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宁夏银川一中2013届高三第一次模拟考试文科数学含参考答案


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。
参考公式:

线性回归方程系数公式 b ?

?

n

xi yi ? n x y x i2 ? n x
?2

? ?

i ?1 n

?
i ?1

? , a ? y ? b x , y ? bx ? a

?

?

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 CU(A∪B)等于 A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z= A. ? i
?1

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 2?i
C.

3 5

B. ?

3 5

4 i 5

D.

4 5

3.已知 a ? (e ,1) ,则函数 y ? a| x| ? | log a x | 的零点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

x y 4. 已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△MF1F2,若 a b 边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1

2

2

5. 阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14, 则判断框内可填写 A.i<6? C.i<5? B.i<8? D.i<7?

?x π? ? π ? 6. 将函数 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移, 则平移后所得图象的解析式为 ? ?3 6? ? 4 ? ?x π ? A. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ?x π? B. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4?

?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

?x π? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4?

7. 若某空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积是 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. 2

8. 已知点 O 是边长为 1 的等边 △ ABC 的中心,则 A.

?OA ? OB?? ?OA ? OC ?等于
D. ?

1 9

B. ?

1 9

C. ?

3 6

1 6

9. 某变量 x 与 y 的数据关系如下: x y 则 y 对 x 的线性回归方程为 A. y =x-1 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177

^

B. y =x+1

^

1 ^ ^ C. y =88+ x D. y =176 2

10.在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y=0, 则 , △AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是 A.95 B.91 C.88 D.75

2 11. 已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、 B ,则 AB 等

于 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

12.已知数列 {an } 的通项公式为 a ? 2n ? 1 (n ? N ? ),现将该数列 {an } 的各项排列成如图 的三角数阵:记 M ?a, b ? 表示该数阵中第 a 行的第 b 个数,则数阵中的偶数 2013 对应 于 第1行 第2行 第3行 第4行 3 7 1 5 9 11

13 15 17 19

………………………………… A. M (46,16) B. M (46, 25) C. M (45,17) D. M (45,18)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 函数 y ? log 0.3
4
( ? x2 ?2 x )

的单调递增区间是 。

14. 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程 15. 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ),| a ? b |? 则 cos(? ? ? ) 的值为 16.设函数 f(x)=x围是 .

?

?

? ?

2 5 5

.

1 ,对任意 x ? [1,??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 x
.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值。
2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 围;

5 ? b 在区间[0,2]上有两个不等实根,求 b 的取值范 2

18. (本题满分 12 分)

某公司生产 A、B 两类产品,每类产品均有一般品和优等品两种,某月的产量如下表: 优等品 一般品 A 100 300 B x 400

按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取 50 个,其中 A 类 20 个。 (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 B 类中抽取一个容量为 6 个的样本,从样本中任意取 2 个, 求至少有一个优等品的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点。
(Ⅰ)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 抛物线 y ?

2 5 ,它的一个顶点恰好是 5

1 2 x 的焦点。 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若

M A ? ?1 AF , M B ? ? 2 BF , 求?1 ? ? 2 的值。
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) 定义在 ? ?1,1? 上, f ( ) ? 1 ,满足 f ( x) ? f ( y ) ? f ? 列 x1 ?

1 2

? x? y ? ? ,且数 ? 1 ? xy ?

2 xn 1 . , xn ?1 ? 2 2 1 ? xn

(Ⅰ)证明: f (x) 在(-1,1)上为奇函数; (Ⅱ)求 f ( xn ) 的表达式; (Ⅲ)是否存在自然数 m,使得对于任意 n ? N ? , 有

1 1 1 m ?8 成立.若存在,求 m 的最小值 ? ? ... ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时

用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明: ?ABE ∽ ?ADC (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角

t ? ?x ? 1? 2 ? (t为参数) . 坐标系,直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? 3 t ? ? 2
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值.

? x? ? 3 x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y? ? y

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 2 x ? a + x ? 3 ? 2 x ? 4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a =1,求 A; (Ⅱ)若 A=R, 求 a 的取值范围。

银川一中届高三第一次模拟数学(文科)试卷参考答答案

一、选择题: 1A,2B,3B,4D,5B,6D,7C,8D,9C, 10B,11C,12C 二、填空题: 13. ?? 1, 0 ? .14. 4 x ? y ? 3 ? 0 15.3/5 . 16.(-?,-1) 三. 解答题: 17.解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 由题意,

1 ? 2x ? x ? a ? ? ? x ? a ? x?a
解得 a ? 1 ………………………………4 分

f ? ? 0? ? 0

(Ⅱ)构造函数 h( x) ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? ? ?

? 5 ? x ? b ? ? x ? ? 0, 2?? ,则 ? 2 ?

h?( x) ?

?4 x 2 ? x ? 5 4 x 2 ? x ? 5 (4 x ? 5)( x ? 1) =?? 2 ? x ? 1? 2 ? x ? 1? 2( x ? 1)
得 x=-5/4,或 x=1 又知 x ? ? 0, 2?

令 h?( x) ? 0

∴ 当 0 ? x ? 1 时,函数 h( x) 单调递增,当 1 ? x ? 2 函数 h( x) 单调递减 方程 f ( x) ? ?

5 2 2 等价于函数 h( x) 在 ? 0,? 上有 x ? b 在区间 ? 0,? 上有两个不同的实根, 2

两个不同的零点,则只需

?h(0) ? ?b ? 0 ? 3 ? ?h(1) ? ln 2 ? 1 ? ? b ? 0 即 2 ? ?h(2) ? ln 3 ? 4 ? 3 ? b ? 0 ?

