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高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法



高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量
?
?

1、定义:如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量。平面 ? 的法向量共有两大类(从方向上分) ,无 数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y,1) [或 n ? ( x,1, z ) ,或 n ? ( 1 ,y ,z ) ], 在平面 ? 内任找两个不共线的向量 a, b 。由 n ? ? ,得 n ? a ? 0 且 n ? b ? 0 ,由此得到关于 x , y 的方程组,解此 方程组即可得到 n 。 方法二:任何一个 x, y , z 的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是 x, y , z 的一次方程。

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?

?

? ?

?

? ?

? ?

?

Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ( A, B, C不同时为 0) ,称为平面的一般方程。其法向量 n ? ( A, B, C ) ;若平面与 3 个坐
标轴的交点为 P 1 (a,0,0), P 2 (0, b,0), P 3 (0,0, c) ,如图所示,则平面方程为: 式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 a ? b 为一长度等于 | a || b | sin ? ,(θ 为 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由
? ? ? ? ? ? ? ?

?

x y z ? ? ? 1 ,称此方程为平面的截距 a b c
? ?

, 两者交角,且 0 ? ? ? ? ),而与 的 方 向 转 为

的 方 向 时 , 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为 a ? b 的 方 向 , a? b ? ? b? a 。

? ? ? ? ? y1 z1 x1 z1 x1 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y 2 , z 2 ),则 : a? b ? ? , , ? ?y z x2 z 2 x 2 ? 2 2

y1 ? ? y2 ? ?

(注:1、二阶行列式: M ?
? ?

a c

b ) ? ad ? cb ;2、适合右手定则。 d
D1 A1
? ?

例1、 已知, a ? (2,1,0), b ? (?1,2,1) , 试求(1) : a ? b ; (2) : b? a . Key: (1) a? b ? (1,?2,5) ; (2) b? a ? (?1,2,5) 例 2、如图 1-1,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 求平面 AEF 的一个法向量 n 。 key : 法向量 n ? AF? AE ? (1,2,2)
? ? ? ?
? ?

z B1 C1

E D A F C 图 1-1 B y

x

?

?

?

?

1

?

二、

平面法向量的应用

B

n

1、 求空间角 (1)、求线面角:如图 2-1,设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线, A ? ? ,则 AB 与平面 ? 所成的角为: 图 2-1-1: ? ?
?

B

?
α C 图 2-1-1

A α

?

n

?

C 图 2-1-2

A

?
2

? ? n, AB ??
?

?

?

?

n? AB ? arccos ? . ? 2 | n | ? | AB |
? ?

?

?

图 2-1-2: ? ?? n, AB ? ?
?

?

?

n? AB ? ? arccos ? ? ? 2 | n | ? | AB | 2
?

sin ? ?| cos ? n, AB ?|

?

?

(2)、求面面角:设向量 m , n 分别是平面 ? 、 ? 的法向量,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角为:
?

β

n

?

m

?

α

β

m

?

?

n

图 2-2

?
m? n
? ? ?

α

? ?? m, n ?? arccos
? ?

? ?

| m|?| n |

?

(图 2-2);

图 2-3

? ?? m, n ?? ? ? arccos

m? n
?

? ? ?

(图 2-3)
?

| m|?| n |
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图 2-2 中, m 的方向对平面

? 而言向外, n 的方向对平面 ? 而言向内;在图 2-3 中, m 的方向对平面 ? 而言向内, n 的方向对平面 ? 而言
向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积” ,满足“右手定则” )使得两个半平面的法向量一个向内一个 向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 ? ? l ? ? 的平面角。 2、 求空间距离

?

?

?

B
(1) 、异面直线之间距离: 方法指导:如图 2-4,①作直线 a、b 的方向向量 a 、 b , 求 a、b 的法向量 n ,即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量;
2
? ? ?

b n a

A

图 2-4

②在直线 a、b 上各取一点 A、B,作向量 AB ; ③求向量 AB 在 n 上的射影 d,则异面直线 a、b 间的距离为
?
?

?

d?

| AB? n | |n|
?

?

?

,其中 n ? a, n ? b, A ? a, B ? b M N

?

?

?

n

B α A O

(2) 、点到平面的距离: 方法指导:如图 2-5,若点 B 为平面α 外一点,点 A 为平面α 内任一点,平面的法向量为 n ,则点 P 到 平面α 的距离公式为 d ?
?

图 2-5

n

| AB? n | |n|
?

?

?

?

n

B

a

α

A 图 2-6
?

