9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高难度压轴填空题



微信订阅号:中青数理

2 1. 等比数列 {an } 首项为正数, ak ? ak ?2 ? a6 ? 1024 , ak ?3 ? 8 ,若对满足 at ? 128的任意

t,

k ?t ? m 都成立,则实数 m 的取值范围是____________ (??,?8] k ?t

2 解析: ak ? ak ?2 ? a6 ? k ? k ? 2 ? 12 ? k ? 7 ,则 ak ?3 ? a4 ? 8, a6 ? 25 ? q ? 2

an ? 2 n?1 , at ? 128? 2t ?1 ? 27 ? t ? 8 ,
7 ? t ? ?2 ,?

k ?t 14 ?m?m? ?1 递增, t ? 9 , k ?t 7?t

14 ? ?7 ? 1 ? ?8 7?t

2. 已知函数 f ( x) 定义在正整数集上,且对于任意的正整数 x ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1)

? f ( x) ,且 f (1) ? 2, f (3) ? 6 ,则 f (2009 ) ? _______ 4018
解析:实际上是等差数列问题 3. S ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 , 则 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 1 ? ? 2 2 1 2 2 3 3 4 2008 20092

不大于 S 的最大整数 [ S ] 等于_______2008 解析: 1 ?

1 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? 1? ? 2 2 n(n ? 1) n n ?1 n (n ? 1)
1 ? [ S ] ? 2008 2009
* *

S ? 2008 ? 1 ?

4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? t , , an?1 ? an ? 2 ? 0 (t ? N , n ? N ) ,记数列 ?an ? 的前 n 项 和的最大值为 f (t ) ,则 f (t ) ?
? t 2 ? 2t ? 4 . ? ? 2 ? (t ? 1) ? 4 ? (t为偶数) (t为奇数)

解析:关键是 (t ? N , n ? N )
* *

5. 对任意 x∈R, 函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 数列 {an } 的前 15 项和为 ?

f ( x) ? [ f ( x)] 2 ?


1 , 设 an ? [f ( n) ] 2

2

? f(n ) ,

31 , 则f (15) = 16

3 4 1 ) 2

解析:关键之一:不要误入化简函数式的误区; 关键之二:能否看出 f ( x ) ? [ ,1] ; ( f ( x ? 1) ?

1 2

1 1 关键之三: a n ? f (n)[ f (n) ? 1] ? ( ? a n ?1 ? )( ? a n ?1 ? ) 2 2
得 a n ? a n ?1 ? ?

1 3 3 ,从而 a15 ? ? ,反代可得 f (15) ? 4 4 16
1/7

微信订阅号:中青数理

6. 设 a1 , a2 , 若 a1 ? a2 ?

, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,

? a50 ? 9, 且(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ?

? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1, a2 ,

, a50 中

数字 0 的个数为 11 解析:由题意, a1 , a2 ,...,a50 里有 9 个 1,其余不是 0,就是成对出现(1,-1) ,设有 n 个 0, ,则 2m ? n ? 41 ,再由 m 对(1,-1) 2 (a1 ? 1) ? ... ? (a50 ? 1) 2 ? 107 ? 4m ? n ? 107 ? 36 ? 71,解得 m ? 15, n ? 11 7. 已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? ,有

?3an ? 5 an为奇数 ? * ,若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an an ?1 ? ? an an为偶数,k是使an?1为奇数的正整数 ? ? 2k
为奇数时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为______ 1 或 5 解析:当 an 为奇数时, an?1 ? 3an ? 5 为偶数, a n ? 2 ?

3a n ? 5 为奇数,当 n ? m 且 an 为 2k

奇数时, an 恒为常数 p ,故 p ?

3p ? 5 5 ? 2 k ? 3 ? , p ? 0 ,故 p ? 1 或 5 k p 2

8. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1=d, b1=d2,且
2 2 1 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于________ 2 b1 ? b2 ? b3

2 2 a12 ? a2 ? a3 a12 ? (a1 ? d ) 2 ? (a1 ? 2d ) 2 14 解析:(2007 全国联赛)因为 ,故 ? ? 2 b1 ? b2 ? b3 b1 ? b1q ? b1q 1? q ? q2 14 14 2 由已知条件知道:1+q+q2 为 ,其中 m 为正整数。令 1 ? q ? q ? ,则 m m

14 1 1 14 1 56 ? 3m ? 3, 。由于 q 是小于 1 的正有理数,所以 1 ? q?? ? ? ?1 ? ? ? m 2 4 m 2 4m
即 5≤m≤13 且