?b ? 0 ? 1 ? ?b ? ln 2 ? 2 ? ?b ? ln 3 ? 1 ?
1 2
…………………12 分

∴ 所求实数 b 的取值范围是 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

18、解析: (1)由 (2) 法一:列举法

20 50 ,解得 x ? 200 …………………………4 分 = 400 800 ? x

抽取容量为 6 的样本,则其中优等品为 2 个,一般品为 4 个,可设优等品为 A1 , A2 , 一般品为 B1 , B2 , B3 , B4 , 则从 6 个的样本中任抽 2 个的可能有 A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A1 B4 , A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A1 B4 ,

A1 A2 , B1 B2 , B1 B3 , B1 B4 , B2 B3 , B2 B4 , B3 B4 共 15 种,
至少有一个是优等品的可能有 A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A1 B4 , A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A1 B4 ,

A1 A2 共 9 种,
所以至少有一个优等品的概率是 P ?

9 3 ? 15 5

……………………12 分 ∵AD⊥AB, ∠BAD=60°

19.解析: (1)连 BD,四边形 ABCD 菱形,

△ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ 又 BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面 PQB, AD ? 平面 PAD

∴平面 PQB⊥平面 PAD;……………………5 分 (2)当 t ?

1 时, PA // 平面 MQB 3

下面证明,若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,?

AQ AN 1 ? ? BC NC 2

? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN ,? PA // MN
PM AN 1 ? ? PC AC 3
即: PM ?

1 PC 3

1 ? t ? ;……………………12 分 3

x2 y2 20.解析: (1)设椭圆 C 的方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
抛物线方程化为 x =4y,其焦点为(0,1)则椭圆 C 的一个顶点为(0,1) ,即 b=1 由
2

e?

c ? a

a2 ? b2 2 5 ? ,? a 2 ? 5, 2 5 a

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………4 分 5

(2)椭圆 C 的右焦点 F(2,0) , 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), M (0, y 0 ) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为

x2 y ? k ( x ? 2), 代入方程 ? y 2 ? 1 并整理, 5
得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0
2 2 2 2

? x1 ? x 2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x 2 ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

, M A ? ( x1 , y1 ? y 0 ), M B ? ( x 2 , y 2 ? y 0 ), AF ? (2 ? x1 ,? y1 ), BF ? (2 ? x 2 ,? y 2 ), M A ? ?1 AF , M B ? ? 2 BF , ( x1 ? 0, y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ), ( x 2 ? 0, y 2 ? y 0 ) ? ? 2 (2 ? x 2 ,? y 2 ) ? ?1 ? x1 x2 , ?2 ? , 2 ? x1 2 ? x2 x1 x2 2( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ? ? ?10......... 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2
x? y ) ,当 x ? y =0 时,可得 f (0) ? 0 . 1 ? xy

?1 ? ?1 ?
………12 分

21. (1)∵ x. y ? ( ?1.1) 有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 当 x ? 0 时 f (0) ? f ( y ) ? f (

0? y ) ? f ( ? y ) ,∴ f (? y ) ? ? f ( y ) ∴ f ( x) 1? 0 ? y

在 (?1,1) 上为奇函数.…….3 分 (2)∵ f ( xn ?1 ) ? f ?

? 2 xn ? ? x ? (? xn ) ? ? f? n ? = f ? xn ? ? f (? xn ) ? 2 f ( xn ) , 2 ? ? 1 ? xn ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?



f ( xn ? 1) 1 ? 2 ,又 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 ,∴ ? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为 2 f ( xn )

f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n ?1 ? 2n ?1 .………6 分
(3)假设存在自然数 m,则

1 1 1 1 1 1 1 m ?8 ? ? ... ? ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 = 2 ? n ?1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2 2 4
8 ∴ 对 于 n ? N ? 恒 成 立 , ∴ m ? 16 且 n 2

对 于 n ? N ? 恒 成 立 . m ? 16 ?

m ? N .m=16……….12 分
22. 解:证明: (Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB=?ACD , 故 ?ABE ∽ ?ADC …….5 分 (Ⅱ)因为 ?ABE ∽ ?ADC 所以 又S ?
AB AD ,即 AB ? AC ? AD ? AE. ? AE AC

1 1 AB ? AC sin ?BAC , ,且 S ? AD ? AE ,故 AB ? AC sin ?BAC ? AD ? AE. 2 2

则 sin ?BAC ? 1 又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC ? 90? …10 分

23(1) ? : y ? 2 ? 3( x ? 1);圆C : x 2 ? y 2 ? 1 ——————————5 分

(2)曲线 C ' :

x2 ? y2 ? 1 9

令?

? x ? 3cos ? ? x ? 2 3 y ? 3cos ? ? 2 3 sin ? ? y ? sin ?
? 21sin(? ? ? )

? x ? 2 3 y 最小值 ? 21 ——————————10 分

24.解(1)当 x ? -3 时,原不等式化为-3x-2 ? 2x+4, 得 x ? -3, 1 当-3<x ? ,原不等式化为 4-x ? 2x+4,得 3<x ? 0 2 1 当 x> 时,3X+2 ? 2X+4,得 x ? 2 2 综上,A= ?x | x ? 0, x ? 2? …………5 分
(2)当 x ? -2 时, 2 x ? a ? x ? 3 ? 0 ? 2x+4 成立. 当 x>-2 时, 2 x ? a ? x ? 3 = 2 x ? a ? x+3 ? 2x+4. 得 x ? a +1 或 x ?

a ?1 , 3 a ?1 ,得 a ? -2. 3

所以 a +1 ? -2 或 a +1 ?

综上, a 的取值范围为 a ? -2………………10 分



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