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培正中学2018届高一上学期10月段考(数学)


培正中学 2018 届高一上学期 10 月段考 数 学
(满分:150 分;考试时间:120 分钟) 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的). 1. 已知 A={0,1,2},B={0,1},则下列关系不正确的是( A. A∩B=B B.?AB ? B C.A∪B ? A ) D.B ? ? A

2.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取值 是( ) A.1 C.-1, 1 3.函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 4.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. f ( x) ? x , g ( x) ? 1 的定义域为( x+3 ) B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1] ( B. ) B. 0,1 D.-1,0,1

? x ?2

y ?| x |, y ? 3 x3
2 2

x2 ? 1 C. f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ?1
5
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D. f ( x) ? x ? 2x ?1, f (t ) ? t ? 2t ?1 )

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已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f ( x ? 1) 的定义域是( A
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[0, 5]

B

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[?1, 4]

C

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[3 ,4]
)

D

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[?3 ,2]

1?-1.5 6.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=? ?2? ,则( A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3
2

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 )

7. 函数 f ( x ) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4]上递减,则 a 的取值集合是( A.[-3,+∞] C.(-∞,5] B.(-∞,-3] D.[3,+∞)

1

8.函数 y=5

-|x|

的图象是(

)

9.函数 f ( x) ? ( ) A. (1, ??) C. (??, 0)

1 2

1? x 2

的单调递增区间为(

) B. (0, ??) D. (?1,1) ) D. 26

10.已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10, 那么 f (2) ? ( A. ? 26 B. ? 10 C.10

11.已知 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式 f ( x ) ? 的解集是( A. ? x 0 ? x ? )

1 2

? ?

5? ? 2?

B. ? x ?

? ?

3 ? ? x ? 0? 2 ? 3 5? , 或0 ? x ? ? 2 2?
? f ( x), f ( x) ? K 若 ? K , f ( x) ? K
)

C. ? x ?

? ?

3 5? ? x ? 0, 或0 ? x ? ? 2 2?

D. ? x x ? ?

? ?

12. 设函数

f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

, 对于给定的正数 K, 定义函数 f K ( x) ? ?

对于函数 f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

定义域内的任意 x ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则( B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

A.K 的最小值为 1 C.K 的最小值为 2 2

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、 填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? x 2 ? 1,x ? 0 ? ? 2 x,x ? 0

13.已知函数 f ( x) ? ?

,则 f (2)=

;若 f ( x0 ) ? 8, 则x0 ?



14. 已知 f (

x ?1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) 的解析式为

.

15.函数 f ( x) ? a

? x ?1

? 3(a ? 0, 且a ? 1) 的图象一定过定点__________ .

2

16.对于函数 f ( x) ? 2x 定义域中任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 有如下结论: (1) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 )?f ( x2 ) (3)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 其中正确命题的序号是______________. 2 2 三.解答题:(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
(4) 17.(本题满分 10 分) 已知集合 A ? { x 3 ? x ? 7} ,

B ? { x 2 ? x ? 10}, C ? { x 5 ? a ? x ? a}

(1)求 A ? B,(CR A) ? B ; (2)若 C ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围.

18. (12 分,每小题各 6 分) (1)已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,求函数 f(x)的解析式.

(2)已知 x+y=12,xy=9 且 x<y,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

1

1

的值.

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R) (1)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式 写成分段函数的形式,然后画出函数图像 (草图) ,并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集.

3

mx2+2 5 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)= . 3 3x+n (1)求实数 m 和 n 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-2,-1]上的最值.

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ? 4x ? 2x ?1. (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

22.(本题满分 12 分)

对于函数 f ?x? ? ax ? ?b ? 1?x ? b ? 2, ?a ? 0? ,若存在实数 x0 ,使
2

f ?x0 ? = x0 成立,则称 x0 为 f ?x ? 的不动点.
⑴当 a ? 2, b ? ?2 时,求 f ?x ? 的不动点; (2)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (?2,3) 内有两个不同的不动点,求实数 b 的取值范围; (3)若对于任意实数 b ,函数 f ?x ? 恒有两个不相同的不动点,求实数 a 的取值范围.

4

数学参考答案
1---6: B.D.A
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D

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A.D.

7—12: B. D B. D. D 15. (1, 4)

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C.