56 ? 3m 1 是某个有理数的平方,由此可知 q ? 4m 2

Sn n 9. 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = 对任意 n?N*恒成立, Tn 2n-1
则 a10 的值为 b5

19 17

解析:

a (2n ? 1)an S 2 n?1 2n ? 1 Sn n = , 等 差 数 列 {an} 和 {bn} , 故 设 ? n ? ? ? Tn 2n-1 bn (2n ? 1)bn T2n?1 4n ? 3

an ? k (2n ? 1) , bn ? k (4n ? 3) ,然后直接计算
10. 已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, b1 ? 2, 且对任意的正整数 i, j, k , l , 当 i ? j ? k ? l
2/7

微信订阅号:中青数理
n

时,都有 ai ? bj ? ak ? bl ,则

?
i ?1

ai 2 ? bi 2 ? aibi

.

解析:令 i ? 1, j ? n, k ? 2, l ? n ? 1 ,则 a1 ? bn ? a2 ? bn?1 ? bn ? n ? 1 再令 i ? n, j ? 1, k ? n ? 1, l ? 2 ,则 an ? n

ak ? bk k 2 ? (k ? 1) 2 2k 2 ? 2k ? 1 1 1 ? ? ? 2? ? ak bk k (k ? 1) k (k ? 1) k k ?1
11. 在平面直角坐标系中, 定义 ?

2

2

? x n ?1 ? y n ? x n 为点 Pn ( xn , y n ) 到点 Pn?1 ( xn?1 , yn?1 ) 的一个 ? y n ?1 ? y n ? x n

变换为 " ? " 变换,已知 P 1 (0,1) , P 2 ( x 2 , y 2 ) ,…, P n ( xn , y n ) , P n?1 ( xn?1 , y n?1 ) 是经过 " ? " 变 换 得 到 的 一 列 点 , 设 an ? Pn Pn?1 , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 那 么 S10 值 为 __________ 31? 31 2 解析: Pn?1 ( yn ? xn , yn ? xn ), Pn ( xn , yn ) ,则

xn?2 ? yn?1 ? xn?1 ? ( yn ? xn ) ? ( yn ? xn ) ? 2xn ,隔项成等比数列
从前几项找规律: P ,1), P3 (0,2), P4 (2,2), P5 (0,4), P6 (4,4), P7 (0,8),.... 1 (0,1), P 2 (1

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 2, a4 ? 2 2, a5 ? 4, a6 ? 4 2 ,成等比数列
S1 ? S 2 ? ? ? S n , 称 Tn 为数列 a1 , a2 ,?, an 的 n “理想数” , 已知数列 a1 , a2 ,?, a400 的“理想数”为 2005, 则 11 , a1 , a2 ,?, a4 0 0 的“理想数”
12. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 令 Tn ? 为_________ 2011 解析:

2005?

S1 ? ... ? S 400 11 ? (11 ? S1 ) ? ... ? (11 ? S 400 ) 11? 401? 2005? 400 , T401 ? ? ? 2011 400 401 401

13. 已知函数 f ?x ? ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? 且公差 , ?, ? 2 2?

d ? 0 ,若 f ?a1 ? ? f ?a2 ? ? ? ? f ?a27 ? ? 0 ,当 f ?ak ? ? 0 时,则 k 的值为_________14
解析:注意到 f ( x) 为奇函数且在 a n ? ? ?

? ? ?? , ? 上单调递增,若 f ?ak ? ? 0 ,则 ak ? 0 , ? 2 2?

,若 k ? 14 ,则必然在其左或右多出几项, ak ?1 ? ak ?1 ? 0 ? f (ak ?1 ) ? f (ak ?1 ) ? 0,........
3/7

微信订阅号:中青数理

函数值的和不为 0,而其余和为 0,不合题意 14. 数列 ?an ? 满足:a1 ? 1,
n t 1 1 ,记 对任意的 S ? ai2 ,若 S 2 n ?1 ? S n ? ? 4 ? ? n 2 30 a n ?1 an i ?1

n?n ? N ? ? 恒成立,则正整数 t 的最小值为
解析:易得: a n ?
2

10

1 ,令 g (n) ? S 2n?1 ? S n ,而 g (n) ? g (n ? 1) 4n ? 3 1 1 1 2 2 2 ? an ? ? ? 0 ,为减数列, ?1 ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ? 3 ? 4n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 14 t ? 所以: S 2 n ?1 ? S n ? g (1) ? ,而 t 为正整数,所以 t min ? 10 45 30

? a x ?5 ? x ? 6? ? 15. 已知函数 f ? x ? ? ? , 数列 ?an ? 满足 an ? f ?n? n ? N ? ,且数列 a (4 ? ) x ? 4 x ? 6 ? ? ? ? 2

?

