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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(12)



备考 2011 高考数学基础知识训练(12) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.函数 y ?
1 ? x ? lg x 的定义域为



2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5

+a 6 等于=



3.曲线 y ? sin x 在点(

?
3

,

3 2

)处的切线方程为

4.已知 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是



5.当 x ? (1, 2 ) 错误!未找到引用源。时,不等式 ( x ? 1) 2 ? lo g a x 错误!未找到引用源。恒 成立,则实数 a 错误!未找到引用源。的取值范围是_______.

6.已知二次函数 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? c ,满足条件 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,其图象的顶点为 A,又图 象与 x 轴交于点 B、C,其中 B 点的坐标为 ( ? 1, 0 ) , ? A B C 的面积 S=54,试确定这个二次函 数的解析式 .

7.函数 y ? a1 ? x ( a ? 0 , a ? 1) 错误!未找到引用源。的图象恒过定点 A,若点 A 在直线
m x ? ny ? 1 ? 0(m n ? 0)

上,则

1 m

?

1 n

错误!未找到引用源。的最小值为

___________

8.设数列{an}的前 n 项和为 S n ,点 ( n , 通项公式为 .

Sn n

)( n ? N * )

均在函数 y=3x-2 的图象上.则数列{an}的

* 9.在圆 x 2 ? y 2 ? 5 x 内,过点 ( , ) 有 n ( n ? N ) 条弦,它们的长构成等差数列,若 a 1 为过该

5 3 2 2

点最短弦的长, a n 为过该点最长弦的长,公差 d ? ( , ) ,那么 n 的值是
5 3

1 1



10.若直线 y=x+m 与曲线 1-y2=x 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为

11.若

c o s 2? s in (? ? π 4 )

? ?

2 2

,则 co s ? ? sin ? 的值为



12 . 已 知 a ? (cos 2? , sin ? ), b ? (1, 2 sin ? ? 1), a ? ( 为 .

?
2

, ? ), 若 a ? b ?

2 5

, 则 t an (? ?

?
4

) 的值

13.把数列 ? 2 n ? 1? 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数,第五个括号一个数……循环下去,如: , (3)(5,7)(9,11,13)(15, , , 17,19,21) ,……,则第 104 个括号内各数字之和为 .

14.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相切,则圆 的标准方程是______.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知圆(x+4) +y =25 圆心为 M 1 , (x-4) +y =1 的圆心为 M 2 ,一动圆与这两个 圆都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
2 2 2 2

16、(本小题满分 14 分) 在锐角△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 ( 2 a ? c ) co s B ? b co s C . .. (Ⅰ)求角 B 的大小;(7 分) (Ⅱ)设 m ? (sin A ,1), n ? (3, co s 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围. (7 分)
?? ?

?? ?

17、(本小题满分 14 分) 已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点
2 2

(1) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2) (2)求 ? ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围

18. (本小题满分 16 分)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线 L1 与

x 轴交于点 N(-3,0) ,过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点; (1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

19、 (本小题满分 16 分)数列 ?a n ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,

总有 a n , S n , a n 成等差数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,且 b n ?
ln
n 2

2

x

,求证:对任意实数 x ? ?1, e ? ( e 是常

an

数, e =2.71828 ? ? ? )和任意正整数 n ,总有 T n ? 2.

20、 (本小题满分 16 分)设函数 f ( x ) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(1)若 b ? ? 1 2 ,求 f ( x ) 在 [1, 3 ] 的最小值; (2)如果 f ( x ) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln
n ?1 n ? n ?1 n
3

恒成立.

参考答案: 1. ( 0 ,1] 2. 42 3. y ?
1 2 (x ?

?
3

)?

3 2

4. 60° 5. (1, 2 ) . 6. y ? 2 ( x ? 2 ) 2 ? 1 8 或 y ? ? 2 ( x ? 2 ) 2 ? 1 8 . 7.2 8. a n ? 6 n ? 5( n ? N *) . 提示: ( n ,
Sn n )

在 y ? 3 x ? 2 的图象上,故

Sn n

? 3 n ? 2 , S n ? n (3 n ? 2 )

,从而求出 a n ? 6 n ? 5 .

9. 11,12,13,14,15

提示: x 2 ? y 2 ? 5 x ? ( x ?

5 2

) ? y ?
2 2

25 4

?

0 圆心 C ( , ) ,半径 R ? 2

5

5 2

,

故与 PC 垂直的弦是最短弦,所以 a 1 ? 2 R 2 ? ( 而过 P、C 的弦是最长弦,所以 a n ? 2 R ? 5,

PC 2

)

2

? 2,

由等差数列 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 5 ? 2 ? ( n ? 1) d ? d ?

