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单调性最大小值教案


中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

第 1.3.1 节 单调性与最大(小)值
?研习教材重难点
研习点 1. 增函数与减函数
1.增函数与减函数的概念(重点) 一般地,设函数

f ( x) 的定义域为 I

y

:

f ( x)

增函数的定义 : 如果对于定义域内某个区间

D 上的任意两个自变量的值

f ( x1 ) x1
图3

f ( x2 ) x2

x1, x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是
增函数(increasing function). 如右图所示. 减函数的定义:如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,

x

y

f ( x)

f ( x1 )



x1 ? x2 时 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是减函 数
从增函数的定义可以看出, 函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间

f ( x2 ) x2
x

x1
图4

(decreasing function).如右图所示. 而言的 . 有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数 . 例如函数 ,当 x ∈[0,+ ? )时是增函数,当 x ∈(- ? ,0)时是减函数. y ? x 2 (如右图) 函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间” “属于” “任意” “都有”这几个关键词语.另外, 在某个区间上的两个自变量 x1 , x2 与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的,而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式:设 x1 , x2 (1)

f ?x1 ? ? f ?x2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ? a, b? 是减函数; ? 0 ? f ?x ?在 ? a, b? 是增函数; x1 ? x2 x1 ? x2

? ?a, b? ,那么

(2)

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 0 ? f ( x) 在 ? a, b? 是减函数.
f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,

2.单调性与单调区间(难点) 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 这一区间叫做函数

f ( x) 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上, 增函数的图象

是上升的,减函数的图象是下降的. 在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面: ⑴函数的单调区间是其定义域的子集;增函数、减函数、单调函数是对整个 定义域而言.有的函数不是单调函数, 但在某个区间上可以有单调性. 因此说函数的 单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念. ⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证 函数是增函数(或减函数) ,例如右图中,在 x1 , x 2 那样的特定位置上,虽然使得 然此图象表示的函数不是一个单调函数; 74

y

f ( x)

f ( x1 ) x1
图5

f ( x2 ) x2
x

f ( x1 ) > f ( x2 ) ,但显

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

⑶除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上述的定义,只要将上述定义中的 “

f ( x1 ) < f ( x2 ) 或 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,
⑷定义的内涵与外延:

”改为“

f ( x1 ) ? f ( x2 )



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,”即可;

内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况; 外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相 对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数. 思考:函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数 数

f ( x) 在区间 D 上单调”与“区间 D 是函

f ( x) 的单调区间”这两句话,你认为一样吗?
单调区间的书写要求 由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函

【辨析·比较】

数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成 闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函 数

f ( x) 在其定义内的两个区间 A 、 B 上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为 f ( x) 在区间
1 x
在区间 ( ??,0) 上是减函数,在区间 (0, ??) 上也是减函数, ,有

A ? B 上是增(减)函数.例如 f ( x) ?
但不能说它在定义域

(? ?, 0 ? ) (0 ?, ? 上)是 减 函 数 . 事 实 上 , 若 取 x1 ? ?1 ? 1 ? x2 ( 1) ,这是不符合减函数的定义的 .

f (? 1)? ? 1 ? ? 1f

典例 1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.

【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图(1)中 f(x)的单
调区间有

?? 3,1? ,(-1,0), ?0,1? , ?1,3? .其中在 ?? 3,1? 和 ?0,1? 上是减函数,在 (-1,0)和 ?1,3? 上是增函数.
? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? , ? 和 ? , ? ,其中在 ? ? , ? 和 ? , ? 上都是减函数. ? 2 2? ?2 2 ? ? 2 2? ?2 2 ?

图(2)中 g(x)的单调区间有 ? ?

以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性,是一种比较粗略的方法,那么,对于任 给函数,我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢? 3.单调性的判断与证明(难点) 用定义法判断或证明函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的方法步骤:

75

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版 (1) 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; (2) 作差 f(x1)-f(x2); (3)变形(通常是因式分解和配方) ; (4) 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; (5) 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). 【梳理·总结】 (1)函数 判断函数的单调性常用的结论

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的单调性相反; y ? f ( x) 恒为正或恒有负时, y ?