?

?an ?是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是

? 4,8?

16. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 (a2 ? 1)3 ? 2010(a2 ? 1) ? 1 ,

(a2009 ? 1)3 ? 2010(a2009 ? 1) ? ?1 ,则下列四个命题中真命题的序号为
① S2009 ? 2009 ; ② S2010 ? 2010 ; ③ a2009 ? a2 ;
3

. ②③

④ S2009 ? S2

解析:构造函数 f ( x) ? x ? 2010x 奇函数且单调增,则 f (a2 ? 1) ? 1, f (a2009 ? 1) ? ?1 则 a2 ? a2009 ? 2 , S 2010 ?

2010 (a 2 ? a 2009 ) 2009 (a1 ? a 2009 ) ? 2010 , ②正确; S 2009 ? 2 2

因为公差 d ? 0 ,故 a 2 ? a1 ,①错误; f (a2 ? 1) ? 1, f (a2009 ? 1) ? ?1 ,知 a2 ? 1 ,

a2009 ? 1,③正确; a2 ? 1 , a2009 ? 1 ? d ? 0 ,
S 2009 ? S 2010 ? a2010 ? 2010? (2 ? a1 ) ? 2008? a1 , S 2 ? a1 ? a2 , 若 S2
a2 ? 2008,而此时 (a2 ? 1)3 ? 2010(a2 ? 1) ? 1 不成立
17. 在等差数列 {an } 中,若任意两个不等的正整数 k , p ,都有 ak ? 2 p ? 1 , a p ? 2k ? 1 , 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 k ? p ? m ,则 Sm ? 解: ak ? a p ? (k ? p)d ? 2( p ? k ) ? (k ? p)d ? d ? ?2 (结果用 m 表示) m
2
0 0 9

? S 得2

4/7

微信订阅号:中青数理

Sm ?
m2

m(a1 ? a m ) m(a k ?1 ? a p ) m(a k ? a p ? d ) m(2 p ? 1 ? 2k ? 1 ? 2) m ? 2m ? ? ? ? 2 2 2 2 2

18. 已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a2 ? b2 ? c2 ? 84, 则实数b的取值范围是

(2 6,2 7]
解法一:设 a ? b ? c ,且 a ? b ? d , c ? b ? d , d ? 0

a 2 ? b 2 ? c 2 ? (b ? d ) 2 ? b 2 ? (b ? d ) 2 ? 3b 2 ? 2d 2 ? 84 ? 3b 2 ? 84 ? b ? 2 7
又 a ? b ? c ,故

b ? d ? b ? b ? d ? b ? 2d ? d ?

b 7 ? 84 ? 3b 2 ? 2d 2 ? b 2 ? b ? 2 6 2 2

解法二:基本不等式 2b ? a ? c , a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 ? 5b 2 ? 2ac ? 84 而 2b ? a ? c ? 2 ac ? ac ? b ? 84 ? 5b ? 2ac ? 3b ? b ? 28 ? b ? 2 7
2 2 2 2

又 a ? b ? c, 不妨设 a ? b ? c , (同一题)已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a2 ? b2 ? c2 ? 84, 则实数b的取值 范围是

(2 6,2 7]

解 析 : 不 妨 设 a ? b ? c , 且 a ? b ? d, c ? b ? d, d ? 0 , 代 入 等 式 得

(b ? d ) 2 ? b 2 ? (b ? d ) 2 ? 84 ? 3b 2 ? 2d 2 ? 84 ,故 3b 2 ? 84 ? b ? 2 7 ,又三边不等
关系知, a ? b ? c ? b ? d ? b ? b ? d ? b ? 2d ? d ?

b b 2 2 ,故 2b ? 2 ? ( ) ? 84 2 2

?b ? 2 6
19. 已知数列 {an } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) 85

解析:即求 ab1 ? ab2 ? ... ? ab10 ,由于两数列都是公差为 1,故此数列也是等差数列,由求 和公式知: S10 ? 10 ab1 ?

