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2015高考汇编:导数及其应用



导数及其应用
1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
1.(15 北京理科)已知函数 f ? x ? ? ln
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? 3 ? x ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ

)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

2.(15 北京文科)设函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

3. (15 年安徽理科)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b . (1)讨论函数 f (sin x )在(2

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(2)记 f0 ( x) ? x ? a0x ? b0 , 求函数 f (sin x) ? f 0(sin x) 在((3)在(2)中,取 a0 ? b0 ? 0, 求z ? b ?

? ?

, )上的最大值 D; 2 2

a2 满足D ? 1时的最大值。 4

4.(15 年安徽文科)已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

5.(15 年福建理科) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列 结论中一定错误的是() A. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

6.(15 年福建理科)已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx,(k ? R), (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x);
2 (Ⅲ) 确定 k 的所以可能取值, 使得存在 t > 0 , 对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x .

7.(15 年福建文科)“对任意 x ? (0,

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的()

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(15 年福建文科)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? (1, x0 ) 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? .

( x ? 1) 2 . 2

9.(15 年新课标 1 理科) 设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f ( x0 )
x

0,则 a 的

取值范围是() A.[- ,1) B. [- , ) C. [ , ) D. [ ,1) 的导函数,f(-1)=0,当

10.(15 年新课标 2 理科)设函数 f’(x)是奇函数 时, ,则使得

成立的 x 的取值范围是

11.(15 年新课标 2 理科)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。

12.(15 年新课标 2 文科) 已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax ? ? a ? 2? x ? 1相切,则 a=.
2

13.(15 年新课标 2 文科)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

14.(15 年陕西理科)对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a 为非零常数) ,四位同学分别给出
2

下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是() A.-1 是 f ( x ) 的零点 C.3 是 f ( x ) 的极值 15.(15 年陕西理科) B.1 是 f ( x ) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和,其中 x ? 0 , n ? ? , n ? 2 . (Ⅰ)证明:函数 Fn ? x ? ? fn ? x ? ? 2 在 ? 且 xn ?

?1 ? , ,1? 内有且仅有一个零点(记为 xn ) ?2 ?

(Ⅱ) 设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 gn ? x ? , 比较 fn ? x ? 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明. 16.(15 年陕西文科)函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为____________.
x

1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

17.(15 年天津理科)已知函数 f ( x) ? n x ? x , x ? R ,其中 n ? N , n ? 2 .
n *

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) , 求证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

18.(15 年天津文科)已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数,

f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为.

19.(15 年山东理科)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x2 ? x) ,其中 a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

20.(15 年江苏) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线 为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分 别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线 分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? 常数)模型.

a (其中 a,b 为 x ?b
2

(1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

21.(15 年江苏)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) .
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取 值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值.

3 2

3 2



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