13. -4;-3

14. f ( x) ? x2 ?1( x ? 1)

16. (2)(3)(4)

17.(本题满分 12 分)

16.解: (1) A ? B ? {x 2 ? x ? 10} ? C R A ? {x x ? 3或x ? 7} ? (C R A) ? B ? {x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ( 2)由(1)知A ? B ? {x 2 ? x ? 10} 1?当C ? ?时,满足C ? (A ? B), 此时5 ? a ? a, a ? 2?当C ? ?时,要C ? (A ? B), ?5 ? a ? a 5 ? 则?5 ? a ? 2, 则 ? a ? 3 2 ?a ? 10 ? 综上, {a a ? 3}为所求
18. (12 分,每小题各 6 分) (1)当 x<0,-x>0,∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2x+1.又 f(x)(x∈R)是奇函数, ∴f(-0)=-f(0),即 f(0)=0. 2x-1,x>0, ? ? ∴所求函数的解析式为 f(x)=?0,x=0, ? ?2x+1,x<0.

5 2

1 1 1 1 1 x -y ?x -y ?2 ?x+y?-2?xy? 2 2 2 2 2 (2)解 = = .① 1 1 1 1 1 1 x-y x +y ?x +y ? ? x -y ? 2 2 2 2 2 2 ∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4× 9=108. 又∵x<y,∴x-y=-6 3.③ 1 1 1 x -y 12-2× 9 2 2 2 3 将②③代入①,得 = =- . 1 1 3 -6 3 x +y 2 2
5

19. (本题满分 12 分) 解: (1)依题可得: f ( x) 的定义域为 R

f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ?1|? f ( x)

? f ( x) 是偶函数

……………………4 分

( x ? ?1) ? ?2 x (2) f ( x) ? ? 2 (?1 ? x ? 1) ? ? 2x ( x ? 1) ?

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??) ……9 分 (3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2} ………12 分

19. (本小题满分 12 分) (1)证明:设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0,
? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x ) 在 ?1,??? 上是减函数。
(2)? ?3,5? ? ?1,??? ,? f ( x ) 在 ?3,5? 上是减函数, ……10 分 ……12 分 ……8 分

? f ( x) max ? f (3) ? 2, f ( x) min ? f (5) ? 1.5,
20.(本小题满分 12 分) 解
2 2

(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

mx +2 mx +2 mx2+2 ∴ =- = . -3x+n 3x+n -3x-n 比较得 n=-n,n=0. 4m+2 5 5 又 f(2)= ,∴ = ,解得 m=2. 3 6 3 因此,实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.

6

2x2+2 2x 2 (2)由(1)知 f(x)= = + . 3x 3 3x 任取 x1,x2∈[-2,-1],且 x1<x2, 1 ? 2 x1x2-1 2 则 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)? ?1-x1x2?=3(x1-x2)· x1x2 . 3 ∵-2≤x1<x2≤-1 时, ∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在[-2,-1]上为增函数, 4 5 因此 f(x)max=f(-1)=- ,f(x)min=f(-2)=- . 3 3

21.(本题满分 12 分)
x x x 2 x 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2(2 ) ? 2 ? 1,

令 t ? 2 x , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] , 故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?
2 2

1 8

1 4

9 1 , t ? [ ,1] , 8 8

故值域为 [ ?

9 ,0 ] 8

…………………6 分

x 2 x (2) 关于 x 的方程 2a(2 ) ? 2 ? 1 ? 0 有解,等价于方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有
2

解 .记 g ( x) ? 2ax ? x ? 1
2

当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a 所以, a ? 0
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? ……………12 分 22.(本题满分 12 分) (1)当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x2-x-4 ∴ 由 f(x)=x 得 x2-x-2=0, ∴ x=-1 或 x=2. ∴ f(x)的不动点为-1,2. …………………… 2 分

7

(2) 当 a=2 时,f(x)=2x2+(b+1)x+b-2, 由题意得 f(x)=x 在(-2,3)内有两个不同的不动点, 即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)内的两个不相等的实数根. 设 g(x)=2x2+bx+b-2,

? g (?2) ? 8 ? 2b ? b ? 2 ? 0 ? b?6 ? g (3) ? 18 ? 3b ? b ? 2 ? 0 ? b ? ?4 ? ? ∴ 只须满足 ? ∴ b ? ?2?? ?3 ? ?? 12 ? b ? 8 4 ? ? ? b?4 b 2 ? 8(b ? 2) ? 0 ?
∴ -4<b<4 或 4<b<6 ……………… 8 分

(3)由题意得:对于任意实数 b,方程 ax2+bx+b-2=0 总有两个不相等的实数解. ∴

a?0 ? ∴ b2-4ab+8a>0 对 b∈R 恒成立. ? 2 ?? ? b ? 4a(b ? 2) ? 0
∴ 0<a<2 …………………… 12 分

∴16a2-32a<0

8


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