(2)当函数

1 与函数 y ? f ( x ) 的单调性相反; f ( x)

(3)函数 (4)当 C 时,

y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? C ( C 为常数)的单调性相同;
? 0 ( C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ? f ( x) 的单调性相同;当 C ? 0 ( C 为常数)

y ? f ( x) 与 y ? C ? f ( x) 的单调性相反; f ( x) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 仍是增(减)函数;

(5)函数 (6)若 数;若

f ( x) ? 0, g( x) ? 0 且 f ( x) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 也是增(减)函

f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 也是减(增)函数; f ( x) ?0
, 若

(7)设

f ( x) 在定义域上是增函数,则 n f ( x) 、k ? f ( x)(k ? 0) 、 f n ( x)(n ? 1)

都是增函数,而

1 是减函数. f ( x)

典例 2. 讨论函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的单调性.
【研析】定义域 {x|?1≤x≤1} 则 在[?1,1]上任取 x1,x2 且 x1<x2
2

f ( x1 ) ? 1 ? x1

2

,

f ( x2 ) ? 1 ? x2
2

从而

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? x12 ? 1 ? x2
? x2
∴ x2

=

2 (1 ? x12 ) ? (1 ? x 2 ) 2 1 ? x12 ? 1 ? x 2

=

x22 ? x12 1 ? x12 ? 1 ? x22

?

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 1 ? x12 ? 1 ? x22

∵ x1

? x1 ? 0
则 则

另外,恒有

2 1 ? x12 ? 1 ? x 2 ?0

∴若?1≤x1<x2≤0 则 x1+x2<0 若 x1<x2≤1 则 x1+x2>0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x1 ) > f ( x2 )

∴ 在[?1,0]上 f(x)为增函数,在[0,1]上为减函数.

76

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版 4.复合函数的单调性 ①关于复合函数的单调性. 如果函数 若

y ? f ?u ? , u ? g ? x ? 在区间 D 上定义,

y ? f ?u ? 为增函数, u ? g ? x ? 为增函数,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 为增函数; 若 y ? f ? u ? 为增函数, u ? g ? x ? 为减函数,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 为减函数; y ? f ?u ? 为减函数, u ? g ? x ? 为减函数,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 为增函数; 若 y ? f ? u ? 为减函数, u ? g ? x ? 为增函数,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 为减函数.
若 ②关于分段函数的单调性. 若函数

? ? g ? x ? , x ? ? a, b ? , g ? x ? 在区间 ? a, b? 上是增函数, h ? x ? 在区间 ? c, d ? 上是增 f ? x? ? ? ? ? h ? x ? , x ? ? c, d ?

函数,则

f ? x ? 在区间 ?a, b? ? ?c, d ? 上不一定是增函数,若使得 f ? x ? 在区间 ?a, b? ? ?c, d ? 上一定是增 g ?b? ? h ? c ?
从图象上看出函数的单调性

函数,需补充条件: 【梳理·总结】

利用图像判断函数的单调性时,如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的,那么就说 函数在这一区间上是增函数, 这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左 向右是下降的,那么就说函数在这一区间上是减函数,这个区间就是它的单调递减区间.

典例 3.已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性
【研析】该题考察了复合函数的单调性.要记住“同向增、异向减”的规则.函数的定义域为 R,分解基本函 数为 g 显然 g 而t

? f (t ) ? ?t 2 ? 2x ? 8 和 t ? 2 ? t 2 . ? f (t ) ? ?t 2 ? 2x ? 8 在 (1,??) 上是单调递减的, (??,1) 上单调递增;

? 2 ? x 2 在 (??,0), (0,??) 上分别是单调递增和单调递减的.且 2 ? x 2 ? 1 ? x ? ?1 , (? ?, ?1) , ( 0 , ; 1)单 调 减 区 间 为

根据复合函数的单调性的规则:所以函数的单调增区间为

(1,? ? ) , ? ( 1, .0 )
研习点 2.函数的最大值与最小值 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ① 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ① 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ② 存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. ③ 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值. 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 注意:○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M). ○ 77

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版 【探究·发现】 判断函数的最大(小)值的方法

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b).

典例 4.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x 2 ? (2 ? 6a) x ? 3a 2 的最小值
【研析】? 函数

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wxckt@126.com

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y ? f ( x) 图象的对称轴为方程为 x ? 3a ? 1, 从而
?

