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第2章第2.3.3直线与平面垂直的性质



第二章

空间点、直线、平面之间的位置关系

第 2.3.3 节 直线与平面垂直的性质
【本节教材分析】 (一)三维目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直的性质; (2)能运用直线与平面垂直的性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型

的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 3、情态与价值 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理 能力。 (二)教学重点 直线与平面垂直的性质定理及其应用. (三)教学难点 直线与平面垂直的性质定理及其应用 (四)教学建议 空间中直线与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多, 而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为 线线关系, 而且将垂直关系转化为平行关系, 因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中 有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上,讨论直线与平面 垂直的性质定理的应用. 【新课导入设计】 导入一:(情境导入) 大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它 们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直地面,那么它们之间的位置关 系如何呢? 导入二:(事例导入) 如图 1, 长方体 ABCD—A′B′C′D′中, 棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD, 它们之间具有什么位置关系?

图1 【课堂结构】 提出问题
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①回忆空间两直线平行的定义. ②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系? ③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用? 讨论结果:①如果两条直线没有公共点,我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给 出的,其证明方法多用反证法. ②如图 3,同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是:相交、平行、异面.

图3 ③如图 4,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?

图4 图5 棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD,它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为: 垂直于同一个平面的两条直线平行,也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为:

a ? ?? ? ? b∥a. b ???

直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为:如图 5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系, 而且揭示了平行与垂直之间的内 在联系. 【例题讲解】 例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知 a⊥α,b⊥α. 求证:a∥b.

图6 证明: (反证法)如图 6,假定 a 与 b 不平行,且 b∩α=O,作直线 b′,使 O∈b′,a∥b′. 直线 b′与直线 b 确定平面 β,设 α∩β=c,则 O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b ? β,b′ ? β, a∥b′显然不可能,因此 b∥a. 例 2 如图 7,已知 α∩β=l,EA⊥α 于点 A,EB⊥β 于点 B,a ? α,a⊥AB. 求证:a∥l.
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图7 证明:

EA ? ? , EB ? ? ? l ? EA? ?? ? ? l⊥平面 EAB. ? ?? ?l ? l ? EB?

又∵a ? α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面 EAB. ∴a∥l. 例 3 如右图所示,已知异面直线 a、b 与 AB 垂直相交于 A、B,且 a、b 分别垂直于平面 α、 β,α∩β=c,求证:AB∥c.

【分析】 由题目可获取以下主要信息: ①AB⊥a,AB⊥b,a、b 异面; ②a⊥α,b⊥β. 解答本题可先利用线⊥面的性质得线⊥线,再证平行. 【证明】 过点 B 引直线 a′∥a,a′与 b 确定的平面设为 γ,因为 AB⊥b,a′∥a,AB⊥a, 所以 AB⊥a′, 又 a′∩b=B,所以 AB⊥γ. 因为 b⊥β,c?β,所以 b⊥c① 因为 a⊥α,c?α,所以 a⊥c,又 a′∥a,所以 a′⊥c② 由①②可得 c⊥γ,又 AB⊥γ,所以 AB∥c. 【规律方法】 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般依赖于判定定理和性质定理,有时 候也可以放到特征几何体(如正方体,长方体,正棱柱等)中,判断它们的位置关系. 变式 如图,正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,EF 与异面直线 AC、A1D 都垂直相交.求证:EF∥BD1.

证明:如图所示,连接 AB1、B1C、BD, ∵DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,
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∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDD1, 又 BD1?平面 BDD1,∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C,又 AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又 A1D∥B1C. ∴EF⊥B1C. 又 AC∩B1C=C,∴EF⊥平面 AB1C, ∴EF∥BD1. 【课堂小结】 1.利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解决证明垂直问题、平行 问题、求角问题、求距离问题等. 2.转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. 【作业】 课本习题 2.3 B 组 1、2.

【当堂检测】

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