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3.1.1方程的根与函数的零点



方程的根与函数的零点教学设计
课题 方程的根与函数的零点 课型 概念课 1)知识方法目标 能够结合二次函数的图象判断一元二次函数跟的存在性及根的个数; 理解函数的零点与方程根的联系; 2)能力目标

教学 目标

教学 重点 难点

1) 重点: 零点的定义及等价关系 2)难点: 函数零点存在的条件

教法与学法

引导与探究 教学过程 备注

一、方程的根与函数图象的关系 图象与 x 轴交点 问题 1:下列二次函数的图象与 x 轴交点和相应方 的横坐标就是相 程的根有何关系? 应方程的根 2 2 (1) x -2x-3=0 与 y=x -2x-3 2 2 (2) x -2x+1=0 与 y=x -2x+1 2 2 (3) x -2x+3=0 与 y=x -2x+3 2 引申:二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)的图象与 x 轴交 1. 课题引入 (创设情景) 点和相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何 关系? 判别式 △ =b2 -4ac 方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)的 根 函数 y= ax2 +bx
x1 0 x2 x

△>0

△=0

△<0

两个不相等 的实数根 x1 、x2

有两个相 等的实数 根 x1 = x 2

没有实 数根

y

y

y

0

x

0

x1

x

+c(a≠0)

的图象 函数的 图象与 x 轴的 交点 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交 点

能否把二次函数和一元二次方程的关系推广到一 般函数与方程的关系上? 推广:函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点和相应的方 程 f(x)=0 的根有何关系呢? 结论:函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 就是方程 f(x)=0 的实数根。 二、零点的定义 对于函数 y=f(x) ,把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点 思考:零点是不是点? 零点指的是一个实数,它就是方程 f(x)=0 的实数 根。 思考:方程 f(x)=0 的根;函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标;函数 y=f(x)的零点三者有何关 系呢? 等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根

2.问题探究 1)难点突破 2)探究方式 3)探究步骤 4)高潮设计

?
函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点

?
函数 y=f(x)有零点

练习 1、 利用函数图象判断下列方程有没有实数根, 有几个实数根。 2 (1)-x +3x+5=0 2 (2)x =4x-4

分析: (2)方法 1:利用函数 f(x)=x2-4x+4 的图象 方法 2: 利用函数 f(x)=x2 和函数 g(x)=4x-4 的图象, 原方程的根就是函数 f(x)=x2 和函数 g(x)=4x-4 的图 象交点的横坐标。

2 练习 2、求函数 y=x +4x-5 的零点。 分析:即求方程 x2+4x-5=0 的实数根 或者函数 y=x2+4x-5 与 x 轴交点的横坐标。

3 变式:求函数 y=x +4x-1 的零点的个数。 这个函数的零点不能用公式法求出, 图象也不是我 们所熟悉的, 那我们要如何入手?下面就介绍一个 判断零点存在性的方法。 三、零点的存在性定理 2 首先,先观察下二次函数 f(x)=x -2x-3 图象 1. 发现在区间(-2,1)上有零点 f(-2)= ,f(1) = , f(-2) f(1) 0(填“>”或“<”) 2. 发现在区间(2,4)上有零点 f(2)= ,f(4) = , f(2) f(4) 0(填“>”或“<”) 得出:f(a)f(b)<0,那么在(a,b)内有零点 问题 2:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上满足 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内一定有 零点吗? (让学生任意画几个函数图象,观察图象)

a

b

发现如果函数图象不连续,就不成立 从而得出: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b),使得 f(c) =0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 至此,判断零点的方法有如下几种: (1)定义法:解方程 f(x)=0,

得出函数的零点。 (2)图象法: 画出 y= f(x)的图象, 其图象与 x 轴交点 的横坐标。 (3)定理法:函数零点存在性定理。 3 练习 3、f(x)=x +x-1 在下列哪个区间上有零点( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

2 练习 4、若函数 y=x -2x-3 在区间[a,b]上的图象是 2 连续不断的曲线,且函数 y=x -2x-3 在(a,b)内有 零点,则 f(a)· f(b)的值( ) A、大于 0 B、小于 0 C、无法判断 D、等于 0 结论:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线: f(a)· f(b)<0 ? 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点; 四、例题分析 例 1 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数。 解法一: 定理的运用, 寻找函数值符号变化的规律, 确定零点存在的区间 解法二:定义的运用,求方程的根。 将 研 究 方 程 f(x)=0 的根的问 令 f(x)=0 ,则有 ln x ? ?2 x ? 6 , 题转化为研究函 数 y=g(x)和函数 若再令 g ? x ? ? ln x , h ? x ? ? ?2 x ? 6 ,则上述 y=h(x) 图 象 交 点 等式就可以转化为求这两个函数的交点的横坐标。 的问题 3.练习提高 作业本:3.1.1 方程的根与函数的零点 4.作业设计

注意:反之不成 立



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