1 2 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递增区间, f ( x)min ? f (0) ? 3a ; 3 2 2 当 3a ? 1 ? 1 ,即 a ? 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x)min ? f (1) ? 3a ? 6a ? 3 ; 3 1 2 2 当 0 ? 3a ? 1 ? 1 ,即 ? a ? 时, f ( x)min ? f (3a ?1) ? ?6a ? 6a ?1 3 3
当 3a ? 1 ? 0 ,即 a
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从而

f ( x) min

? 3a 2 ? ? ? 3a 2 ? 6a ? 3 ??6a 2 ? 6a ? 1 ?

1 ) 3 2 (a ? ) 3 1 2 ( ?a? ) 3 3 (a ?

?探究解题新思路
▲ 基础思维探究 题型一 单调性的判断 典例 1.判断下列函数的单调性:
(1)

y

y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ;

(2)

y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .

6
3
?2 O 1

【研析】(1)

? 3 x ? 3, ( x ? 1) ? y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ? x ? 5, ( ?2 ? x ? 1) ,其图象如右图所示: ??3 x ? 3, ( x ? ?2) ?

x

由函数的图象可知,函数在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.

y

(2)

?? x 2 ? 2 x ? 3 ,( x ? 0) y ? ? x ? 2 | x | ?3 ? ? 2 ,其图象如右图所示: ? ? x ? 2 x ? 3 ,( x ? 0)
2

由函数的图象可知,函数在 (??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数, 在 [?1,0] 、 [1, ??) 上是减函数.

?1 O

1

x

【总结与点评】研究函数的单调性的方法主要有图象法、定义法以及利用已知函数的单调性,数形结合始
终是研究函数性质及其应用的重要思想.本题中所给出的两个小题的函数式中均含有绝对值, 可以采用分零 点讨论去绝对值的方法,将函数转化为分段函数,再画出函数的图象,通过函数的图象观察函数的单调性.

【拓展·变式】
78

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

1.判断函数 y ?| ? x2 ? 2 x ? 3| 的单调性.

题型二 单调性的证明 典例 2. 利用单调性的定义证明函数 f ( x) ? ? x3 ? 1在(-∞,+∞)上是减函数.
【研析】证法一:对任意 x1 , x2 ? (??, ??)且x1

? x2

1 3 2 3 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? x2 ] 2 4 1 3 2 ? 0 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? x2 ) 2 ? x2 2 4


f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 是减函数. ? x2

证法二: 对任意 x1 , x2 ? (??, ??)且x1

3 3 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1x2 ? x2 )

当 x1 x2 当 x1 x2

2 ? 0 时,有 x12 ? x1x2 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? x1x2 ? 0 2 ? 0 时,有 x12 ? x1x2 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 是减函数.
证法三: 对任意 x1 , x2 ? (??, ??)且x1

? x2

3 3 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )2 ? x1x2

当 x1 ∴

? x2 ? 0 时,有 ( x1 ? x2 )2 ? x1x2 ? 0 ,又? x1 ? x2 ? 0 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 在(-∞,0]上是减函数.
f ( x) 在[0,+∞)上是减函数

同理, ∴

f ( x) 在(-∞,+∞)是减函数.
用定义证明函数单调性时,应注意证明的四个步骤是:⑴设 x1 , x2 是给定区间内的任意两

反思领悟

个值,且 x1 < x2 ;⑵作差

f ( x1 ) - f ( x2 ) ,并将此差式变形(要注意变形的程度) ;⑶判断 f ( x1 ) -

f ( x2 ) 的正负(要注意说理的充分性) ;⑷根据 f ( x1 ) - f ( x2 ) 的符号确定其增减性..
【拓展·变式】

79

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

2. 讨论函数 f(x)=

ax (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性 x ?1
2

题型三 求函数的单调区间 典例 3. 设函数 f(x)=
单调性. 【 研 析 】 在 定 义 域 内 任 取 x1 < x2 , ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) =

x?a (a>b>0) ,求 f(x)的单调区间,判断并证明 f(x)在其单调区间上的 x?b

x1 ? a x2 ? a ( x1 ? a)( x2 ? b) ? ( x1 ? b)( x2 ? a) (b ? a)( x1 ? x2 ) , ? ? ? x2 ? b x 2 ? b ( x1 ? b)( x2 ? b) ( x1 ? b)( x2 ? b)
∵a>b>0,∴b-a<0,x1-x2<0, 只有当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时函数才单调. 当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时 f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-b,+∞)上是单调减函数,在(-∞,-b)上是单调减函数.