(3) 、直线与平面间的距离: 方法指导:如图 2-6,直线 a 与平面 ? 之间的距离:

??? ? ? AB ? n ? d ? ? ,其中 A ? ? , B ? a 。 n 是平面 ? 的法向量 |n|
α

n

β A 图 2-7

B

(4) 、平面与平面间的距离: 方法指导:如图 2-7,两平行平面? , ? 之间的距离:
? ?

d?

| AB? n | |n|
?

? ,其中 A ?? , B ? ? 。 n 是平面? 、 ? 的法向量。
α

m

?

a

?

a

图 2-8 3、 证明 (1) 、证明线面垂直:在图 2-8 中, m 向是平面 ? 的法向量, a 是直线 a 的方向向量,
? ?
?
? ?

a

m

?

a

α

图 2-9 β
?

证明平面的法向量与直线所在向量共线( m ? ? a ) 。 (2) 、证明线面平行:在图 2-9 中, m 向是平面 ? 的法向量, a 是直 线 a 的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直( m? a ? 0 ) 。
?
? ?

n

?

?

m
图 2-10

?

α

?

?

(3) 、证明面面垂直:在图 2-10 中, m 是平面 ? 的法向量, n 是平 面 ? 的法向量,证明两平面的法向量垂直( m? n ? 0 )
3
? ?

β α

n

m
图 2-11

?

(4) 、证明面面平行:在图 2-11 中, m 向是平面 ? 的法向量, n 是平面 ? 的法向量,证明两平面的法向量共线 (m ? ? n ) 。 三、高考真题新解 1、 (2005 全国 I,18) (本大题满分 12 分) 已知如图 3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, P M
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点 2
(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小
王新敞
奎屯 新疆

A D 图 3-1 C

B

解:以 A 点为原点,以分别以 AD,AB,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示.

( I ).? AP ? (0,0,1) , AD ? (1,0,0) ,设平面 PAD 的法向量为 m ? AP? AD ? (0,?1,0) 又 ? DC ? (0,1,0) , DP ? (?1,0,1) ,设平面 PCD 的法向量为 n ? DC? DP ? (1,0,1)
? m? n ? 0 ,? m ? n ,即平面 PAD ? 平面 PCD。
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10 ( II ). ? AC ? (1,1,0) , PB ? (0,2,?1) ,?? AC, PB ?? arccos ? ? arccos ? 5 | AC | ? | PB | ? ? ? ? ? 1 1 1 ( III ). ? CM ? (?1,0, ) , CA ? (?1,?1,0) ,设平在 AMC 的法向量为 m ? CM ? CA ? ( ,? ,1) . 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 又? CB ? (?1,1,0) ,设平面 PCD 的法向量为 n ? CM ? CB ? ( ? ,? ,?1) . 2 2 2 ?? m, n ?? arccos ? ? ? arccos( ? ). 3 | m|?| n |
2 2 ?面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为 arccos( ? ) . [或? ? arccos ] 3 3
2、(2006 年云南省第一次统测 19 题) (本题满分 12 分) 如图 3-2,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB=AA1=a,BC= 2 a,M 是 AD 的中点。 (Ⅰ)求证:AD∥平面 A1BC; (Ⅱ)求证:平面 A1MC⊥平面 A1BD1; (Ⅲ)求点 A 到平面 A1MC 的距离。 图 3-2 解:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.
? ?

?

?

?

?

AC? PB

?

?

m? n

?

?

4

( I ). ? BC ? (? 2a,0,0) , BA1 ? (0,?a, a) ,设平面 A1BC 的法向量为 n ? BC? BA1 ? (0, 2a 2 , 2a 2 )
又? AD ? (? 2a,0,0) ,? n ? AD ? 0 ,? AD ? n ,即 AD//平面 A1BC.
?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

( II ).
?

? MC ? (
? ?

?

2 a,0, a) 2

,

MA1 ? (?

?

2 a, a,0) 2

,







A1MC











:

m ? MC? MA1 ? (a 2 ,
?

2 2 2 2 a ,? a ), 2 2
? ? ? ? 2 2

又? BD1 ? (? 2a,?a, a) , BA 1 ? (0,?a, a ) ,设平面 A1BD1 的法向量为: n ? BD 1 ? BA 1 ? (0, 2a , 2a ) ,

? m? n ? 0 ,? m ? n ,即平面 A1MC ? 平面 A1BD1.

?

?

?

?

( III ). 设点 A 到平面 A1MC 的距离为 d,

? m ? MC? MA1 ? (a 2 ,
?

?

?

?

2 2 2 2 a ,? a ) 是平面 A1MC 的法向量, 2 2
? ?

2 | m? MA | 1 又? MA ? ( a,0,0) ,? A 点到平面 A1MC 的距离为: d ? ? a. ? 2 2 |m|
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用, 建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2) 、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3) 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形问题)

5



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