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福建省泉州市2016届普通中学高中毕业班3月质量检查文科数学试卷含答案(word版含解析)


准考证号 (在此试卷上答题无效) 保密★启用前

姓名

泉州市 2016 届普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 至 4 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束或,将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

, (1).已知全集 U ? ?x | ?1 ? x ? 3? 集合 A ? x | x 2 ? 3x ? 0 , 则 CU A ?
A. ?x | -1 ? x ? 0? C. B.

?

?

?x | -1 ? x ? 3?

?x | 0 ? x ? 3?

D. ?x | x ? 0 或 x ? 3?

(2).已知复数 z ?

A. 1 ? i (3).不透明袋子中放有大小相同的 5 个球,球上分别标有号码 1,2,3,4,5,若从袋中任取三个球, 则这三个球号码之和为 5 的倍数的概率为 A.

2 ? i, 则 z 的共轭复数为 1- i B. 1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 2 ? 3i

1 10

B.

1 5

C.

2 9

D.

1 4

(4)若直线 y=x-2 过双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1?a ? 0? 的焦点,则此双曲线 C 的渐近线方程为 2 a
C. y ? ?

A. y ? ?

3 x 3

B. y ? ? 3x

1 x 3

D. y ? ?

5 x 5

(5).已知等比数列 ?an ?满足 a1 ? a3 ? a7 ? 22, a5 ? a7 ? a11 ? 88, 则 a7 ? a9 ? a13 ? A.121 B.154 C.176 D.352

(6).下列函数既是偶函数,又在 ?0,?? 上单调递增的是 A. y ? sin x B. y ? tan x C. y ? cos 2 x D. y ? ? cos x

(7)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13 (8).已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 则角 B 的大小为 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0, A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
则 线

(9)P 为曲线 C : x 2 ? 2 py? p ? 0? 上任意一点,O 为坐标原点, 段 PO 的中点 M 的轨迹方程是 A. x 2 ? py?x ? ? 0? C. x 2 ? 4 py?x ? ? 0? B. y 2 ? px? y ? ? 0? D. y 2 ? 4 px? y ? ? 0?

(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的体积是 A. 6 ? B. 7 ? C. 12 ? D. 14 ? (11)已知函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ??? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

?? ? 的部分图像如 2?

图所示,若 tan ? ? 3 ,则 f ? ? ?

? ?

?? ? 的值为 8?
D. -

A. -

3 5

B. -

4 5

C. -

3 2 5

4 2 5

(12) 已知四边形 ABCD 的对角线相交于一点,AC ? 1 ,3 , BD ? ? 3, 1 则 AB ? CD 的取值范围是 A. ?0,2? B. ?0,4? C. ?- 2,0? D. ?- 4,0?

? ?

?

?

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题--第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题--第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?y ? x ? (13)设 x,y 满足 ? x ? y ? 2 , 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
(14)设函数 f ?x ? ? ?

.

?lg?x ? 1?, x ? 0 , 则使得 f ?x ? ? 1 成立的 x 的取值范围是 3 ?? x , x ? 0

.

(15)已知 A,B,C 在球 O 的球面上,AB=1,BC=2, ?ABC ? 60? ,且点 O 到平面 ABC 的距离为 2, 则球 O 的表面积为 .

(16)若定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足: 当 0 ? x ? 2 时,f ?x? ? 2 x ? x 2 , 当 2k ? x ? 2k ? 2 k ? N ? 时, f ?x ? ? 2 f ( x ? 2), 则函数 F ?x ? ? ln x ? f ?x ? 的在区间(0,16)内的零点个数为 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .

?

?

? (17)(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ?中, a1 ? 2, a2 ? 6, 且数列 ?an?1 ? an ? n ? N 是公差为 2

?

?

