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2016


模块综合评价
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求) 1.已知集合 A={2,3,4,5},B={3,5,6},全集 U={1,2,3,4,5,6},则 A∩(?UB) =( ) A.{1,3} B.{2,4} C.{1,6} D.{3,5}

解析:因为?UB={1,2,4},所以 A∩(?UB)={2,4}. 答案:B
? ?x+y=5 ? ? ? ?? ?=( 2.集合?(x,y)?? ? ?2x-y=1? ? ?? ?

) B.{x=2,y=3} D.(2,3)

A.{2,3} C.{(2,3)}

解析:本题中的元素是点,故答案是{(2,3)}. 答案:C |x-1|-2,|x|≤1, ? ? ? ?1?? 3.设函数 f(x)=? 1 则 f?f? ??等于( ? ?2?? 2,|x|>1, ? ?1+x A. 1 25 B. 2 41 9 C.- 5 4 D. 13

)

? ?1?? ? 3? 4 解析:f?f? ??=f?- ?= . ? ?2?? ? 2? 13
答案:D 1 4.函数 f(x)=|log0.5x|- x的零点个数为( 2 A.1 B.2 C.3 D.4 1 解析: 在同一坐标系中作出函数 y=|log0.5x|与 y= x的图象, 可知这两个图象有两个交 2 1 点,所以函数 f(x)=|log0.5x|- x有两个零点. 2 答案:B 5.函数 y=log1(4x-x )的值域是( 2 A.[-2,+∞) C.[0,+∞) 解析:令 t=4x-x , 画出 t=4x-x (t>0)的图象如图所示,
1
2 2 2

)

) B.R D.(0,4]

则 0<t≤4,所以 y=log1t∈[-2,+∞). 2 答案:A 6.已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数,在区间(-∞,0)内有 1 005 个零点,则函数 f(x) 在 R 上的零点个数为( )

A.2 009 B.2 010 C.2 011 D.2 012 解析:定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(0)=0,图象自身关于原点对称,所以零点的个 数为 2×1 005+1=2 011. 答案:C 7.已知集合 A={x|x-2≤0,x∈N},B={x| x≤2,x∈Z},则满足条件 A? C? B 的集 合 C 的个数为( )

A.5 B.4 C.3 D.2 解析:A={x|x-2≤0,x∈N}={0,1,2},B={x| x≤2,x∈Z}={0,1,2,3,4}, 若 A? C? B,则集合 C 可以是{0,1,2},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{0,1,2,3,4}, 共 4 个. 答案:B

? 1? 8. 已知函数 f(x+1)是偶函数, 当 x∈(-∞, 1]时, 函数 f(x)单调递减, 设 a=f?- ?, ? 2?
b=f(-1),c=f(2),则 a,b,c 的大小关系为(
A.c<a<b C.a<c<b B.a<b<c D.c<b<a )

解析:因为函数 f(x+1)是偶函数, 所以函数 f(x)图象的对称轴为 x=1,所以 c=f (2) =f(0), 因为 f(x)在(-∞,1)上单调递减,

? 1? 所以 f(-1)>f?- ?>f(0),即 b>a>c. ? 2?
答案:A 9.已知奇函数 f(x)在区间[-b,-a]上单调递减,且 f(x)>0.若 0<a<b,则|f(x)|在 区间[a,b]上( A.单调递减 C.先增后减 ) B.单调递增 D.先减后增

2

解析:利用奇函数的对称性可知,函数 f (x)在区间[a,b]上单调递减,且 f(x)<0 ,则 |f(x)|在区间[a,b]上单调递增. 答案:B 10.若函数 f(x)=loga(x+b)(其中 a,b 为常数)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的大致图象是( )
x

A

B

C

D

解析:根据题中的图象可知,0<a<1,0<b<1.根据指数函数的性质可知,选项 D 符合题 意. 答案:D

x-2 ?1? 3 11.设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ?2?
A.(3,4) C.(1,2) B.(2,3) D.(0,1)

)

x-2 x-2 ?1? ?1? 3 3 解析:函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点的横坐标 x0 即函数 f(x)=x -? ? 的 ?2? ?2? x-2 x-2 ?1? ?1? 3 3 零点.当 x=1,f(x)=x -? ? <0;当 x=2 时,f(x)=x -? ? >0,即 f(1)f(2)<0, ?2? ?2? x-2 x-2 ?1? ?1? 3 3 又因为 f(x)=x -? ? 为连续函数,故函数 f(x)=x -? ? 的零点一定在区间(1,2) ?2? ?2?
内.

