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宁夏银川一中2014届高三年级第四次月考数学(理)试题



银川一中 2014 届高三年级第四次月考 数 学 试 卷(理) 命题人:尹向阳、尹秀香 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1 ? i ) 2 (i 为虚数单位)的虚部为 1? i A.1 B. -1 C. ? 1 D. 0 2.设集合 A ? ?x | 2 x ?

1 ? 3?,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ? A. (1 , 2) B. [1 , 2] C. [1 , 2) D. (1 , 2] 3.设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a1 ? 2 , a 5 ? 3a 3 ,则 S 9 ? A. ?72 B. ?54 C. 54 D. 72 3 2 4.设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? ax ? ( a ? 3) x 的导函数为 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是偶函数, 则曲线: y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2)) 处
1.复数 z

?

的切线方程为 A. C.

9 x ? y ? 16 ? 0 6 x ? y ? 12 ? 0

B. D.

9 x ? y ? 16 ? 0 6 x ? y ? 12 ? 0

5.已知幂函数

n 的值是 A. 110

?1? y ? f ( x) 的图像过点 ?4,2 ? ,令 a n ? f (n ? 1) ? f (n) , n ? N ? ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n =10 时, ? an ?
B. 120 C. 130 D. 140

6.如图,在矩形

BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, ABCD 中, AB ? 2 ,

点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? A.

2 ,则 AE ? BF 的值是
C. 0 D. 1

2

B. 2

7.已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

的部分图象如右图所示,为了得到 g ( x ) 则只需将 A.

? sin 2 x 的图象,

π ) 2

π 个长度单位 12 π C. D. 向左平移 个长度单位 12 1 8.若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x?(0, )成立,则 a 的取值范围是 2 5 A. a ? 0 B. a ? ?2 C. a ? ? 2
B. 向右平移 9.若 cos ?

f ( x) 的图象 π 向右平移 个长度单位 6 π 向左平移 个长度单位 6

D. a

? ?3

??

4 , ? 是第三象限的角,则 5
B.

1 ? tan 1 ? tan

?

?

2

等于

2

1 A. ? 2
10.函数

1 2

C. -2

D. 2

y ? ln

e x ? e? x e x ? e? x

的图象大致为

A. 11.若函数 A.4

B.

C.

D.

1 f ( x) ? ? e ax (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是 b B. 2 2 C.2 D. 2

12. 定义域为 R 的偶函数

f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 若函数 y ? f ( x ) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,则 a 的取值范围是
A. (0,

时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据 要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 1 ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?
14.已知数列 15.设函数

.

?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ,某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最大角为_____________.

x ( x ? 0) ,观察: x?2 x x x , , f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )) ? ,…… f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? x?2 3x ? 4 7x ? 8 ? 根据以上事实,由归纳推理可得:当 n ? N 且n ? 2 时, f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) ? . 3 S a 16.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( ?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且 n ? 2 ? n ? 1 2 n n (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和),则 f ( a 5 ) ? f ( a 6 ) ? . f ( x) ?
三、解答题 :本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 12 分)

?a n ?是 公 差 不 ( 1 ) 求数列 ?a n ? 的通项公式;
已 知 数 列 ( 2 )设 bn

为 0 的等差数列, a1

? 2 ,且 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列.

?

2 n.(a n ? 2)

, 求 数 列

?bn ?的前 n 项和 S

n

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a (1)求函数

1 ? (sin x , ? 1) , b ? ( 3 cos x , ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2
f ( x) 的最小正周期 T ;
? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 ,求A, b 和 ?ABC 的面积

(2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A,B,C 的对边, 其中A为锐角, a S. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列

?a n ?是等差数列, a 2 ? 6 , a5 ? 18 ,数列 ?bn ?的前 n 项和是 Tn ,且 Tn ? 1 bn
2
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

? 1.

2014 届高三第四次月考数学(理)参考答案 (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) 一、选择题 1-5 BDBAB (文科)1-5 BDBDA 二、填空题 13. 4 14. 6-10 AACAC 6-10 AAACC 11-12 DB 11-12 AB

2? 3

15.

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

16.

3

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设数列

?a n ?的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列,得
解得 d

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ? ,
当d

? 2 ,或 d ? ?1 ,……………………2 分

? ?1 时, a3 ? 0 ,与 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列矛盾,舍去.
………………………4 分 …………6 分

?d ? 2 ,

? a n ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n, 即数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 2n.
(2) bn

(28)

?