的等差数列. (Ⅰ)求 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)记数列 {

1 2015 } 的前 n 项和为 Sn ,求满足不等式 S n ? 的 n 的最小值. an 2016

(18)(本小题满分 12 分)在一次文、理科学习倾向的调研中,对高一年段 1000 名学生进行文综、 理综各一次测试(满分均为 300 分).测试后,随机抽取若干名学生成绩,记理综成绩 X ,文综成绩 为 Y , X - Y 为 Z ,将 Z 值分组统计制成下表,并将其中女生的 Z 值分布情况制成频率分布直方图 (如下右图所示).

20? 的男、女生人数; (Ⅰ)若已知直方图中[60,80)频数为 25,试分别估计全体学生中, Z ? ?0,
(Ⅱ)记 Z 的平均数为 Z ,如果 Z ? 60 称为整体具有学科学习倾向,试估计高一年段女生的 Z 值(同 一组中的数据用该组区间中点值作代表),并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向. (19)( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 如 图 所 示 的 直 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1 中 , AC ? 1 ,BC ? 2, AB ? 3,侧 棱 AA 1 ? 1, 点 D,M 分别为 A 1B, B 1C1 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 A1BM ; (Ⅱ)求三棱锥 M - A1BC 的体积 .

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 4? 作圆 O : x 2 ? y 2 ? 20 过点 P?2, ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? , 2 a b

的切线 l ,直线 l 恰好过椭圆 C 的右顶点与上顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若圆 O 上的一点 Q 的切线 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,试确定 ?AOB 的大小,并加以证明. (21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? a?x ? 1? e x ? a , ( 常数 a ? R 且 a ? . ? 0) (Ⅰ)若函 f ?x ? 在 ?0, f ?0?? 处的切线与直线 y ? x 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)若对任意 x ? ?1,??? 都有 f ?x ? ? x 2 ? x, 求 a 的取值范围. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,点 D 是⊙ O 上一点,过点 D 作 ⊙ O 的切线,交 AB 的延长线于点 C ,过点 C 作 AC 的垂线,交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)求证: ?CDE 为等腰三角形; (Ⅱ)若 AD ? 2,

?

?

BC 1 ? ,求⊙ O 的面积. CE 2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos? , (其中 ? 为参数), 以坐标原点 O 为极点, ? y ? sin ?

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .
(Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1 , C2 上的动点,当 AB 取最大值时,求 ?AOB 的面积. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ?x ? ? 5 ; (Ⅱ)若存在 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 ? 2 ? 3,求 a 的取值范围.

泉州市 2016 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准

说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,或受篇幅 限制、或考虑问题还不够周全,遇多种解法时,一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型 的解法.如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 7.C 解析: 第1题 2.C 8.C 3.B 9.A 4.A 10.D 5.C 11.D 6.D 12.C

A ? x x 2 ? 3 x ? 0 ? ( 0 , 3, )故 ?U A = ?x ?1 ? x ? 0?, 选 A. 也可通过选取特殊元素代

?

?

入检验,使用排除法得解. 第 2 题 化简复数 z ?

2 ? i ? 1 ? 2i ,得 z ? 1 ? 2i ,选 C. 1? i

第 3 题 列举基本事件: (1, 2,3) , (1, 2, 4) , (1, 2,5) , (1,3, 4) , (1,3,5) , (1, 4,5) , (2,3, 4) ,

(2,3,5) , (2, 4,5) , (3, 4,5) ;查找满足要求的基本事件: (1, 4,5) , (2,3,5) ;统计基本事件数,根
据古典概型概率计算公式得解. 选 B. 第 4 题 双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )焦点在 x 轴上,直线 y ? x ? 2 与 x 轴交点为 (2, 0) , 2 a
2

故焦点为 (2, 0) , a2 ? 1 ? 2 , a ? 3 . 得双曲线方程后,再求渐近线. 选 A.

第 5 题 整体思想:

a5 ? a7 ? a11 88 ? q4 ? ? 4 , q2 ? 2 ; a7 ? a9 ? a13 ? q2 (a5 ? a7 ? a11 ) a1 ? a3 ? a7 22

? 2 ? 88 ? 176 . 选 C.
第6题

? ? y ? sin x 在 ( , ? ) 递减,y ? tan x 在 (0, ? ) 不具单调性,y ? cos 2 x 在 (0, ) 递减, 2 2

排除 A,B,C 选项. 也可直接考察 y ? ? cos x 的图象而得解. 选 D.

