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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末检测(A)苏教版选修1-2



第3章

数系的扩充与复数的引入(A)
(时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.下列命题中正确的有________.(填序号) ①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集; ②复数 z 是实数的充要条件是 z= z ; ③复数 z 是纯虚数的充要条件是 z+ z =

0; ④i+1 的共轭复数是 i-1. → ?1-i?2,z =2-i3 分别对应复平面内的点 P、Q,则向量PQ 2.复数 z1=? 对应的复数是 ? 2 ?1+i? ________. 3.已知复数 z1=x+2i,z2=-2+i 且|z1|<|z2|,则实数 x 的取值范围是________. 4.已知复数 z=1-i,则

z2

z-1

=________.

→ 5. 已知 z1=3-4i, z2=-7-2i,z1、 z2 对应点分别为 P1, P2, 则P2P1对应复数为________. 2i 6.复数 z= 的共轭复数 z =________. 1+i x 3 y 7.设 = + (x,y∈R),则 x=________, 1+i 2-i 1-i y=________. 8.若(2-i)·4i=4-bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数),则 b=________. z+2 9.已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z=________. 1-i 2 10.设 m∈R,复数 z=(2+i)m -3(1+i)m-2(1-i). (1)若 z 为实数,则 m=________; (2)若 z 为纯虚数,则 m=________. 11.已知 =1+i,其中 m 是实数,i 是虚数单位,则在复平面内复数-1+mi 对应的 1-i 点在第________象限. 1+i n 1-i n 12.设 f(n)=( ) +( ) (n∈Z),则值域中元素有________个. 1-i 1+i 2i 13.若复数 z= ,则| z +3i|=________. 1- i 14.已知复数 z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为 A、 → → → B、C.若OC=2OA+OB,则 a=________,b=________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 6m 2 15.(14 分)已知复数 z=(2+i)m - -2(1-i),当实数 m 取什么值时,复数 z 是 1-i (1)虚数,(2)纯虚数.

m

-1-

-2-

16.(14 分)设复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角 平分线上,| 2z-m|=5 2(m∈R),求 z 和 m 的值.

?1+i? +3?1-i? a 2 17.(14 分)复数 z= ,若 z + <0,求纯虚数 a. 2+i z

2

18.(16 分)已知复数 z 的模为 2,求复数 1+ 3i+z 的模的最大值、最小值.

1 19.(16 分)已知 z 是虚数,证明:z+ 为实数的充要条件是|z|=1.

z

?1+i? ?a+bi? 20.(16 分)复数 z= 且|z|=4,z 对应的点在第一象限,若复数 0,z, 1-i

3

z 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数 a、b 的值.

-3-

第 3 章 数系的扩充与复数的引入(A) 答案 1.② 2.3+i 1-i 2 → 3 解析 PQ:z2-z1=2-i -( ) =2+i+1 1+i =3+i. 3.(-1,1) 2 解析 ∵|z2|= 5,∴x +4<5, 2 ∴x <1,∴-1<x<1. 4.2 2 解析 ∵z=1-i,∴z =-2i, z2 -2i 又 z-1=1-i-1=-i,则 = =2. z-1 -i 5.10-2i → → → 解析 ∵P2P1=OP1-OP2, → ∴P2P1对应的复数为 z1-z2=(3-4i)-(-7-2i)=(3+7)-(4-2)i=10-2i. 6.1-i 2i?1-i? 解析 z= =i(1-i)=1+i.∴ z =1-i. ?1+i??1-i? 3 9 7. - 5 5 解析 由已知可得 x?1-i? 3?2+i? y?1+i? = + , ?1+i??1-i? ?2-i??2+i? ?1-i??1+i? x?1-i? 6+3i y+yi 所以 = + , 2 5 2 x x 6 y ?3 y? 即 - i= + +? + ?i. 2 2 5 2 ?5 2?

x 6 y ? ?2=5+2, 所以? x 3 y - = + . ? ? 2 5 2

3 x= , ? ? 5 所以? 9 y=- . ? ? 5

8.-8 解析 4+8i=4-bi,∴b=-8. 9.-2i 解析 设 z=yi (y∈R,且 y≠0),则 yi+2 ?2-y?+?y+2?i = ∈R, 1-i 2 ∴2+y=0,即 y=-2,∴z=-2i.