2 1 1 1 2 = ,………………9 分 ? ? ? n ? (a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 n .…………12 分 ? ? ??? ? ? 1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

(29) (30) (31)

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?
18. (本小题满分 12 分) .解: (Ⅰ)

(32)

…………………………………………2 分

(33)

……………4 分

(34)

因为

,所以

…………………………………………6 分

(35)

(Ⅱ)

(36)

因为

,所以



……………8 分

(37) (38)

则 则

,所以 …………………………………………10 分

,即

(39) (40)

从而 19. (本小题满分 12 分)

………………………12 分

(41)

解:(Ⅰ)设

的公差为

,则:





(42) (43)

∵ ∴



,∴ .







(44)

(Ⅱ)当

时,

,由

,得



(45)



时,





(46)



,即

. ∴



(47)



是以

为首项,

为公比的等比数列.

(48)

(Ⅲ)由(2)可知:



(49)





(50)





(51)





(52)



(53)

(54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)

∴ 20. (本小题满分 12 分) 解 f′(x)=ex-a, (1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0, 即 f(x)在 R 上递增, 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a. 因此 f(x)的递增区间是[ln a,+∞). (2)由 f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. - 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3. 3 当 a=e 时 f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,3)上为减函数, ∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上单调递减.

(69) (70) (71)

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当a

? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?
1 0 极小

1 x ?1 ? x x
(72) (73) (74) (75) (76)



x f ?( x) f ( x)
(77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)

(0,1)


(1, ??)
+

所以

f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1.

(Ⅱ) h( x )

? x?

1? a ? a ln x , x

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? ? ? x2 x x2 x2 ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a ) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. h?( x) ? 1 ?
(III)在 在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x ) ? 0 ,即 1? a 函数 h( x) ? x ? ? a ln x 在 ?1, e ? 上的最小值小于零. x
0

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即

由(Ⅱ)可知 ①即 1 ? a

? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递减,
e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e

所以 h( x ) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 a ? ; e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在

?1, e? 上单调递增,

所以 h( x ) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x ) 最小值为 h(1 ? a ) , 因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? 此时, h(1 ? a ) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

a ln(1 ? a ) ? a h(1 ? a ) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 故
e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

22. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)因为

AB 为切线, AE 为割线, AB 2 ? AD ? AE ,
AD ? AE ? AC 2 .

又因为 AC ? AB ,所以 所以

AD AC ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , ? AC AE 所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,
所以 FG //

AC .
(Ⅱ)由题意可得: G , E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE , ?CFG ? ?CED . ? ?CGF ∽ ?CDE . DE CD . ? ? GF CG

(111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125)

又? CG

? 1, CD ? 4 ,?

23. (本小题满分 10 分) 即 x2+(y- 5)2=5.

DE GF

=4.

解:(1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0,

(2)法一:将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3- 2 2 2 t) +( t)2= 5, 2 2

即 t2-3 2t+4=0. 由于 Δ=(3 2)2-4×4= 2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根, ? ?t1+t2=3 2, 所以? ?t1· t2=4. ? 又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. (2)法二:因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5, 直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.
2 2 ? ?x +?y- 5? =5, ? 由 ?y=-x+3+ 5. ?

得 x2-3x+2=0.

(126) (127) (128) (129) (130) (131) (132)

?x=1, ? 解得:? ?y=2+ 5. ?

?x=2, ? 或 ? ?y=1+ 5. ?

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2. 24. (本小题满分 10 分) (1)[-2,2] (2)证明:? a, b ? R, 且a ? b

? 1, ? ab ? (

a?b 2 1 ) ? 2 4

(133)

1 1 1 1 (a ? b) 2 ? 2ab ? (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? 4 ? (a 2 ? b 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? 4 ? [(a ? b) 2 ? 2ab] ? a b a b a 2b 2
1 ? 2ab 1 ? 4 ? (1 ? 2ab) ? 2 2 ? 4 ? (1 ? 2 ? ) ? 4 a b 1? 2? 1 4 ? 25 ,当且仅当 a ? b ? 1 时不等式取等号 1 2 2 ( )2 4

(134)

(135) (136) (137) (3) 记 c n 求数列

?a n ?的通项公式;

(2) 求证:数列

?bn ?是等比数列; ? a n ? bn ,求 ?c n ?的前 n 项和 S n .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=ex-ax-1. (1)求 f (x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f (x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. 21. (本小题共12分) 已知函数

f ( x) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ?

(1)若 a (3)若在

? 1 ,求函数 f ( x) 的极值;

1? a , (a ? R). x

(2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h ( x ) 的单调区间;

?1, e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂 黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A B 是 0 的一条切线,切点为 B ,直线 A D E , CFD,CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (2)若 CG=1,CD=4,求

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

DE GF

的值.

?x=3- 22t, 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)求不等式 (2)已知 a

(t 为参数).在极坐标系(与直

角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;

x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?1 的解集;

1 1 25 . , b ? R ? , a ? b ? 1 ,求证: (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? a b 2



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