1 1 3 ? ? lg 3, k ? 3 ;循环 2, S ? 0 ? lg ? lg ? ? lg 5, k ? 5 ;循环 3 3 5 1 3 5 1 3 5 7 3, S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? ? lg 7, k ? 7 ;循环 4, S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? lg ? ? lg 9, 3 5 7 3 5 7 9 1 3 5 7 9 k ? 9 ;循环 5, S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? lg ? lg ? ? lg11 ? ?1, k ? 11 . 选 C. 3 5 7 9 11
第 7 题 循环 1, S ? 0 ? lg 若能发现规律,运用归纳推理,则不必写出所有循环结果,也可得解. 第 8 题 运用正弦定理, 将边角关系统一为角的关系, 经恒等变形化简解得 cos B ? ? 选 C.

1 2? B? , . 2 3

p p d ) 的距离为 d ,则 M 到 F ' (0, ) 的距离为 . 因 P 到 x 轴的距 2 4 2 p d p p d p ' 离为 d ? ,故 M 到 x 轴的距离为 ? , M 到直线 y ? ? 的距离为 . 由 M 到 F (0, ) 的 2 2 4 4 2 4 p 2 距离等于 M 到直线 y ? ? 的距离,可得 M 的轨迹方程 x ? py ( x ? 0) . 选 A. 4
第 9 题 法一:设 P 到 F (0,
2 法二:根据点 M , P 的坐标关系,使用相关点代入法,求得 M 的轨迹方程 x ? py ( x ? 0) .

第 10 题 受三视图的启发,据三视图,想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为:在一个 水平横放的底面半径为 2,高为 4 的圆柱中,在其前方、上侧的右侧挖去 何体的体积为

1 ,余下的部分. 所以该几 8

7 ? (? ? 22 ) ? 4 ? 14? .选D. 8

第 11 题. 充分利用三角函数图象几何特征中所隐含的代数性质信息:半周期 期 ? ,求得 ? ? 2 ;据图象下降途中的零点 ( 故 k 取 0, ? ?

?
4

3? 3? ? , 0) ,得 2 ? ? ? ? (2k ? 1)? ,因 | ? |? , 8 2 8 2 sin(2 x ? ) . 4
2

3? ? ? ? ? ,周 4 4 2

;由图象过点 A,求得 A ? 2 . 所以 f ( x) ?
2

?

1 ? tan 2 ? 4 f (? ? ) ? 2 cos 2? , 因 tan ? ? 3 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ,所以, 2 8 1 ? tan ? 5

?

? 4 2 f (? ? ) ? 2 cos 2? ? ? . 选 D. 8 5

第 12 题 由 AC ? (1, 3) , BD ? (? 3,1) ,得 | AC |?| BD |? 2 ,且 AC ? BD . 法一:注意到 AB ? CD 的取值只与 A, B, C , D 的相对位置关系有关,与具体的坐标位置无关, 所以可等价转换命题为: A(0, 0) , C (2, 0) , B ( x, y ) , D( x, y ? 2) , 0 ? x ? 2 , ?2 ? y ? 0 ,求

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

AB ? CD 的取值范围. AB ? CD ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ?[?2,0) . 选 C.
法 二 : 取 A(0, 0) , 则 C ( 1 ,

??? ? ??? ?

? ? x ? x ? ? 3, 求得 3; ) 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 则 ? 2 1 y ? y ? 1. ? ? 2 1

??? ? ??? ?

? ? 3 ?1 ? x1 ? , ? x2 ? ? 3 ?1 2 3 ?1 2 ? ? 2 且? AB ? CD ? ( x2 ? ) ? ( y2 ? ) ? 2 ? ?2 ,当 ? 2 2 ? y ? 3 ?1 , ? y ? 2 1 ? ? ? ? 2

3 ?1 , 2 时, 3 ?1 , 2

??? ? ??? ?