反思领悟

本小题主要考查了函数单调性的基本知识.对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数

的单调区间. 解决本类问题的关键在于利用单调性的定义,在验证函数的单调性的同时加以判断.

【拓展·变式】 3. 讨论函数 f(x)=

ax ? 1 1 (a≠ )在(-2,+∞)上的单调性,并加以证明. 2 x?2

题型四 复合函数的单调性 典例 4.求函数 y ?
2

? x 2 ? 2 x ? 3 的单调区间.
2

【研析】由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得函数的定义域为 [?3,1]. 设 u ? ? x ? 2 x ? 3 ,

? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ,从而当 x ?[?3, ?1] 时,函数 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 是增函数,而函
数y?

x 为单调增函数,故 [?3, ?1] 是函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调增区间;
x ?[? 1,1]时 , 函数 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 是减函数 , 而函数 y ? x 为单调增函数 , 故

当 从而当

[?1,1] 是函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间.
思维指南
本题说明了判断复合函数单调性的方法,即若

f ( x) 为增函数,则复合函数 f ( g ( x)) 的单调

性与 g ( x ) 的单调性一致 ;若

f ( x) 为减函数 ,则复合函数 f ( g ( x)) 的单调性与 g ( x) 的单调性相反 ;即

“同增异减”.另外,在判断复合函数的单调性时,一定要求注意函数的定义域.

【拓展·变式】
4.求函数

f ( x) ? x 2 ? x ? 6 的单调区间.

题型五 函数单调性的应用
80

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

典例 5.设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, 求 f(x)的最小值.
【研析】①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x-

1 2 3 ) +a+ . 2 4

若 a≤

1 ,则函数 f(x)在 (??, a ) 上单调递减,从而,函数 f(x)在 (??, a) 上的最小值为 f(a)=a2+1. 2 1 1 3 1 ,则函数 f(x)在 ( ??, a ] 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a). 2 2 4 2 1 2 3 ) -a+ . 2 4

若 a>

②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+

若 a≤-

1 1 3 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞ ) 上的最小值为 f(- )= -a,且 f(- )≤f(a). 2 2 4 2 1 ) , 则函数 f(x) 在 [ a, ?? 2
上单调递增, 从而, 函数 f(x) 在 [ a,

若 a>-

?? )

上的最小值为 f(a) =a2+1.

综上,当 a≤-

1 3 1 1 时,函数 f(x)的最小值是 -a.当- <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1. 2 4 2 2

当 a>

1 3 时,函数 f(x)的最小值是 a+ . 2 4

思维指南 本题为利用函数的单调性研究函数的值域或最值问题 .分析二次函数的性质,经常通过数形结
合方法来进行处理,应首先找到函数的对称轴,借且于函数的图象进行解决. 函数的单调性是函数的重要性 质之一,应用它可以比较函数值的大小,求函数的值域、最值;应用它可研究方程根的情况;也可求函数 解析式中参数的范围;绘函数的图像时,也经常应用它.

【拓展·变式】
5. 已 知 函 数

f ( x)

对 任 意

x, y ? R 总



f ( x) ?

f( y ? )

f( ?x , 且 y )当 x?0



2 f ( x) ? 0, f (1) ? ? . 3
(1)求证:函数 (2)求

f ( x) 是 R 上的减函数;

f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值和最小值.

▲ 综合思维探究 题型一 学科内综合题 典例 6. 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+

1 ,讨论 F (x) f ( x)

81

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版 的单调性,并证明你的结论. 【研析】这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决. 在 R 上任取 x1、x2,设 x1<x2,∴f(x2)= f(x1),

F( x x )? [ f (2x ? ) 2 )? F ( 1

1 1 1 ? ] [f 1 ( x ?) ? ] f[ 2 x( ? ) f 1 x( ? ) ] [1 f(x f(1 x) f ( 1x ) f (2x ) 2 )
1 <0, ∴F (x2)< F(x1). f ( x1 ) f ( x2 )

],

∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(10)=1,∴当 x<10 时 0< f(x)<1, 而当 x>10 时 f(x)>1; ① 若 x1<x2<5,则 0<f(x1)<f(x2)<1, ∴0< f(x1)f(x2)<1,∴ 1 ?

②若 x2 >x1>5,则 f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴ 1 ?

1 >0, ∴ F(x2)> F (x1). f ( x1 ) f ( x2 )

综上,F (x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数.

