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2017高考数学(理)一轮复习练习:第4章 三角函数、解三角形 第4讲



基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2016· 昆明检测)下列函数中,是周期函数的为( A.y=sin|x| C.y=tan|x| 解析 B.y=cos|x| D.y=(x-1)0 )

∵f(x)=cos x 是偶函数,∴f(x)=f(|x|),

即 y=cos|x|=cos x,∴它的最小正周期为 2π. ∵f(

|x|)的图像是由 f(x)的 y 轴右边图像保持不变,并把 y 轴右边图像关于 y 轴对称翻折到 y 轴左 边得到的, ∴y=sin|x|和 y=tan|x|都不是周期函数.y=(x-1)0=1,任何大于 0 的实数都是它的正周期,无最 小正周期.故选 B. 答案 B )

π? ? 2.(2015· 合肥模拟)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? ?kπ π kπ 5π ? A.? - , + ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ?kπ π kπ 5π ? B.? - , + ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 π 5π ? ? ?(k∈Z) C.?kπ - ,kπ + 12 12 ? ? π 2π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? 解析

π π π kπ π π? ? 当 kπ- 2 <2x- 3 <kπ+ 2 (k∈Z)时,函数 y=tan?2x- ?单调递增,解得 2 -12<x 3? ?

kπ 5π π? ? ?kπ π kπ 5π? < 2 + 12 (k∈Z),所以函数 y=tan?2x- ?的单调递增区间是? - , + ?(k∈Z),故 3 12 ? ? ? ? 2 12 2 选 B. 答案 B )

3π ? ? 3.(2016· 泰安模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?(x∈R),下面结论错误的是( 2 ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为π B.函数 f(x)是偶函数

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π C.函数 f(x)的图像关于直线 x= 4 对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ? 解析 3π? ? f(x)=sin?2x+ ?=-cos 2x,故其最小正周期为π,故 A 正确;易知函数 f(x)是偶函数, 2 ? ?

π B 正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图像可知,函数 f(x)的图像关于直线 x= 4 不对称,C 错误;由 π? ? 函数 f(x)的图像易知,函数 f(x)在?0, ?上是增函数,D 正确,故选 C. 2? ? 答案 C

?π ? 4.(2016· 哈尔滨、 长春、 沈阳、 大连四市联考)函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意 x 都有 f? +x?= 4 ? ? ?π ? ?π ? f? -x?,则 f? ?等于( ?4 ? ?4? A.2 或 0 C.0 解析 ) B.-2 或 2 D.-2 或 0 π π ?π ? ?π ? ?π? 由 f? +x?=f? -x?可知函数图像关于直线 x= 4 对称,则在 x= 4 处取得最值,∴f? ? 4 4 ? ? ? ? ?4?

=± 2,故选 B. 答案 B )

π? ? 5.(2015· 金华十校模拟)关于函数 y=tan?2x- ?,下列说法正确的是( 3? ? A.是奇函数 π? ? B.在区间?0, ?上单调递减 3? ? ?π ? C.? ,0?为其图像的一个对称中心 ?6 ? D.最小正周期为π 解析

π? π? ? ? 函数 y=tan?2x- ?是非奇非偶函数,A 错误;在区间?0, ?上单调递增,B 错误;最小 3? 3? ? ?

π π π π? ? ?π ? 正周期为 2 ,D 错误.∵当 x= 6 时,tan?2× - ?=0,∴? ,0?为其图像的一个对称中心, 6 3? ? ?6 ? 故选 C.
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答案

C

二、填空题 π ?? 1 3 ? ? 6.(2016· 宝鸡调研)函数 y=2sin x+ 2 cos x?x∈?0, ??的单调递增区间是________. 2 ?? ? ? 解析 1 3 ? π? ∵y=2sin x+ 2 cos x=sin?x+ ?, 3? ?

π π π 由 2kπ- 2 ≤x+ 3 ≤2kπ+ 2 (k∈Z), 5π π 解得 2kπ- 6 ≤x≤2kπ+ 6 (k∈Z). 5π π? ? ?(k∈Z), ∴函数的增区间为?2kπ- , 2 k π+ 6 6? ? π? π? ? ? 又 x∈?0, ?,∴单调增区间为?0, ?. 2? 6? ? ? 答案 π? ? ?0, ? 6? ? 1 cos x-2的定义域为________.

7.函数 y=lg(sin x)+

解析

sin x>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ?

sin x>0, ?2kπ<x<π+2kπ(k∈Z), ? ? ? ? π 即? 解得 1 π cos x≥2, - +2kπ≤x≤ 3 +2kπ(k∈Z), ? ? ? ? 3 π ∴2kπ<x≤ 3 +2kπ(k∈Z), ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤
? ? ? ? ? ? π ?. + 2 k π, k ∈ Z 3 ? ?

答案

π ? ? ?2kπ , +2kπ ?(k∈Z) 3 ? ?

8.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为________. 解析 ? 1?2 5 y=sin2x+sin x-1,令 t=sin x,t∈[-1,1],则有 y=t2+t-1=?t+2? -4,画出函数图 ? ?

像如图所示,从图像可以看出,

第3页

1 当 t=-2及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1, ? 5 ? 可得 y∈?-4,1?. ? ? 答案 ? 5 ? ?-4,1? ? ?