AB ? CD 取到最小值 ?2 ,结合图形可判断此时满足 ABCD 的对角线相交于一点的要求,故选 C.
法三:数形结合,在满足“ | AC |?| BD |? 2 ,且 AC ? BD , ABCD 的对角线相交于一点”

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

要求的情况下,固定 AC 位置,移动 BD 位置,考察各极端(极限)位置上 AB ? CD 的取值情况, 结合选择支判断选项可得解. 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. 3 ; 解析: 第 13 题 画线: y ? x , x ? y ? 2 , y ? 3x ? 6 ;定域: ?ABC 的内部与边界 ( A(1,1), B(2,0), C (3,3) );考察斜率为 ?2 的动直线 z ? 2 x ? y 的纵截距 z ,得 z 的最小值为 3 . 第 14 题 解 ? 14. [?1,9] ; 15. 20? ; 16. 15 .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? x ? 0, ? x ? 0, 1 的解为 [?1,9] . 得 0 ? x ? 9 ,解 ? 3 得 ?1 ? x ? 0 ,故 f ( x) ? ?lg( x ? 1) ? 1, ?? x ? 1, ?lg( x ? 1), x ? 0, 的图象而得解. 3 , x ? 0, ?? x

也可通过考察分段函数 f ( x) ? ? 第 15 题

?ABC 中用余弦定理求得 AC ? 3 , 据勾股定理得 ?BAC 为直角, 故 BC 中点 O1 即

?ABC 所在小圆的圆心;OO1 ? 面 ABC , 在直角三角形 OO1B 中求得球的半径为 5 ; 计算球 O 的
表面积为 20? .

第 16 题

分别考察函数 f ( x ) 在 [0, 2],[2, 4],...,[14,16) 的解析式及图象,得到函数 f ( x ) 图象

的全貌,然后考察其与函数 y ? ln x 图象的交点,判断交点个数为 15 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查数列的概念与等差数列的基础知识,考查运算求解能力与推理论证能力,考查 函数与方程思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)数列 ?an?1 ? an ?(n ? N? ) 是首项为 a2 ? a1 ? 4 ,公差为 2 的等差数列, 所以 an?1 ? an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 (n ? N ? ) . 所以 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ????3 分

? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n 2 ? n .
(Ⅱ)

????6 分 ????8 分

1 1 1 1 1 , ? 2 ? ? ? an n ? n n(n ? 1) n n ? 1

所以 Sn ?

1 1 1 ? ??? a1 a2 an
????10 分

1 1 1 1 1 1 n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? , 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
由 Sn ?

2015 n 2015 ? 得 , n ? 2015 , 2016 n ? 1 2016
?

又 n ? N , 故 n 的最小值为 2016.

????12 分

18.本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统 计与概率的基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想等.. 满分 12 分. 解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,女生 Z ? [60,80) 的频率为 所以样本中女生总人数为 25 ?

25 5 ? 20 ? . ???1 分 1600 16
???2 分

5 ? 80 . 16

由频率分布直方图可知,女生 Z ? [0, 20) 的频率为

1 6 10 15 20 25 3 1? ( ? ? ? ? ? ) ? 20 ? , 1600 1600 1600 1600 1600 1600 80

????4 分

所以女生 Z ? [0,20) 的频数为 80 ?

3 ?3. 80
???6 分

结合统计表可知,男生 Z ? [0,20) 的频数为 4 ? 3 ? 1 .

又因为样本容量为 200 ,故样本中,男、女生 Z ? [0,20) 的频率分别为

1 3 与 , 200 200

????7 分 据频率估计概率、样本估计总体的统计思想,可知年段 1000 名学生中, Z ? [0,20) 的男 生约有 5 名,女生约有 15 名.???8 分 (Ⅱ)依题意,样本中女生的 Z 值约为

10 ?

