤3,退出循环,输出的结果为 14,故选 A. 6. 由条件 l ? ? , l ? ? ,可证得 ? // ? ,选 B 7. 提示:法1 法2.
3 3 2 1 C16 ? 4C4 ? C4 C12 ? 472 0 3 3 1 2 C4 C12 ? 3C4 ? C4 C12 ? 472

8. 提示:只有第④是假,故选 B 二、填空题: 2 9. 提示: ? x ? 2 x ? 3 ? 0 , ?3 ? x ? 1 ,所以定义域为 (?3,1) . 10. 提示:样本中心为 (4,5.4) 代入回归方程得 a ? 0.48 11. 提示: p ? q ? p ? q ? 0 ? x ? 3 , p ? q ? (5, ?1) , p ? q ? 12. 提示:如图作出可行域,可知, (2 x ? 3 y)max ? 2 13. 提示:考查等差等比的基本性质及均值不等式. a6 ?
^
O

y

x-y=-1

2x-y=2

x

26

x+y=1

a1 ? a11 b1 ? b11 ? ? b1b11 ? b6 ,由于 2 2

q ? 1 ,所以 b1 ? b11 ,所以 a6 ? b6 .

14.

提示:抛物线 C : y 2 ? 2 px 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,所以, 3

y

作 MA ? l 1 p ? 2 ,x ? ?1 是抛物线准线,

由抛物线定义 MB ? MF , MB ? l 2 ,
B

A
M

当 M , A, F 三点共线时,距离之和的最小,其值是 F 到 l 1 距离,由点到直线距离 可得,其距离为

14 . 5

x O F

三、解答题 15. 解:(1)? f ?x ? ? 2 sin x?cos x ? sin x ?

? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x
?sin 2x ? 1 ? c o s 2x

? 2 s i n2 (x ?

?
4

) ? 1 ?????????????????????3 分

5? ? ? ? 5? ? ? ? f ? ? ? 2 sin? 2 ? ? ? ?1 6 4? ? 6 ? ? ? 2? ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? 1????????????????????? 4 分 ? 3 4? ?
(2)

1? 3 ????????????????????????????7 分 2
0? x ??

4 3? 从而当 2 x ? ? 时,即 x ? 时,???????????? 10 分 4 2 8

?

?
4

? 2x ?

?

?

?

?

7? ???????????????8分 4

f ?x?max ? 2 ? 1 ????? 12分
另解:(1)

5 5? 5? 5? 1 3 1 1? 3 f ( ? ) ? 2sin( )(cos ? sin ) ? 2 ? (? ? )? 6 6 6 6 2 2 2 2 ?????3 分
(2)? f ?x ? ? 2 sin x?cos x ? sin x ?

? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x
?sin 2x ? 1 ? c o s 2 x ????????????????????? 5分

? 2 s i n2 (x ?
0? x ??
从而当 2 x ?

?
4

) ? 1 ?????????????????????7 分

?
?

?
4

? 2x ?

?
4

?

?
4

?
2

时,即 x ?

3? 时,???????????? 10 分 8

7? ???????????????8分 4

f ?x?max ? 2 ? 1 ????? 12分
16. 解:(1)∵ 小矩形的面积等于频率,∴ 除 ?35,40 ? 外的频率和为 0.70, ??????2 分

?x ?

1 ? 0.70 ? 0.06 5
估计 500 名志愿者中,年龄在 ?35,40 ? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人).??4 分

(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁” 的人有 8 名 故 X 的可能取值为 0,1,2,3, ????????????????????6 分

P? X ? 0? ? P? X ? 3? ?

C83 14 ? 3 285 C 20

,

P? X ? 1? ?

1 C12 C82 28 ? 3 95 C 20

,

P? X ? 2? ?

2 1 C12 C8 44 ? 3 95 C 20

,

3 C12 11 ,??????????????????????????10 分 ? 3 57 C 20

故 X 的分布列为

X P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

14 28 44 11 171 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . ?????????12 分 285 95 95 57 95 5 17.解:(1) 证明: DD1 ? 面 ABCD , CE ? 面 ABCD
所以,

DD1 ? CE ????????1分

Rt ?DAE 中, AD ? 1 , AE ? 1

DE ? AD2 ? AE2 ? 2
同理: CE ? 2 ,又 CD ? 2
, CD
2

? CE 2 ? DE 2

DE ? CE ???????????????????????3 分 DE CE ? E
所以, CE ? 面 D1DE ????????????????????????4 分 又 D1E ? 面 D1EC

所以, D1E ? CE ???????????????????????5 分 (2)解法一 由(1)证可知 ?D1 ED 是所求二面角 D1 ? EC ? D 的平面角????6分 在 RT?D1 ED 中, DD1 ? 1 , DE ? 故, tan?D1 ED ?

2;

1 2

?

2 2 ??????????8 分
6 9分 3 ???????????

即二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值为 解法二:利用向量法 设平面 CD1 E 的法向量为 m ? ( x, y,1) , 由(1)得 D1 E ? (1,1,?1) , CE ? (1,?1,0)

z D1 A1 B1 C1

m ? D1 E ? x ? y ? 1 ? 0 且 m ? CE ? x ? y ? 0
1 1 1 解得: x ? y ? ,即 m ? ( , ,1) ;???????7 分 2 2 2
又平面 CDE 的法向量为 DD1 ? (0,0,1) ,

D

? cos m, DD1 ?

m ? DD1 | m | ? | DD1 |

?