10 ? 9 ? 1 ? 10 ab1 ? 45 ,而 ab1 ? a1 ? (b1 ? 1) ?1 ? 5 ? 1 ? 4 2

20. 数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:
5/7

微信订阅号:中青数理

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ? ___



5 7

n(n ? 1) 1 2 n ?1 n ?1 2 解析:由于 ? ? ... ? ,故 ? ? n n n n 2 1 1 2 1 2 n ?1 1 1 n(n ? 1) n(n ? 1) S ? ? ( ? ) ? ... ? ( ? ? ... ? ) ? (1 ? 2 ? ... ? n ? 1) ? ? ? 2 3 3 n n n 2 2 2 4 15 21 ? 10 ,当 n ? 7 时, S ? ? 10 , 当 n ? 6 时, S ? 2 2 1 6 21 1 5 21 6 5 ? 10 , ? ... ? ? ? ? 10 ,所以 a k ? 故 ? ... ? ? 2 7 2 2 7 2 7 7
21. 等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0,22], 2? 2 ?
.11

则使数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 解析:由解集可得 a1 ? ?

21 23 d , a n ? ?d ( ? n) ? 0 (d ? 0) 2 2

22. 若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是________4006
解析: a2003 ? 0, a2004 ? 0, S 4006 ? 而 S 4007 ? 0 23. 设正项数列 {an } 的前项和是 S n ,若 {an } 和 { S n } 都是等差数列,且公差相等,则 a1 =

4006 (a1 ? a 4006 ) 4006 (a 2003 ? a 2004 ) ? ?0 2 2

1 4

2 ? ? ? a1 ? d ? 2a1 ? d ?d ? 2 a1 d ? a1 ? d 解析: { S n } 是等差数列,则 ? 平方得 ? 2 a ? 2 d ? 3 a ? 3 d ? ? 1 ? 1 ?4d ? 4 a1 d ? 2a1 ? 3d 1 (2) ? (1) ? 2 得 2d 2 ? d ,而数列各项为正,则 a1 ? 0, d ? 0 ,解得 d ? 2 1 代入(1)得 a1 ? 4

24. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,0 ? q ? 列中的某一项,则公比 q 的取值集合为

1 ,且对任意正整数 k ,ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数 2

2 ?1
6/7

微信订阅号:中青数理

解析: an ? q n?1 ,则对任意正整数 k ,总存在 n ? N ,使得 q k ?1 ? (q k ? q k ?1 ) ? q n 成立
*











q k ?1





1 ? (q ? q 2 ) ? q n ? k





0?q?

1 2





1 5 1 1 ? q 2 ? q ? 1 ? ?(q ? ) 2 ? ? ( ,1) ,即 ? q n ? k ? 1 ,所以 2 4 4 4 1 1 q 2 ? ( ) 2 ? ? q n ? k ? q 0 ? 1 ,故 0 ? n ? k ? 2, n ? k ? 1 ,代入 1 ? (q ? q 2 ) ? q n?k 得 2 4

q ? 2 ?1

7/7



更多相关文章:
精选高难度压轴填空题---三角函数
精选高难度压轴填空题---三角函数_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档精选高难度压轴填空题---三角函数_数学_高中教育_教育专区。? 2 ...
高难度压轴填空题---解析几何
高难度压轴填空题---解析几何_数学_高中教育_教育专区。微信订阅号:中青数理 1. 已知椭圆 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), M , N 是椭圆上关于原点对称...
精选高难度压轴填空题---三角函数
精选高难度压轴填空题---三角函数_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档精选高难度压轴填空题---三角函数_数学_高中教育_教育专区。? 2 ...
高难度压轴填空题---立体几何
高难度压轴填空题---立体几何_数学_高中教育_教育专区。微信订阅号:中青数理 1. 已知四棱锥 P ? ABCD 的顶点 P 在底面的射影恰好是底面菱形 ABCD 的两对角...
高难度压轴填空题_函数(一)
高难度压轴填空题_函数(一)_数学_高中教育_教育专区。微信订阅号: 中青数理 函数 (一) 1.已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ...
精选高难度压轴填空题---函数(一)
精选高难度压轴填空题---... 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 精选...
2017高考精选高难度压轴填空题---平面向量
2017高考精选高难度压轴填空题---平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017高考精选高难度压轴填空题---平面向量 全国高中数学教师群 1 群号: 538744650 全...
高难度压轴填空题 数列
高难度压轴填空题 数列_数学_高中教育_教育专区。2 1. 等比数列 {an } 首项为正数, ak ? ak ?2 ? a6 ? 1024 , ak ?3 ? 8 ,若对满足 at ? 128...
精选高难度压轴填空题---三角函数教师版
精选高难度压轴填空题---三角函数教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。? 2 x3 1 , x ? ( ,1] ? 2 ? x ?1 1. 已知函数 f ( x) ? ? ,函数...
精算高难度压轴填空题---函数(二)
精选高难度压轴填空题--... 3页 免费精​算​高​难​度​压​轴​填​空​题​-​-​-​-​-​函​数​(​二​) ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图