3 10 20 25 15 6 1 ? 30 ? ? 50 ? ?70 ? ? 90 ? ? 110 ? ? 130 ? ? 65.25 .10 分 80 80 200 80 80 80 80
????11 分 ????12 分

根据样本估计总体的统计思想,全体女生 Z ? 65.25 . 因为 65 .25 ? 60 ,所以年段女生整体具有显著学科学习倾向.

19.本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.. 满分 12 分. 解:(Ⅰ)? AC ? 1 , BC ?

2 , AB ? 3 ,满足 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,

? AC ? BC .

? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ? CC1 ? BC ,
又∵ AC ? CC1 ? C , ∴ BC ? 面 ACC1 . ∵ AC ? 面 ACC1 ,∴ BC ? AC 1 1 .

? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,
? AA1 ? AC ,? A1C ? 2 ,
又∵ BC ?

2,
1 2 AC ? BC 2 ? 1 . 1 2
??2 分 ????1 分

? CD ? A1B ,且 CD ?
连结 MD .

6 ,点 D 为 A1 B 的中点, 2 2 .????3 分 ? MD ? A1B ,且 MD ? A1M 2 ? A1 D 2 ? 2 6 又 CM ? ,则 CM 2 ? CD2 ? MD2 , 2 ? A1M ? BM ?
? CD ? MD .???4 分
又 A1 B ? 面 A1 BM , MD ? 面 A1 BM , CD ? MD ? D ,

? CD ? 面 A1 BM ,???6 分
(Ⅱ)连结 MD ,由(Ⅰ)知 CD ? 面 A1 BM ,故 VM ? A1BC ? VC ? A1BM .???8 分

? A1B ? A1B12 ? BB12 ? 2, ???9 分
1 1 1 2 2 ?VM ? A1BC ? VC ? A1BM ? ? S?A1BM ? CD ? ? ( ? 2 ? ) ?1 ? . ???12 分 3 3 2 2 6
20.本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等. 满分 12 分. 方法一: 解:(Ⅰ)因为点 P(2,4) 在圆 O : x ? y ? 20上,
2 2

所以直线 l ? OP ,

4 ? 2 ,????1 分 2 1 所以直线 l 的方程为: y ? 4 ? ? ( x ? 2) . 2
又因为直线 OP 的斜率为 kOP ? 令 y ? 0 ,可得 x ? 10 ,所以椭圆 C 的右顶点坐标为 ?10,0? ;?????3 分 再令 x ? 0 ,可得 y ? 5 ,所以椭圆 C 的上顶点坐标为 ?0,5? . ?????4 分 所以 a ? 10, b ? 5 ,因此,椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1.?????6 分 100 25

(Ⅱ)若直线 l1 的方程为: x ? 2 5 ,则 A 2 5,2 5 , B(2 5,?2 5) . 此时 OA? OB ? 0 ,故 ?AOB ? 90? ; 若直线 l1 的方程为: x ? ?2 5 ,则 A ? 2 5,2 5 , B(?2 5,?2 5) ,

?

?

?

?

此时 OA? OB ? 0 ,故 ?AOB ? 90? . 猜想 ?AOB ? 90? 为定值. 证明如下: 若直线 l1 的斜率存在,设 Q( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则直线 l 的方程为: y ? y0 ? ? ?????7 分(写一种情形即可)

x0 ( x ? x0 ) 整理可得: x0 x ? y0 y ? 20,???8 分 y0

将x?

20 ? y0 y 20 ? y0 y 2 代入椭圆方程可得 ( ) ? 4 y 2 ? 100, x0 x0
2 2 2

整理得 ( y0 ? 4x0 ) y 2 ? 40y0 y ? 400?100x0 ? 0 ,

400? 100x0 所以 y1 y2 ? 2 2 y0 ? 4 x0
将y?

2

.

?????9 分

20 ? x0 x 20 ? x0 x 2 2 代入椭圆方程可得: x ? 4( ) ? 100 , y0 y0
2 2 2

整理得 ( y0 ? 4x0 ) x2 ?160x0 x ?1600?100y0 ? 0 ,

1600? 100y0 所以 x1 x2 ? . 2 2 y0 ? 4 x0
故 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2

2

?????10 分

?