1 1 1 ? ? 1 ?1 4 4

?

6 3

C x A E B

y

6 . 3 ??????????9 分 (3))解法一:? BC ? 1 , AE ? 1 , AE ? BC , 1 1 ? S ?ACE ? ? 1 ? 1 ? ???????????????10 分 2 2
所以,二面角 D1 ? EC ? D 的余弦值为 又? D1 E ? 3 , CE ?

2 , D1 E ? CE ,
????????(11 分)

? S ?CDE ?

1 6 ? 3? 2 ? 2 2

设 A 点到平面 CD1 E 的距离为 d ,则 VD1 ?ACE ? 解得 d ?

1 1 1 6 ? ? 1 ? VA ?CD1E ? ? ?d , 3 2 3 2
?????(14 分)

6 6 ,即 A 点到平面 CD1 E 的距离为 . 6 6

解法二:利用向量法 由(1) (2)知 AE ? (0,1,0) ,平面 CD1 E 的法向量为

1 1 m ? ( , ,1) 2 2

1 | m ? AE | 6 故, A 点到平面 CD1 E 的距离为 d ? ? 2 ? 6 6 |m| 2
18. 解:(1)? a2 , a5 , a14 分别是等比数列 {bn } 的第二项、第三项、第四项.

? (1 ? 4d ) 2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) …………..1 分
? d ? 2(舍去d ? 0) …………..3 分

? an ? 2n ? 1 ????????4 分
又 b2 ? a2 ? 3, b3 ? a5 ? 9

?公比q ? 3 ,? bn ? 3n?1 ??????????7 分
(2)证明:当 n=1 时, a 2 ? b1c1

? c1 ? 3 ? 4 ??????????8 分
当 n ? 2时, an ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1

an?1 ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn cn ? an?1 ? an ? bn cn
? cn ? an?1 ? an 2 ? n?1 ??????????11 分 bn 3

2 1 (1 ? n?1 ) 1 3 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 3 ? 4 ? n?1 ? 4 ??????13 分 1 3 1? 3
所以,对于任意的 n ? N*,均有c1 ? c2 ? ? ? cn ? 4. ??????14 分 19. (1)由椭圆定义得 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,??????????????? 1 分

?3? 即 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ?2?
2

2

3? 5 3 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ????????? 2 分 2 2 ?2?
2

2

2 2 2 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , ∴ b ? a ? c ? 3 .??????????????? 3 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ???????????????????4 分 4 3

(2)圆心 M ( x0 , y0 ) 到 y 轴距离 d ? x0 ,圆 M 的半径 r ? 若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即

? x0 ?1?

2

2 , ? y0

? x0 ?1?

2

2 ? y0 ? x0 ,

2 化简得 y0 ? 2x0 ? 1 ? 0 .???????? ??????????? 6 分

3 2 x0 ,代入以上不等式得: 4 4 2 3x0 ? 8x0 ?16 ? 0 ,解得: ?4 ? x0 ? . ??????????????? 8 分 3 4 4 又 ?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?2 ? x0 ? ,即点 M 横坐标的取值范围是 [ ?2, ) . ??9 分 3 3
点 M 在椭圆 C 上,∴ y0 ? 3 ?
2
2 (3)存在定圆 N : ? x ? 1? ? y ? 16 与圆 M 恒相切, 2

其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F 1 ,半径为椭圆 C 的长轴长 4. ????????12 分 ∵由椭圆定义知, MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4 ,即 MF 1 ? 4 ? MF 2 , ∴圆 N 与圆 M 恒内切. ??????????????????????? 14 分 20. 解:(1)证明∵f(x)=ax+x2-xln a, ∴f′(x)=ax· ln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x. ?????????????2 分 ∵a>1,x>0,∴ax-1>0,ln a>0,2x>0,∴当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, 即函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增?????????????4 分 (2)解:由(1)知当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)取得最小值为 f(0)=1?????????????5 分 由 f ( x) ? b ?

1 1 1 -3=0,得 f(x)=b- +3 或 f(x)=b- -3, b b b

? 1 b ? ?3 ?1 ? 1 ? b ∴要使函数 y= f ( x) ? b ? -3 有四个零点,只需 ? ??????7 分 b ?b ? 1 ? 3 ? 1 ? ? b
b2-4b-1 1 即 b- >4,即 >0,解得 b>2+ 5或 2- 5<b<0. b b 故 b 的取值范围是(2- 5,0)∪(2+ 5,+∞) ????????????8 分 (3)解:由(1)知 f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 1 1 f(-1)= +1+ln a,f(1)=a+1-ln a,∴f(1)-f(-1)=a- -2ln a a a

2 2 1 1 2 x -2x+1 (x-1) 令 H(x)=x- -2ln x(x>0),则 H′(x)=1+ 2- = = >0, 2 2 x x x x x

∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.∵a>1,∴H(a)>H(1)=0. ∴f(1)>f(-1) ∴|f(x)|的最大值为 f(1)=a+1-ln a,??????????????12 分 ∴要使 f ( x) ? e ? 2 恒成立,只需 a+1-ln a≤e2-2 即可
2

1 令 h(a)=a-ln a(a>1),h′(a)=1- >0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增. a ∵h(e2)=e2-1,∴只需 h(a)≤h(e2),即 1<a≤e2. 故 a 的取值范围是(1,e2] ???????????????????14 分



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