3

答案:C 12.已知 x1,x2 是二次方程 f(x)=0 的两个不同实根,x3,x4 是二次方程 g(x)=0 的两 个不同实根.若 g(x1)g(x2)<0,则( A.x1,x2 介于 x3 和 x4 之间 B.x3,x4 介于 x1 和 x2 之间 C.x1 与 x2 相邻,x3 与 x4 相邻 D.x1,x2 与 x3,x4 相间排列 解析:画图可知 x3,x4 中有一个在 x1,x2 之间,故 x1,x2 与 x3,x4 相间排列. 答案:D 二、填空 题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
? ?2 ,x∈(-∞,1], 1 13.设 f(x)=? 则满足 f(x)= 的 x 值为________. 4 ?log81x,x∈(1,+∞), ?
-x

)

1 -x -x -2 解析:令 2 = ,则 2 =2 ,所以 x=2,不满足 x∈(-∞,1]; 4 1 1 令 log81x= ,则 x=814=3,满足 x∈(1,+∞).综上知,x=3. 4 答案:3 2 2 1 ?1? ?1? ?1? 14.若 a=? ?3,b=? ?3,c=? ?3,则 a,b,c 的大小关系是________(请用“<”号 ?2? ?5? ?2? 连接). 2 2 2 x ?1? ?1? ?1? 解析:因为函数 f(x)=x3在区间 (0,+∞)上单调递增,所以? ?3>? ?3.又 f(x)=? ? ?2? ?5? ?2?

?1? ?1? 在定义域是减函数,所以? ?3<? ?3.故 b<a<c. ?2? ?2?
答案:b<a<c 15.设集合 A={-1,3,2m-1},B={3,m }.若 A∩B=B,则实数 m 的值为________. 解析:因为 A∩B=B,所以 B? A,所以 m =2m-1,解得 m=1. 答案:1 16.下列命题中: ①若集合 A={x|kx +4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1; ②已知函数 y=f(3 )的定义域为[-1,1],则函数 y=f(x)的定义域为(-∞,0]; ③函数 y=
|x| 2 2 2

2

1

x

1 在(-∞,0)上是增函数; 1-x

④方程 2 =log2(x+2)+1 的实根的个数是 2. 所有正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)
4

解析:对于①,k=0 也符合题意;对于②,y=f(x)的定义域应该是[3 ,3];对于③, 1 1 画出 y= 的图象,或利用定义可判定 y= 在(-∞,0)上是增函数;对于④在同一坐 1-x 1-x 标系中做出 y=2 ,y=log2(x+2)+1 的图象,由图可知有两个交点.故方程的实根的个数 为 2. 答案:③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知全集 U=R, 集合 A={x|-7≤2x-1≤7}, B={x|m-1≤x≤3m -2}. (1)当 m=3 时,求 A∩B 与 A∪(?UB); (2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围. 解:易得 A={x|-3≤x≤4}. (1)当 m=3 时,B={x|2≤x≤7}, ?UB={x|x<2 或 x>7}. 故 A∩B=[2,4],A∪(?UB)=(-∞,4]∪(7,+∞). (2)因为 A∩B=B,所以 B? A. 1 当 B=?时,m-1>3m-2,所以 m< ; 2 1 当 B≠?,即 m≥ 时,m-1≥-3,且 3m-2≤4, 2 1 所以-2≤m≤2,所以 ≤m≤2. 2 综上所述,m≤2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2x -x . (1)求函数 f(x)的解析式,并画出函数 f(x)的图象; (2)根据图 象写出单调区间和值域. 解:(1)设 x<0,则-x>0,因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=2(-x)-( -x) =-x -2x,
? ?2x-x ,x≥0, 所以 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ?
2 2 2 2 |x|

-1

图象如图所示:

5

(2)由图可知,函数的单调递增区间为:(-∞,-1)和(0,1);单调递减区间为:(-1, 0)和(1,+∞).值域为(-∞,1]. 19.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为 x =2,且 f(x)的两个零点的平方和为 10,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 由题意知,c=3,- =2. 2a 设 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根, 则 x1+x2=- ,x1x2= . 因为 x1+x2=10,所以(x1+x2) -2x1x2=10,即
2 2 2 2 2

b

b a

c a

?-b? -2c=10,所以(-4)2-6=10, ? a? a a ? ?
所以 a=1,b=-4. 所以 f(x)=x -4x+3. 20.(本小题满分 12 分)某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售, 同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:
2

2

消费金额的范围/元 获得奖券的金额/元

[200,400) 30

[400,500) 60

[500,700) 100

消费金额的范围/元 获得奖券的金额/元

[700,900) 130

[900,1 000) 160

? ?

