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指数函数及其性质教案


指数函数及其性质教案
教学目标 知识目标:理解指数函数的定义,掌握指数函数的图象、性质及其简单 应用. 能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形 结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方 法 ,增强识图用图的能力. 情感目标: 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关 系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思 维品质. 教学重点、难点 重点:指数函数的图象、性质及其简单运用. 难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图象与底的关系. 教学方法与手段 教学方法:探究式教学法. 教学手段:采用多媒体辅助教学. 教学过程
一、创设情景,引出课题 问题 1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“非典”应该并不陌生,它与其 它的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖 方式有很多种,分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程: 动画演示:某种球菌分裂时,由 1 分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,------.一个这样的球 菌分裂 x 次后,得到的球菌的个数 y 与 x 的关系式是: y ? 2 x . 问题 2:某种机器设备每年按 6 % 的折旧率折旧,设机器的原来价值为 1,经过 x 年后,机 器的价值为原来的 y 倍,则 y 与 x 的关系为 y ? 0.94x .

思考:你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 共同点:变量 x 与 y 构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数; 不同点:底数的取值不同. 这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.(引出课题) 二、探索研究 (一)指数函数的概念: 形如 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1) 叫做指数函数.其中 x 是自变量.函数的定义域为 R . 函数解析式三大特征:1、指数是自变量 x;2、底数是非 1 的正数;3、系数为 1. 思考:为什么指数函数对底数有这样的要求呢? 若 a ? 0 ,当 x ? 0 时, a x 恒等于 0,没有研究价值;当 x ? 0 时, a x 无意义; 1 若 a ? 0 ,例如当 a ? ?2 , x ? 时, ? 2 无意义,没有研究价值; 2 若 a ? 1 ,则 1x ? 1 , a x 是一个常量,也没有研究的必要. 很好,所以有规定 a ? 0 且 a ? 1(对指数函数有一初步的认识). (二)对数函数的图象与性质: 学习函数的一个很重要的目标就是应用,那么首先要对函数作一研究,研究函数的图 象及性质,然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题. 思考 1:你能类比前面讨论函数性质的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 思考 2:如何来画指数函数的图象呢? 画函数图象通常采用:列表、描点、连线.有时,也可以利用函数的有关性质画图. 1 1 思考 4:函数 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 能否由 y ? 2x 的图象得到 y ? ( ) x 的图象? 2 2 思考 5: 选取底数 a 的若干个不同的值, 在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象. 观 察图象,你能发现他们有哪些共同特征?
1

思考 6:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢? 思考 7: 从特殊到一般, 指数函数 y ? a x 的性质. 师生共同归纳: 指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象与性质:
a ?1 0 ? a ?1

(a ? 1) 有哪些性质?并类比得出 y ? a x

(0 ? a ? 1)





(1)定义域: (??, ??) 性 (2)值域: (0, ??)

质 (3)过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 (4) 在 (??, ??) 上是增函数 (4)在 (??, ??) 上是减函数

三、应用举例: 数学源于生活,还要服务于生活.学习函数的一个重要目标是应用.指数函数是生产生 活中常见的一类函数,指数函数一直是科学工作者,特别是工程技术人员必备的工具.这节 课我们先来了解一下它的简单应用. 利用单调性比较大小. 例 1. 比较下列各组数中各个值的大小: ; (2) (4 )
0.8 ?0.1 , 0.8 ?0.2 ; 1.7 0.3 , 0.9 3.1 , 1 .

(1) 1.7 2.5 , 1.7 3
1 1

(3) a 3 , a 2 (a ? 0, 且a ? 1) ;

2

分析:对于这样两个数比大小,学生可能会觉得困难,提示学生观察两个数的形式特征(底 数相同,指数不同),联想指数函数,提出构造函数法,即把这两个数看作某个函数的函数 值,利用函数的单调性比较大小. 说明: 1. 当底数相同且明确底数 a 与 1 的大小关系时:直接用函数的单调性来解. 2.当底数相同但不明确底数 a 与 1 的大小关系时: 要分情况讨论. 3.当底数不同不能直接比较时:可借助中间数,间接比较上述两个数的大小. 四、反馈练习: 比较下列各组数中两个值的大小:

( 1 )3.10.5, 3.12.3;
2 ?0.3 2 ?0.24 (2)( ) ,( ) ; 3 3

(3) 2.3?0.5, 0.2?0.1.
五、归纳小结,强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础 上,掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点. 1.数学知识点:指数函数的概念、图象和性质. 2.研究函数的一般步骤:定义→图象→性质→应用. 3.数学思想方法:数形结合,分类讨论的数学思想.

六、布置作业: 作业:教材 P59 习题 2.1 第 5、6、7、8. 思考:1.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象必经过点___________.
1 2.解不等式: ( ) x ?1 ? 1 . 2

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