-4-

1 10.(1)1 或 2 (2)- 2 2 解析 (1)z=(2+i)m -3(1+i)m-2(1-i) 2 2 =(2m -3m-2)+(m -3m+2)i. 2 由题意知:m -3m+2=0, 即 m=1 或 m=2 时,z 是实数. 2 ? ?2m -3m-2=0, ? (2)由题意得 2 ?m -3m+2≠0, ? 1 1 解得 m=- .∴当 m=- 时,z 是纯虚数. 2 2 11.二 解析 ∵m=(1+i)(1-i)=2, ∴-1+mi=-1+2i,故其对应的点在第二象限. 12.3 n n 解析 f(n)=i +(-i) ,n 取特殊值 1,2,3,4,可得相应的值.f(1)=0,f(2)=-2, f(3)=0,f(4)=2. 13. 5 2i 2i?1+i? 解析 ∵z= = =-1+i. 1-i 2 ∴ z =-1-i,∴| z +3i|=|-1+2i|= 5. 14.-3 -10 → → → 解析 ∵OC=2OA+OB ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi) ?1=4+a ?a=-3 ? ? 即? ∴? ?-4=6+b ?b=-10 ? ?

.

15.解 由于 m∈R,复数 z 可表示为 z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i) 2 2 =(2m -3m-2)+(m -3m+2)i, 2 (1)当 m -3m+2≠0, 即 m≠2 且 m≠1 时,z 为虚数. 2 ?2m -3m-2=0 ? (2)当? 2 , ?m -3m+2≠0 ? 1 即 m=- 时,z 为纯虚数. 2 16.解 设 z=a+bi (a,b∈R). 2 2 因为|z|=5,所以 a +b =25. 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi) =(3a-4b)+(4a+3b)i, 又(3+4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上,所以 3a-4b+4a+3b= 0, 得 b=7a, 所以 a=± 2 7 2 ? 2 7 2 ? ,b=± ,即 z=±? + i?, 2 2 2 ? ?2

所以 2z=±(1+7i). 当 2z=1+7i 时,有|1+7i-m|=5 2, 2 2 即(1-m) +7 =50,得 m=0,或 m=2. 当 2z=-(1+7i)时,
-5-

同理可得 m=0,或 m=-2. 2 ?1+i? +3?1-i? 17.解 z= 2+i 2i+3-3i 3-i = = =1-i. 2+i 2+i ∵a 为纯虚数,∴设 a=mi (m≠0), a mi mi-m 2 2 则 z + =(1-i) + =-2i+ z 1-i 2

? ? =- +? -2?i<0, 2 ?2 ?
m m m - <0, ? ? 2 ∴? m ? ?2-2=0,

∴m=4.∴a=4i.

18.解 利用公式||z1|-|z2|| ≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|. ∵|z|=2,∴||z|-|1+ 3i|| ≤|z+1+ 3i|≤|z|+|1+ 3i|. ∴0≤|z+1+ 3i|≤2+2, ∴|z+1+ 3i|min=0,|z+1+ 3i|max=4. 19.证明 设 z=x+yi (x,y∈R 且 y≠0), 1 1 x-yi 则 z+ =x+yi+ =x+yi+ 2 z x+yi x +y2 =x+

x
2

x +y

2

+?y-

? ?

y ? i. x +y2? ?
2

1 2 2 当|z|=1,即 x +y =1 时,z+ =2x∈R.

z

1 y 当 z+ ∈R,即 y- 2 =0 时,又 y≠0, z x +y2 2 2 ∴x +y =1,即|z|=1. 1 ∴z+ 为实数的充要条件是|z|=1.

z

?1+i? ·?1+i? 20.解 z= (a+bi) 1-i =2i·i(a+bi)=-2a-2bi. 2 2 由|z|=4,得 a +b =4. ① ∵复数 0、z、 z 对应的点构成正三角形, ∴|z- z |=|z|. 把 z=-2a-2bi 代入化简得|b|=1. ② 又∵z 对应的点在第一象限, ∴-2a>0,-2b>0,∴a<b,b<0. ③ 由①②③得?

2

?a=- 3, ?b=-1.

故所求值为 a=- 3,b=-1.

-6-



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