400? 100x0 1600? 100y0 400?100x0 ? 1600? 100y0 ? ? 2 2 2 2 2 2 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 2000?100( x0 ? y0 ) 2000? 100? 20 ? 0. ? 2 2 2 2 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0
2 2

2

2

2

2

?

?????11 分 ?????12 分

所以 ?AOB ? 90? 为定值. 方法二: 解: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)若直线 l1 的方程为: x ? 2 5 ,则 A 2 5,2 5 , B(2 5,?2 5) . 此时 OA? OB ? 0 ,故 ?AOB ? 90? ; 若直线 l1 的方程为: x ? ?2 5 ,则 A ? 2 5,2 5 , B(?2 5,?2 5) ,

?

?

?

?

此时 OA? OB ? 0 ,故 ?AOB ? 90? . 猜想 ?AOB ? 90? 为定值. 证明如下: 若直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 的方程为: y ? kx ? b . ?????7 分(写一种情形即可)

? y ? kx ? b ? 联立方程组 ? x 2 ,可得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kbx ? 4b 2 ? 100 ? 0 . y2 ? ?1 ? ?100 25
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 x 2 ?

4b 2 ? 100 ? 8kb , x1 ? x 2 ? ,?????8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

又因为 y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx2 ? b , 则 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

4b 2 ? 100 ? 8kb ?k ? ? kb ? ? b2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

?

4k 2 b 2 ? 100k 2 ? 8k 2 b 2 ? b 2 ? 4k 2 b 2 1 ? 4k 2 b 2 ? 100k 2 .?????9 分 1 ? 4k 2

?

所以 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2

4b 2 ? 100 b 2 ? 100k 2 5b 2 ? 100(1 ? k 2 ) ? ? ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
因为直线 l1 与圆 O 相切,所以

?????10 分

|b| 1? k
2

? 20 ,即 b 2 ? 20(1 ? k 2 ) .?????11 分

所以 OA ? OB ?

5 ? 20(1 ? k 2 ) ? 100(1 ? k 2 ) ? 0, 1 ? 4k 2
?????12 分

故 ?AOB ? 90? 为定值.

21.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基 础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识,考查化归与转化思 想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等.满分 12 分.

解:(Ⅰ)依题意, f '( x) ? a[( x ?1)'(ex ? a) ? ( x ?1)(ex ? a)'] ? a( x ? ex ? a) .????2 分 因为 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处切线与直线 y ? x 垂直,所以 f '(0) ? ?a2 ? ?1 . 解得 a ? ?1 . ????4 分

(Ⅱ)依题意,“对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? x 2 ? x ”等价于“ a(ex ? a) ? x 在 x ? (1, ??) 上 恒成立”. 令 g ( x) ? a(e x ? a) ? x ,则 g '( x) ? ae x ? 1 . ????5 分

(1)当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) ? a(e x ? a) ? x 在 x ? [1,??) 上单调递减, 又 g (1) ? a(e ? a) ? 1 ? ea ? a 2 ? 1 ? 0 ,不合题意,舍去.
x (2)当 a ? 0 时, g '( x) ? ae ?1 ? 0 得 x ? ln

????6 分

1 . a
1 (ln , ?? ) a
?0
单调递增

1 ( ??, ln ) a

g '( x )
g ( x)
????8 分 ①当 ln

?0
单调递减

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, g ( x) ? a(e x ? a) ? x 在 x ? [1,??) 上单调递增,得 gmin ? g (1) , e a

e ? e2 ? 4 e ? e2 ? 4 由 a(e ? a) ? x ? 0 在 x ? [1,??) 上恒成立,得 g (1) ? 0 ,即 , ?a? 2 2
x

又a ?