三、解答题 9.(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? 解 π? ? (1)因为 f(x)=sin2 x+cos2 x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π =π . 2

所以函数 f(x)的最小正周期为 T=

π? ? (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? π ?π 5π ? π? ? 当 x∈?0, ?时,2x+ 4 ∈? , ?, 2 4 ? ? ? ?4 ?π 5π ? 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图像知, 4 ? ?4 π π π 当 2x+ 4 = 2 ,即 x= 8 时,f(x)取最大值 2+1; π 5π π 当 2x+ 4 = 4 ,即 x= 2 时,f(x)取最小值 0. π? ? 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2? ? 6cos4x+5sin2x-4 10.已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域. cos 2x 解 π 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ + 2 ,k∈Z,

第4页

kπ π 解得 x≠ 2 + 4 ,k∈Z, 所以 f(x)的定义域为
? ? kπ ?x|x∈R,且x≠ 2 ? ? ? ? π + 4 ,k∈Z?. ? ?

因为 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)= 6cos4(-x)+5sin2(-x)-4 cos(-2x)

6cos4x+5sin2x-4 = =f(x).所以 f(x)是偶函数, cos 2x kπ π 当 x≠ 2 + 4 ,k∈Z 时, f(x)= 6cos4 x+5sin2 x-4 cos 2x

6cos4 x+5-5cos2x-4 = 2cos2x-1 (2cos2x-1)(3cos2x-1) = =3cos2x-1. 2cos2x-1
? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2,或2<y≤2?. ? ?

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) π? ? ?π π ? 11.若函数 f(x)=sin ω x (ω>0)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减,则 ω 等于 3? 2? ? ?3 ( 2 A.3 解析 ) 3 B.2 C.2 D.3

∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,

π π ∴当 0≤ωx≤ 2 ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2ω π 3π π 3π 当 2 ≤ωx≤ 2 ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2ω 2ω π? ? 由 f(x)=sin ωx (ω>0)在?0, ?上单调递增, 3? ?
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π π 3 ?π π? 在? , ?上单调递减知, = 3 ,∴ω=2. 2? 2ω ?3 答案 B

? π? ? π ? ? 1 ? 12.(2016· 九江质检)已知函数 f(x)=sin?x+ ?,其中 x∈?- ,a?,若 f(x)的值域是?-2,1?,则实 6? ? ? ? ? 3 ? 数 a 的取值范围是( π? ? A.?0, ? 3? ? ?π 2π ? C.? , ? 3 ? ?2 解析 ) ?π π ? B.? , ? 2? ?3 ?π ? D.? ,π ? ?3 ?

π π π π 若- 3 ≤x≤a,则- 6 ≤x+ 6 ≤a+ 6 ,

π π π 7π 1 ? π? ∵当 x+ 6 =- 6 或 x+ 6 = 6 时,sin?x+ ?=-2, 6? ? π π 7π π ?π ? ? 1 ? ∴要使 f(x)的值域是?-2,1?,则有 2 ≤a+ 6 ≤ 6 , 3 ≤a≤π,即 a 的取值范围是? ,π?. ? ? 3 ? ? 答案 D

13.(2015· 天津卷)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0),x∈R.若函数 f(x)在区间(-ω,ω )内单调 递增,且函数 y=f(x)的图像关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________. 解析 π? ? f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin?ωx+ ?,因为 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函 4? ?

π 数图像关于直线 x=ω 对称,所以 f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+ 4 =2kπ+ 2π

ω π π 2 π 2 π 2 π , k ∈ Z , 所以 ω = + 2 k π, k ∈ Z . 又 ω - ( - ω ) ≤ , 即 ω ≤ , 即 ω = , 所以 ω = 2 4 2 2 4 2 .
答案 π 2

πx ?π x π ? 14.(2016· 北京东城区调研)设函数 f(x)=sin? - ?-2cos2 8 +1. 4 6 ? ? (1)求 f(x)的最小正周期. 4? ? (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈?0,3?时,y=g(x)的最大值. ? ? 解 πx π πx π πx (1)f(x)=sin 4 cos 6 -cos 4 sin 6 -cos 4
第6页

πx 3 πx 3 ?π x π ? = 2 sin 4 -2cos 4 = 3sin? - ?, 3? ? 4 故 f(x)的最小正周期为 T= 2π =8. π 4

(2)法一 在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)), 它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上, π? ?π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin? (2-x)- ? 3? ?4 ?π π x π ? ?π x π ? = 3sin? - - ?= 3cos? + ?. 2 4 3 3? ? ? ? 4 π π x π 2π 4 当 0≤x≤3时, 3 ≤ 4 + 3 ≤ 3 , 4? ? 因此 y=g(x)在区间?0,3?上的最大值为 ? ? π 3 g(x)max= 3cos 3 = 2 . 法二 4? ? ?2 ? 区间?0,3?关于 x=1 的对称区间为?3,2?, ? ? ? ?

且 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 4? ? 故 y=g(x)在?0,3?上的最大值为 ? ? ?2 ? y=f(x)在?3,2?上的最大值. ? ? ?π x π ? 由(1)知 f(x)= 3sin? - ?, 3? ? 4 π πx π π 2 当3≤x≤2 时,- 6 ≤ 4 - 3 ≤ 6 . 4? ? 因此 y=g(x)在?0,3?上的最大值为 ? ? π 3 g(x)max= 3sin 6 = 2 .

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