方法探究

此题涉及抽象函数的有关证明 ,要求较高,此外在 F(x1)-F(x2)的变形中涉及到增减项的技巧 ,

它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值 ,必须构造出 f(x1) 与 f(x2)的差和 g(x1)与 g(x2)的 差. 此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 该题属于判断抽象函数的单调性.抽象函数问题 是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.

【拓展·变式】 6. 对任意 a∈[-4,5],不等式 x2-6x<a(x-2)恒成立,求 x 的取值范围. 题型二 实际应用题 典例 7. 在经济学中,函数 f ( x) 的边际函数为 Mf ( x) ,定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,
2 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置。 生产 x 台的收入函数为 R( x) ? 3000x ? 20x (单

位元) ,其成本函数为 C ( x) ? 500x ? 4000(单位元) ,利润的等于收入与成本之差. (1)求出利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) ; (2)求出的利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) 是否具有相同的最大值; (3)你认为本题中边际利润函数 Mp( x) 最大值的实际意义. 【研析】(1) p( x) ? R( x) ? C( x) ? ?20x 2 ? 2500x ? 4000 , x ?[1,100], x ? N .

Mp( x) ? p( x ? 1) ? p( x) ? [?20( x ? 1) 2 ? 2500 ( x ? 1) ? 4000 ] ? (?20x 2 ? 2500x ? 4000 ),
? 2480 ? 40 x , x ? [1,100], x ? N ;
(2) p( x) ? ?20( x ? 125 ) 2 ? 74125 , x ? [1,100 ], x ? N ,故当 x ? 62 或 63 时, p( x) max ? 74120(元) 。
2

因为 Mp( x) ? 2480 ? 40 x 为减函数,当 x

? 1 时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.

(3)边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 思维指南 解决函数应用题应遵循读题、分析、列式、求解、下结论五个步骤,应该注意的是,在解决
函数应用题时,一定要符合问题的实际背景,也就是说,在列出函数式时,应注意研究函数的定义域.

【拓展·变式】
7. 某租凭公司拥有汽车 100 辆,当每辆汽车的月租金为 3000 元时,可全部租出;当每辆汽车的月租金增加`50 元时,未出租的汽车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的汽车每辆每月需维护费 50 元.

82

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

(1)当每辆汽车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆汽车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?

▲ 创新思维探究 题型一 开放探究题 典例 8.设函数 f(x)= x 2 ? 1 ? ax (a>0),求 a 的取值范围,使函数 f(x)在区间[0,+?)上是单调函数.
【研析】a? 1 时,

f ( x2 ) ? f ( x1) ? x22 ? 1 ? x12 ? 1 ? a( x2 ? x1) ? ( x2 ? x1)(

x2 ? x1 x ? 1 ? x12 ? 1
2 2

? a) ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,f(x)递减;
0<a<1 时,存在两点 x1=0,x2=2a/(1?a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性.

【拓展·变式】
8. 已知函数

f ( x) ? x 2 ? 1 ,且 g ( x) ? f [ f ( x)] , G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问,是否存在实数

? ,使得 G ( x) 在 (??,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.
题型二 课标创新题 典例 9. f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f(
(1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( 【研析】(1)令

x y

)=f(x)-f(y).

y ? x ? 0 ,从而得 f(1)= f ( x) ? f ( x) ? 0 ; 36 ) ? f (36) ? f (6) ,? f (36) ? 2 f (6) ? 2 . (2)∵ f (6) ? f ( 6

1 x

)<2.

因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

x?3? 0 ? ? x?3? 0 ? ? 1 1 1 ? ? 所以原不等式 f(x+3)-( )<f(36) ? ? ?0 ?0 ?? x x x ? ? 2 2 ? ? ? f ( x ? 3x) ? f (36) ? x ? 3x ? 36 ? 3 ? 3 17 解得 0 ? x ? . 2
从而原不等式的解集为 (0,

?3 ? 3 17 ). 2

理念链接 本题为利用函数的单调性解不等式的问题 ,函数的单调性是解 (证明)不等式问题的重要依据,
但在求解时,不要忽视函数的定义域.

【拓展·变式】
9. 设

f ( x) 是 定 义 在 (0 , +∞) 上 的 增 函 数 , 且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y); 若 f (2) ? 1 , 解 不 等 式

83

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2.
▲ 高考思维探究 高考导航 函数的单调性是函数性质中的重点, 高考命题的热点, 是高中数学中最活跃的部分,需在平
时学习过程中认真仔细地把握.