1 e ? e2 ? 4 e ? e2 ? 4 ,得 .????10 分 ?a? e 2 2

1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由上表可知 g min ? g (ln ) ,由 a(e x ? a) ? x ? 0 在 x ? [1,??) 上恒 a a e 1 2 成立,得 g (ln ) ? 0 ,即 1 ? ln a ? a ? 0 . a
②当 ln 令 h(a) ? 1 ? ln a ? a ,则 h(a) ?
2

1 1 ? 2a 2 2 2 ? 2a ? .由 h(a) ? 0 得 a ? 或? (舍去), a a 2 2

(0,
h '( a )

2 ) 2

(

2 , ??) 2
?0

?0

h( a )

单调递增

单调递减

由 上表 可知 h(a) ? 1 ? ln a ? a 2 在 0 ? a ?

1 1 1 上 单调 递增 ,则 h(a ) ? h( ) ? ? 2 ? 0 , 故 不等 式 e e e

e ? e2 ? 4 e ? e2 ? 4 .????12 分 ?a? h(a) ? 1 ? ln a ? a ? 0 无解.综上所述, 2 2
2

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)连接线段 DB , ???1 分 因为 DC 为⊙ O 的切线,所以 ?DAB ? ?BDC ,???3 分 又因为 AB 为⊙ O 的直径, BD ? AE , 所以 ?CDE ? ?CDB ? ?DAB ? ?AEC ? 90 , ???4 分
?

所以 ?CDE ? ?AEC , 从而 ?CDE 为等腰三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? CE , 因为 DC 为 ? O 的切线,
2 所以 CD ? CB ? CA , 2 所以 CE ? CB ? CA ,即

???5 分

????7 分

CB CE 1 ? ? . CE CA 2 CE BD 1 ? ? CA AD 2 .
2

????8 分 ????9 分

又 Rt ?ABD ∽ Rt ?AEC ,故

? 5 ? 5? 因为 AD ? 2 ,所以 BD ? 1 , AB ? 5 , S ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 , ? ? 5? 所以⊙ O 的面积为 . ????10 分 4
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解 : ( Ⅰ ) 消 去 参 数

? 得 曲 线 C1 的 普 通 方 程
????1 分

C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 . ??(1)

将 曲 线 C2 : ? ? 4 s i ?n 化 为 直 角 坐 标 方 程 得

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 .??(2)??3 分
由 (1) ? (2) 得 4 y ? 2 x ? 0 ,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为

1 . ???5 分 2

注:也可先解出 A(0, 0), B ( , ) …1 分,再求 AB 的斜率为
2 2

8 4 5 5

1 . …1 分 2

( )为 圆 心 , 半 径 为 1 的 圆 ; 由 ( Ⅱ ) 由 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 知 曲 线 C1 是 以 C 1 1,0

C2 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 知 曲 线 C2 是 以 C( )为 圆 心 , 半 径 为 2 的 2 0,2
圆. ????6 分 因为 | AB |?| AC1 | ? | C1C2 | ? | BC2 | , 所以当 AB 取最大值时,圆心 C1 , C2 在直线 AB 上, 所以直线 AB (即直线 C1C 2 )的方程为: 2 x ? y ? 2 . ???7 分 因为 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5

?

2 5, 5

????8 分

又此时 | AB |?| C1C2 | ?1 ? 2 ? 3 ? 5 , 所以 ?AOB 的面积为 S ?

????9 分

1 2 3 5 ? 5 ? (3 ? 5 ) ? ? 1 .??10 分 2 5 5

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? 1 . 由 f ( x) ? 5 得 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ; 当? ??1 分

1 ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 x ? 2 ,所以 x ?? ;??2 分 2 1 4 4 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? .?3 分 2 3 3 4 或 x ? 2?. ????5 分 3

当x ? ?

所以原不等式的解集为 ?x | x ? ?

(Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2x ? a ? 2x ? 4 ? 2x ? a ? 2x ? a ? (2x ? 4) ? a ? 4 . ??7 分 因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 2 |)min ? 3 , ????9 分

所以 a ? 4 ? 3 ,所以 ?7 ? a ? ?1 为所求实数 a 的取值范围.????10 分



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