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高一数学三角函数的图象


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一.课题:三角函数的图象 二.教学目标:了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函 数和函数 y = A sin(ω x + ? ) 的简图, 理解 A, ω , ? 的物理意义, 掌握由函数 y = sin x 三.教学重点:函数 y = sin x 的图象到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象的变换方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.三角函数线:正弦线、余弦线、正切线的作法; 2.函数 y = sin x 的图象到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象的两种主要途径. (二)主要方法: 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y = A sin(ω x + ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取三个平衡 点,一个最高、一个最低点; 2.给出图象求 y = A sin(ω x + ? ) + B 的解析式的难点在于 ω , ? 的确定,本质为待定系数法,基本 方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪 个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期 T ,进而确定 ω . (三)例题分析: 例 1. (1)将函数 y = 5sin( ?3 x ) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 解析式是 的图象到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象的变换原理.

π
3

,得到图象对应 (

3π 3 x 7π 3 x π ? ) ( B ) y = 5sin( ? ) (C ) y = 5sin( ? 6 x) 2 2 10 2 6 (2)若函数 f ( x ) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图 π 1 象沿 x 轴向右平移 个 单 位 , 向 下 平 移 3 个 单 位 , 恰 好 得 到 y = sin x 的 图 象 , 则 2 2 1 π 1 f ( x) = sin(2 x + ) + 3 = cos 2 x + 3 . 2 2 2 ( A) y = 5sin(
(3)先将函数 y = sin 2 x 的图象向右平移

A ) 3x ( D) y = 5cos 2

π
3

个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的对称变换,

则所得函数图象对应解析式为 y = sin( ?2 x ?

2π ). 3

例 2.已知函数 f ( x ) = 2 cos x sin( x +

π
3

) ? 3 sin 2 x + sin x cos x + 2 ( x ∈ R ) ,该函数的图象可

由 y = sin x ( x ∈ R )的图象经过怎样的变换得到? 解: f ( x ) = 2 cos x ( sin x +

1 3 cos x) ? 3 cos 2 x + sin x cos x + 2 2 2 = 2 sin x cos x + 3(cos 2 x ? sin 2 x) + 2
= sin 2 x + 3 cos 2 x + 2 = 2sin(2 x + ) + 2 3

π

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①由 y = sin x 的图象向左平移

π
3

个单位得 y = sin( x +

π
3

) 图象,

②再保持图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的

1 π 得 y = sin(2 x + ) 图象, 2 3

③再保持图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得 y = 2sin(2 x + ④最后将所得图象向上平移 2 个单位得 y = 2sin(2 x + 说明: (1)本题的关键在于化简得到 y = 2sin(2 x + 移,则要向左平移

π

π
3

3

) 图象,

) + 2 的图象.

π
3

) + 2 的形式; (2)若在水平方向先伸缩再平

π
6

个单位了.

例 3.函数 y = sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? > 0 )个单位,得到的图象关于直线 x = 的最小值为

π
6

对称,则 ? (

5π ( A) 12

11π ( B) 6

11π (C ) 12

A )

( D ) 以上都不对

略解:平移后解析式为 y = sin(2 x ? 2? ) ,图象关于 x = ∴? = ?

π

k π 5π π ? (k ∈Z ) ,∴当 k = ?1 时, ? 的最小值为 . 2 12 12 T 3π π π = ? (? ) = ,∴ T = π ,∴ ω = 2 , 2 8 8 2

6

对称,∴ 2 ?

π

? 2? = kπ + ( k ∈ Z ) , 6 2

π

例 4.已知函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0,| ? |< π )的一段图象如下图所示,求函数的解析式. 解:由图得 A = 2,

∴ y = 2sin(2 x + ? ) ,又∵图象经过点 ( ? ∴ 2 = 2 sin( ?

π

2

+ ? ) ,∴ ? ? = 2kπ + ( k ∈ Z ) , 4 4 2 3π 3π ∴ ? = 2 kπ + ,∴函数解析式为 y = 2sin(2 x + ). 4 4

π

π

π

8

, 2) ,

?

π 0
8 ?2

3π 8

(四)巩固练习: 1.如果函数 y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于直线 x = ?

π
8

对称,则 a =

?1



2.若函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, 0 < ? < 2π )的最小值为 ?2 ,周期为 的图象过点 (0, ? 2) ,求此函数解析式. y = 2sin(3 x + (

5π 7π ) 或 y = 2sin(3 x + )) 4 4

2π ,且它 3

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 29,智能训练 8,9,11,12,14.

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