典例 10.(2008 年江西卷理)若函数 y ? f ( x) 的值域为 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?
是( )

1 2

1 的值域 f ( x)

A. [

1 ,3] 2

B. [2,

10 ] 3

C. [

5 10 , ] 2 3

D. [3, 的 值 域

【 研 析 】 令

t ? f ( x)

, 由 于 函 数

y ? f ( x)

10 ] 3 1 为 [ ,3] 2

, 即

1 ?t ?3 2

, 从 而

y ? f ( x) ?
y?t?

1 1 1 1 ? t ? ,所以当 t ? [ ,1] 时, y ? t ? 为关于 t 的减函数;而当 t ?[1,3] 时, 2 t f ( x) t

1 10 为关于 t 的增函数; 所以当 t ? 1 时, y 有最小值为 2, 而又因为当 t ? 3 时, y 有最大值为 , t 3

从而应选 B.

品思感悟 本题主 要考查 了复 合函数单 调性的判 断 , 在解 题的过程 中 , 巧妙地将 F ( x) 转 化 成关于

t ? f ( x) 的函数,把 f ( x) 看作自变量,将原题化为熟悉的问题,体现了转化与化归思想的应用.
【拓展·变式】
10.(2008 年山东维坊模拟)已知 ( ) B. (0,1) C. (?1,0) ? (0,1) D. (??, ?1) ? (1, ??)

f ( x) 为定义在 R 上的增函数,则满足 f (| 1 |) ? f (1) 的实数 x 的取值范围
x

A. (?1,1)

?开拓学习新视野
▲课标知识拓展
杰弗里·朱——杰出的华裔计算机科学家 在 1980 年一次向 32 位科学家授予计算机先驱奖以后,1981 年的计算机先驱奖只授予一位科学家,那 就是美籍华裔科学家杰弗里·朱(Jeffrey Chuan Chu). 杰弗里·朱 1919 年 7 月 14 日生于天津.1942 年他在明尼苏达大学(University of Minnesota)取得电 气工程学士学位以后进入宾夕法尼亚大学, 于 1945 年取得硕士学位.他是以半工半读方式完成学业的.朱在 攻读硕士学位期间,宾夕法尼亚大学的莫尔学院刚好启动 ENIAC 计划,聪明好学的朱被选中进入 ENIAC 的 研制小组,这个黄皮肤、黑眼睛的中国青年在 ENIAC 的线路设计和实验调试中发挥了重要作用.1945 年, 朱和埃克特还曾尝试用磁性材料实现存储器,但由于 ENIAC 任务的紧张,未能坚持下去,而被另一位中国 人王安(Wang An)和 MIT 的福雷斯特(J.W.Forrester)先拔头筹. 在莫尔学院,朱除了从头到尾参加了 ENIAC 的开发工作以外,也参加了 EDVAC 的讨论、酝酿和方案设 计工作.1949 年他转入著名的阿尔贡国立实验室 ANL(Argonne National Laboratory),负责计算机的开发.

84

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版 这个计算机工程于 1950 年初正式启动,1951 年就完工并投入使用,充分显示了朱的组织领导才能和技术 功底.同年, 朱联合联合研制组的成果就是除了完成 AVIDAC 计算机以外, 也完成了另一台计算机 ORACLE(Oak Ridge Automatic Computer and Logic Engine).这为学术界树立了团结协作的一个成功榜样,同时也反映 了朱的远见卓识.ORACLE 完成于 1953 年夏,同年 10 月安装于橡树岭开始投入运行.这两台机器的体系结构 与冯·诺伊曼设计的 IAS 相似,但工程设计有所不同,速度比 IAS 快,存储器比 IAS 大一倍,配有磁带机 作辅存.它们在美国原子能和新型武器的研究中都发挥过重要作用. 朱后来还参与过洛斯阿拉莫斯的 MANIAC 等计算机的研制.1959 年他离开阿尔贡以后,先后在一些著名 的计算机公司如 Sperry Rand、Univac、Honeywell、Wang Lab 等任职.20 世纪 80 年代,他创办了 Sanders Technology Inc.,任主席兼首席执行官. 朱在祖国大陆有几个职务:中国社会科学院名誉院士,国家计委顾问,上海布涌大学的兼职教授和 校董事会的名誉董事. 朱是 1996 年 2 月参加莫尔学院隆重纪念 ENIAC 诞生 50 周年活动的原研制组尚健在的少数几个成员 之一.发言中,他认为最值得钦佩的是最早使用计算机的人而不是最早设计计算机的人 (We should honor the early users rather than the early designer) ,因为如同航空业的发展是因为林德伯格 (Charles Lindbergh,1902—1974)独自驾机在 1927 年 5 月 21 日进行了首次穿越大西洋的不间断飞行,而不是因为 赖特兄弟(指 Wilbur Wright,1867—1912 和 Orville Wright,1871—1948)发明了飞机.这又一次显示了 朱的远见卓识和谦逊态度.

