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第二章基本初等函数、导数及其应用第11课时课后达标检测



[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 海淀区期中练习)已知曲线 f(x)=ln x 在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,-1), 则 x0 的值为( ) 1 A. B .1 e C.e D.10 1 解析:选 B.依题意得,题中的切线方程是 y-ln x0= (x-x0);又该切线经过点(0,- x0 1 1),于是有-1-ln x0= (-x0),由此得 ln x

0=0,x0=1. x0 2.(2014· 河南郑州市质量检测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=( ) A.1 B.-1 - C.-e 1 D.-e 1 1 解析:选 C.依题意得,f′(x)=2f′(e)+ ,取 x=e 得 f′(e)=2f′(e)+ ,由此解得 f′(e)= x e 1 -1 - =-e . e 3.(2014· 河南郑州市质量预测)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3), 则 2a+b 的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 解析:选 C.∵直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),y=x3+ax+b 的 导数 y′=3x2+a. ?3=k×1+1
3 ∴?3=1 +a×1+b,解得a=-1,b=3,∴2a+b=1.

?

? ?k=3×12+a

4. f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f(x), g(x)满足 f′(x)=g′(x), 则 f(x)与 g(x) 满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 解析:选 C.由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0, 即[f(x)-g(x)]′=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 1 5.(2014· 东北三校联考)已知函数 f(x)= x+1,g(x)=aln x,若在 x= 处函数 f(x)与 g(x) 4 的图象的切线平行,则实数 a 的值为( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.4 1 1 a 1 1 1 1 1 a 解析:选 A.由题意可知 f′(x)= x- ,g′(x)= ,由 f′( ) =g′( ),得 ×( )- = , 2 2 x 4 4 2 4 2 1 4 1 1 可得 a= ,经检验,a= 满足题意. 4 4 二、填空题 6.(2013· 高考广东卷)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= ________.

1 解析:因为 y′=2ax- ,所以 y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴, x 1 故其斜率为 0,故 2a-1=0,a= . 2 1 答案: 2 7.

已知函数 f(x)的定义域为[-3,+∞),且 f(6)=2,f′(x)为 f(x)的导函数,f′(x)的图象 b+3 如图所示.若正数 a,b 满足 f(2a+b)<2,则 的取值范围是________. a-2 解析:依题意,得 f(x)在(-3,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,由已知 a>0, b>0 , f(6) = 2 ,不等式 f(2a + b)<2 = f(6) ,于是有 0<2a + b<6. 在坐标平面内画出不等式组 a>0, ? ? b+3 ?b>0, 表示的平面区域,注意到 可看作该区域内的点(a,b)与点(2,-3)连线的斜率, a-2 ? ?2a+b<6 结合图形不难得知,该区域内的点(a,b)与点(2,-3)连线的斜率的取值范围是 (-∞,- b+3 3 3 )∪(3,+∞),即 的取值范围是(-∞,- )∪(3,+∞). 2 2 a-2 3 答案:(-∞,- )∪(3,+∞) 2 8.(2014· 广东广州市调研)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实数 m 的值为 ________. 1 解析:设切点为(x0,x0ln x0),由 y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1,得切线的斜率 k=ln x0 x +1,故切线方程为 y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m ? ?ln x0+1=2 比较得? ,解得 x0=e,故 m=-e. ?-x0=m ? 答案:-e 三、解答题 9.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 解:(1)y′=(x· tan x)′=x′tan x+x(tan x)′ sin x ? cos2x+sin2x ? =tan x+x· ?cos x?′=tan x+x· cos2x x =tan x+ 2 . cos x (2)y′=(x+1)′(x+2)(x+3)+(x+1)[(x+2)(x+3)]′ =(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3) =3x2+12x+11. 1 10.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,

5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , 3 5 ? ∴斜率最小的切线过? ?2,3?, 斜率 k=-1, 11 ∴斜率最小的切线方程为 x+y- =0. 3 (2)由(1)得 k≥-1, ∴tan α≥-1, π 3π ∴α∈?0, ?∪? ,π?. 2? ? 4 ? ? [能力提升] 一、选择题 2 1.已知函数 f(x)= x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图象上点 P(1,m)处的切线方程 3 为 3x-y+b=0,则 m 的值为( ) 1 1 A.- B.- 3 2 1 1 C. D. 3 2 2 解析:选 A.∵f(x)= x3-2ax2-3x,∴f′(x)=2x2-4ax-3,∴过点 P(1,m)的切线斜率 3 k=f′(1)=-1-4a.又点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0,∴-1-4a=3,∴a=-1, 2 1 ∴f(x)= x3+2x2-3x.又点 P 在函数 f(x)的图象上,∴m=- . 3 3 2.(2014· 河南商丘调研)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), f′(x)为函数 f(x)的导函数,则 f′(0)=( ) A.0 B . 26 C.29 D.212 解析:选 D.∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), ∴f′(x)=x′(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′ =(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′, ∴f′(0)=(-a1)· (-a2)· …· (-a8)+0=a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=(2×4)4=(23)4=212. 二、填空题 3.(2014· 广东广州调研)设 f1(x)=cos x,定义 fn+1(x)为 fn(x)的导数,即 fn+1(x)=[fn(x)]′, n∈N*,若△ABC 的内角 A 满足 f1(A)+f2(A)+…+f2 015(A)=-1,则 sin A 的值是________. 解析:∵f1(x)=cos x,∴f2(x)=[f1(x)]′=-sin x,f3(x)=[f2(x)]′=-cos x,f4(x)=[f3(x)]′= sin x,f5(x)=[f4(x)]′=cos x,…,∴fn(x)+fn+1(x)+fn+2(x)+fn+3(x)=0,∴f1(A)+f2(A)+…+f2 015(A)=f1(A)+f2(A)+f3(A)=-sin A=-1, ∴sin A=1. 答案:1 4.(2014· 浙江宁波四中高三月考)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且 导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″ (x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 π 在 D 上恒成立,则称 f(x) 在 D 上为凸函数.以下四个函数在 ?0, ? 上是凸函数的是 2? ? ________(把你认为正确的序号都填上). ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. π π 解析: ①中, f′(x)=cos x-sin x, f″(x)=-sin x-cos x=-sin?x+ ?<0 在区间?0, ? 2? ? 4? ? π 1 1 上恒成立;②中,f′(x)= -2(x>0),f″(x)=- 2<0 在区间?0, ?上恒成立;③中,f′ x x 2? ?

π (x)=-3x2+2,f″(x)=-6x 在区间?0, ?上恒小于 0.故①②③为凸函数;④中,f′(x)= 2? ? π ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间?0, ?上恒成立,故④中函数不是凸函数. 2? ? 答案:①②③ 三、解答题 5.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, ∴直线 l 的方程为 3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0), 2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16, 整理得,x3 =- 8 ,∴ x 0 0=-2, 3 ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 1 (3)∵切线与直线 y=- x+3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则 f′(x0)=3x2 1. 0+1=4,∴x0=± ? ? x = 1 x =- 1 , ? 0 ? 0 ∴? 或? ?y0=-14 ? ?y0=-18, ? ∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 2 6.(选做题)已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x) x 在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线. 解:根据题意有: 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1), 得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1), 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以两条切线不是同一条直线.



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