3 n ?1



1 1 d ? ( , ) ? 1 0 ? n ? 1 6 , 因 n ? N * , 所 以 n ? 1 1、 2、 3、 4、 5 1 1 1 1 5 3

10. (- 2,-1] .

?0 ? A ? 90 0 0 ? 0 ? A ? 90 ? 由 ? B ? 600 得 ? 0 , 0 0 ?0 ? 120 ? A ? 90 0 0 ?0 ? C ? 90 ?
0 0

所以 3 0 ? A ? 9 0 ,从而 s in A ? ?
0 0

?1

? ,1 ? ……(12 分) ?2 ?

故 m ? n 的取值范围是 ? 2 ,
?

?? ?

?

17 ? .……………………………………… (14 分) ? 8 ?

18.解: (1)由题意知,c=2 及 ∴ b ?6?2 ? 2
2 2

a

2

c

? 3 得 a=6

--------------------3 分

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

-----------------------5 分

6

2
3 3

直线 L 的方程为:y-0=tan300(x+3)即 y=
?x2 ? 3y 2 ? 6 ? 2 (2)由方程组 ? 得 2x ? 6x ? 3 ? 0 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ?

(x+3)-----------8 分

-----------------10 分

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=-3 x1x2=
1 ( x 1 ? 3 )( x 2 ? 3 )

3 2

∵kF A ? kF B ?
1 1

y1 x1 ? 2

?

y2 x2 ? 2

?

3

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

3? x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4
0

x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9

?

? ?1

----------------14 分

∴ F1 A ? F1 B 则 ? AF 1 B ? 90

∴点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

-----------------16 分

19、 (1)解:由已知:对于 n ? N ,总有 2 S n ? a n ? a n
*

2

①成立

∴ 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2 a n ? a n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 1

--------------4 分 (n ≥ 2)

∴ a n ? a n ? 1 ? ? a n ? a n ? 1 ?? a n ? a n ? 1 ? ;∵ a n , a n ? 1 均为正数,∴ a n ? a n ? 1 ? 1 ∴数列 ?a n ? 是公差为 1 的等差数列 ,又 n=1 时, 2 S 1 ? a 1 ? a 1 ,解得 a 1 =1
2

∴an ? n . n ? N ) (
*

-------------8 分
ln
n 2

(2)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e ? 和任意正整数 n,总有 b n ?

x



1 n
2



an

∴Tn ?

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 n
2

?1?

1 1?2

?

1 2 ?3

?? ?

1

? n ? 1 ?n
--------16 分

?1?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n ?1

?

1 n

? 2?

1 n

? 2

20、解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ?? ) ,
12 x ?1 2 x ? 2 x ? 12
2

b ? ? 1 2 时,由 f ( x ) ? 2 x ?
/

?

x ?1
/

? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ? 3 舍去) ,

当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? 0 ,当 x ? ( 2, 3] 时, f ( x ) ? 0 ,
/

所以当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? ( 2, 3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x ) m in ? f ( 2 ) ? 4 ? 1 2 ln 3
b x ?1 2x ? 2x ? b
2

(2)由题意 f ( x ) ? 2 x ?
/

?

x ?1

? 0 在 ( ? 1, ?? ) 有两个不等实根,

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 ( ? 1, ?? ) 有两个不等实根,
2

设 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

? ? ? 4 ? 8b ? 0 ? g ( ? 1) ? 0

,解之得 0 ? b ?

1 2



2 3 3 2 (3)对于函数 f ? x ? ? x ? ln( x ? 1) ,令函数 h ? x ? ? x ? f ( x ) ? x ? x ? ln( x ? 1)

/ 2 则 h ?x ? ? 3 x ? 2 x ?

1 x ?1

?

3 x ? ( x ? 1)
3

2

x ?1

/ ,? 当 x ? [ 0 , ?? )时, h ? x ? ? 0

所以函数 h ? x ? 在 [ 0 , ?? ) 上单调递增,又 h ( 0 ) ? 0 ,? x ? ( 0 , ?? ) 时,恒有 h ? x ? ? h ( 0 ) ? 0 即 x ? x ? ln( x ? 1) 恒成立.取 x ?
2 3

1 n

? ( 0 , ?? ) ,则有 ln(

1 n

? 1) ? 1 n

1 n
2

? 1

1 n
3

恒成立.
1

显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln(

? 1) ?

n

2

?

n

3

恒成立

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