?优化考题新演练
一、理解与应用 1. 在区间 ( ??,0) 上为增函数的是 A. C. ( )

y ?1

2.

y ? ?x 2 ? 2x ? 1 已知 y ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是(
B. a ? ?2 C. a ? ? 6 D. a ? ?6

x ?2 1? x 2 D. y ? 1 ? x
B.

y?



A. a ? ?2
3. 函数

f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 4. (2008 年维坊模拟)已知 f ( x ) 在实数集上是减函数, 若a ? b ? 0, 则下列正确的是 ( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)
C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)]
二、拓展与创新 5. 函数 y= 6. 若函数

)



D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

x 2 ? 2x ? 3 的递减区间是 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ??0, ??? 上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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三、综合与探究 7. 函数

f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 .
判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.
85

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

8. 设 a

? 0 , f ( x) ?

ex a ? a ex

是 R 上的函数, 证明

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

答案与解析研读 【拓展·变式】 1. 解:先作出函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,由于绝对值的作用,
把 x 轴下方的图象沿 x 轴对折到 x 轴的上方,所得函数的图象如右图所示: 由函数的图象可知,函数在 (??, ?1] 、 [1,3] 上是减函数, 在 [?1,1] 、 [3, ??) 上是增函数.

y

2. 解:设-1<x1<x2<1,
则 f(x1)-f(x2)=

?1 O
ax 2

3x
.

ax1 x1 ? 1
2



x2 ? 1

2

=

ax1 x 2 ? ax1 ? ax2 x1 ? ax2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

2

2

=

a( x 2 ? x1 )( x1 x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0, (x12-1) (x22-1)>0.又 a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

3. 解:设 x1、x2 为区间(-2,+∞)上的任意两个值,且 x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=

ax1 ? 1 ax 2 ? 1 (ax1 ? 1)( x 2 ? 2) ? (ax2 ? 1)( x1 ? 2) ( x 2 ? x1 )(1 ? 2a ) ? = = . x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

∵x1∈(-2,+∞) ,x2∈(-2,+∞)且 x1<x2,∴x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0. ∴当 1-2a>0,即 a< 当 1-2a<0,即 a> 4. 解:由 x 令u
2

1 时,f(x1)>f(x2) ,该函数为减函数; 2

1 时,f(x1)<f(x2) ,该函数为增函数. 2

? x ? 6 ? 0 ,得 x ? ?3 或 x ? 2 ,所以 f ( x) 的定义域为 {x | x ? ?3 或 x ? 2}.

1 25 ? x2 ? x ? 6 ,则原函数化为 y ? u ,而 u ? x 2 ? x ? 6 ? ( x ? ) 2 ? . 所以: 2 4

(1) 当 x ? (??, ?3] 时 , 函数 u 为关于

x 的减函数,而 y 为关于 u 的增函数,? y 为关于 x 的减函数,区间

(??, ?3] 为函数 f ( x) 的单调递减区间.
(2) 当 x ? [2, ??) 时 , 函数 u 为关于

x 的增函数, 而 y 为关于 u 的增函数,? y 为关于 x 的增函数, 区间

[2, ?? ) 为函数 f ( x) 的单调递增区间.
综上知, 函数

f ( x) 的单调递减区间是 (??, ?3] ,单调递增区间是 [2, ??). ? y ? 0 ,则 f (0) ? 0 ;再令 y ? ? x ,则应有 f (? x) ? ? f ( x) ,从而在 R 上任取 x1 ? x2 ,

5. (1)证明:令 x 则

f ( x1) ? f ( x2 ) ? f ( x1) ? f (?x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) .
86

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0. 又? x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
由定义可知函数 (2) ? 函 数 上,

f ( x) 在 R 上的减函数.
上 的减 函 数 , ?

f ( x) 是 R

f ( x) 在 区间 [?3,3] 上 也是 减函 数 . 从而 可知 在区 间 [?3,3]

f (?3) 最大, f (3) 最小.