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如,购买标价为 400 元的 商品,消费金额为 320 元,可获得的优惠额为(400-320)+30=110(元).设购买商品得到 的优惠率=购买商品获得的优惠额/商品的标价. (1)若购买一件标价为 1 000 元的商品,顾客得到的优惠额是多少元? (2)对于标价在[500,800]元内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可以得到不小
6

1 于 的优惠率? 3 解:(1)顾客得到的优惠额为 1 000×(1-0.8)+130=330(元). (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x≤800,消费额 400≤0.8x≤640. 0.2x+60 当消费额在[400,500)元内时,优惠率为 ,

x

400≤0.8x<500, ? ? 所以?0.2x+60 1 该不等式组无解. ≥ . ? x 3 ? 0.2x+100 当消费额在[500,640]元内时,优惠率为 ,

x

500≤0.8x≤640, ? ? 所以?0.2x+100 1 解得 625≤x≤750. ≥ , ? x 3 ? 1 故当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时,可以得到不小于 的优惠率. 3 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; 1 ( 2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+b 没有交点,求 b 的取值范围. 2 解:(1)因为 f(x)为偶函数, 所以对任意 x∈R,f(x)=f(-x), 即 log9(9 +1)-kx=log9(9 +1)+kx 对于任意的 x∈R 恒成立, 9 +1 -x x x 故 2kx=log9(9 +1)-log9(9 +1)=log9 x -log9(9 +1)=-x 恒成立.又 x 不恒 9 为零, 1 所以 k=- . 2 1 1 x x (2)由题意知,方程 log9(9 +1)- x= x+b 无解,即方程 log9(9 +1)-x=b 无解. 2 2 令 g(x)=log9(9 +1)-x, 则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.
x 9 +1 ? 1? 易知 g(x)=log9 x =log9?1+ ?, 9 ? 9? x x x x
-x

任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 1 1 则 0<9x1<9x2,从而 > , 9x1 9x2

7

1? 1? ? ? 于是 log9?1+ ?>log9?1+ ?, ? 9x1? ? 9x2? 即 g(x1)>g(x2),故 g(x)在 R 上是减函数. 1 ? 1? 因为 1+ x>1,所以 g(x)=log9?1+ x?>0. 9 ? 9? 故 b 的取值范围是(-∞,0]. 4 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=1- x (a>0,a≠1)且 f(0)=0. 2a +a (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)=(2 +1)·f(x)+k 有零点,求实数 k 的取值范围; (3)当 x∈(0,1)时,f(x)>m·2 -2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 解:(1)由 f(0)=0 得 1- 0 =0, 2a +a 即 a+2=4,解得 a=2. (2)函数 g(x)=(2 +1)·f(x)+k 有零点?方程 2 -1+k=0 有解, 即 k=1-2 有解, 因为 1-2 ∈(-∞,1),所以 k∈(-∞,1). (3)由 f(x)>m2 -2 得 m(2 ) +(m-3)2 -1<0, 令 t=2 ,因为 x ∈(0,1),所以 t∈(1,2), 即 f(x)>m2 -2?mt +(m-3)t-1<0 对于 t∈(1,2)恒成立. 设 g(t)=mt +(m-3)t-1, ①当 m<0 时,m-3<0, 所以 g(t)=mt +(m-3)t-1<0 在(1,2)上恒成立. 此时 m<0 符合题意. ②当 m=0 时,g(t) =-3t-1<0 在(1,2)上恒成立,所以 m=0 符合题意. ③当 m>0 时, 只需?
? ?g(1)≤0, ? ?m+(m-3)-1≤0, 7 ?? ? m≤ , 6 ?g(2)≤0, ? ?4m+2(m-3)-1≤0, ?
2 2

x

x

x

x

x

x

x

x 2

x

x

x

2

7 此时 0<m≤ . 6 7? ? 综上知:m 的取值范围是?-∞, ?. 6? ?

8


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