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高二导数专题2011.03.



——专心致志,高效执行,持久动力

高二导数专题 2011.03.
题型一:利用导数研究函数的极值、最值

? ?1,1? 上的最大值是 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2

2 2.已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c) 在x ? 2 处有极大值,则常数 c





题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线 y ? 4 x ? x 在点
3

? ?1, ?3? 处的切线方程是

4 2.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为

题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 3.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) . (1)若 f ( x) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x) 在 x ? 1 处取极值,求实数 a, b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不同的极值点.

题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1.如右图:是 f(x)的导函数, f ( x ) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是(



(A)

(B)

(C)

(D)

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题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
2 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值

(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。

题型六:利用导数研究方程的根

? 1.已知平面向量 a =( 3 ,-1).

3 1 ? b =( 2 , 2 ).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y x a b a b x (1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 = +(t2-3) , =-k +t , ⊥ ,
试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况.

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题型七:导数与不等式的综合 2.已知 a 为实数,函数
3 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a) 2

(1)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 (2)若 f '( ?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间

(Ⅱ)证明对任意的

x1、x2 ? (?1, 0)

,不等式

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

5 16 恒成立

题型八:导数在实际中的应用 2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函

y?
数解析式可以表示为:

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

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题型九:导数与向量的结合

? 3 1 ? 1 3 a?( , ? ), b ? ( , ). 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使 1.设平面向量
x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ? s a ? t b,且 x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, ? ?? 上是单调函数,求 k 的取值范围。 (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1

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导数专题答案 题型一: 2 , 题型二: y ? x ? 2

6

; , (1,0) 当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有两

即y ? 2x ? 1 或y ? 10x ? 25 条,方程分别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5),

题型三: a=1,b=1.

? (2) 当 b=1 时,令f ( x) ? 0得方程 3x ? 2(a ? 1) x ? a ? 0.
2

因 ? ? 4(a ? a ? 1) ? 0, 故方程有两个不
2 '

同实根 x1 , x 2 .
'

不妨设 x1 ? x2 ,由 f ( x) ? 3( x ? x1 )( x ? x2 ) 可判断 f ( x) 的符号如下:
' ' '

f ( x) >0;当 x1 ? x ? x2时, f ( x) <0;当 x ? x2时, f ( x) >0 当 x ? x1时,
因此 x1 是极大值点, x 2 是极小值点. ,当 b=1 时,不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不同的极值点。 题型四:D 题型五: 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b

由 f?(



2 12 4 1 - a+b=0 - 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2
1 (1,+?)

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

f? (x) + f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 题型六:1)上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)
1
1

(2)讨论方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= 于是 f′(t)= t f′(t)
3 4

1 4

t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数.

(t2-1)=

3 4

(t+1)(t-1). -1 0 (-1,1) 1 0 (1,+ ∞) +

令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: (-∞,-1) +

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F(t)



极大值



极小值



1 当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 2 . 1 当 t=1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- 2 1 函数 f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图 13-2-1 所示, 1 1 1 1 可观察出:(1)当 k> 2 或 k<- 2 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解;(2)当 k= 2 或 k=- 2 时,方程 f(t) 1 1 -k=0 有两解;(3) 当- 2 <k< 2 时,方程 f(t)-k=0 有三解.
题型七: 解:
? f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3 3 3 x ? a ? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 , 2

? 函数 f ( x) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解
3 9 3 3 ?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? ? 0 a 2 ? (? ?, ? 2] ? [ 2, ? ?) 2 2 ,所以 a 的取值范围是 2 2 , 3 9 9 3 1 ? 3 ? 2a ? ? 0 a ? ? f '( x) ? 3x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) ? f '(?1) ? 0 , 2 4, 2 2 2 ,
由 f '( x) ? 0, x ? ?1 或

x??

1 1 f '( x) ? 0, ?1 ? x ? ? 2 ;由 2

1 1 (??, ?1), (? , ??) (?1, ? ) ? f ( x) 的单调递增区间是 2 2 ;单调减区间为 f (?1) ? 25 1 49 27 f (? ) ? f (0) ? f ( x ) 8 , 2 16 ,又 8 的极小值为 27 49 m? 8 ,最小值 16 27 49 5 ? ? 8 16 16

易知 f ( x) 的最大值为

? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值
x1 , x2 ? (?1, 0)

M?

?对任意

,恒有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ?

100 ? 2.5 题型八: 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 小时,
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1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗没 128000 (升) 。 100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h( x ) 升, 1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 依题意得
x 800 x3 ? 803 h '( x) ? ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2
令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

?当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25. 因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小
题型九:导数与向量的结合

a?(
解: (1)

? ? 3 1 1 3 ? ? ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, a ?b ? 0 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? 又 x ? y, x ? y ? 0,得 ? ? ? ? 2 ?a ? ? ? sa ? tb) ( t ? k )( b ? 0, ? ? ?2 ?2 ? ? 即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。
(2)

f? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1, ? ??上是单调函数,

? ? ?0 则在 ?1,?? ? 上有 f (t ) ? 0或f (t)
? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ;
2 2 2

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2 2

因为在 t∈ ?1,?? ? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,?? ? 上恒成立。故 k 的取值范围是 k ? 3 。
2 2

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