2 ? f (3) ? f (2) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 3 f (1) ? 3 ? (? ) ? ?2, ? f (?3) ? ? f (3) ? 2. 3


f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值为 2,最小值为-2.

6. 解: 这是一题含参不等式的恒成立问题,习惯上是利用实根分布或变量分离来求参数的取值范围.而此地 却是已知 a 的范围求 x 的取值范围,根据常规思路把此不等式整理变形为关于 a 的一元一次不等式:a((x -2))- x2+6x>0 在 a ? [-4,5]上恒成立,由于一次函数是单调的,若令 f(x)= a(x-2)- x2+6x ;只需 f(- 4)>0 且 f(5)>0 即可,所以 x∈(1,4). 7. 解:(1) 当每辆汽车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:

3600 ? 3000 ? 12 辆,这时能租出 88 辆车. 50

f ( x) ? (100 ?

x ? 3000 x ? 3000 )( x ? 150) ? ? 50 50 50

??

x2 1 ? 162 x ? 21000 ? ? ( x ? 4050)2 ? 307050 50 50

所以当月租金定为每辆每月 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大为 307050 元. 8. 解: g ( x)

? f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ? x 4 ? 2x 2 ? 2 .

G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 ? ?x 2 ? ? ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? (2 ? ? )

G( x1 ) ? G( x2 ) ? [ x1 ? (2 ? ? ) x1 ? (2 ? ? )] ? [ x2 ? (2 ? ?) x2 ? (2 ? ?)]
4 2 4 2

? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )[x1 ? x2 ? (2 ? ? )]
2 2

有题设当 x1 则4??

? x2 ? ?1时, ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ? (2 ? ?) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ,
2 2

? 0, ? ? 4

当 ? 1 ? x1 ? x2 故?

? 0 时, ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , x12 ? x2 2 ? (2 ? ?) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ,

则4 ? ? 9. 令 x

? 0, ? ? 4

?4.

? y ? 2 得 f (4) ? 2 f (2) ? 2.

? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f [ x( x ? 3)] ? f ( x2 ? 3x) ,? f ( x2 ? 3x) ? f (4).

87

中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版

又因为

? x 2 ? 3x ? 4 ? f ( x) 是定义在(0,+∞)上的增函数,所以应有 ? x ? 0 解得 3 ? x ? 4 . ? x?3? 0 ?

故 x 的取值范围是 (3,4].

10. C 解:? 或0 ?

f ( x) 为定义在 R 上的增函数且 f (| 1 |) ? f (1) ,从而有 |
x

?x?0 1 |? 1 ,即 ? 解得 ?1 ? x ? 0 x | x | ? 1 ?

x ? 1 ,从而选 C.

优化考题新演练
1.B 数. 提示:A 为常函数, C 在 (??, ?1) 上是增函数,在 (?1,0) 上是减函数,而 D 在区间 ( ??,0) 上为减函

2.B
3.D

提示:对称轴 x ? 2 ? a, 2 ? a ? 4, a ? ?2 .

4. D 提示:? a ? b ? 0,? a ? ?b, b ? ?a 且

f ( x) 在实数集上是减函数,从而知

f (a) ? f (?b), f (b) ? f (?a) ,从而选 D.
5. (??,?3) 提示:借助复合函数的单调性加以判断. 6.

a ? 0且b ? 0

提示:画出图象,考虑开口向上向下和左右平移 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即可得 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;同理有

7. 解:减函数令

a ? x1 ? x2 ? b

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 即 可 得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ; 从 而 有

f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )

? f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x2 ) ? f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) *
显然 故函数

f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) ? 0 从而*式 * ? 0 ,

f ( x) g ( x) 为减函数.

8.证明: 设 0 ?

x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e x1 ? e x2 ?
1 ? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) 1 ? e x2 ? x1 e x2 ? x1


1 1 ? x2 x1 e e

? (e x2 ? e x1 )(
由 x1 ∴

e x1 ? x2

? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 0, ex2 ? x1 ?1 ? 0 , 1 ? e x2 ? x1 ? 0 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

88



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