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湖南省新田一中2013-2014学年高二数学上学期期中(教师命题比赛)试题(1) 理 新人教A版



湖南省新田一中 2013-2014 学年高二数学上学期期中 (教师命题比赛) 试题 ( 1) 理 新人教 A 版

说明:满分 150 分,时间 120 分钟. 【祝考试成功】 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. )

? ,则 tanα =1”的逆否命题是( ) 4 ? ? A.若α ≠ ,则 tanα ≠1

B. 若α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ D. 若 tanα ≠1,则α = 4 4 2.已知 △ ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , B ? 60 ,那么角 A 等于( )
1.命题“若α = A. 135
2

B. 90

C. 45

D. 30 )

3.抛物线 y =8x 的焦点到双曲线 x 2 ? 3 y 2 ? 1 的渐近线的距离是( A. B.2 C. D.1 4.等差数列 ?a n ? 满足 a2 ? 12, an ? ?20, d ? ?2, 则 n ? ( ) A.17
2 2

B.18

C.19

D.20 )

5.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为( A、 ?25
2

B、 25

C、 ?1

D、 1

6.过抛物线 y = 6x 的焦点作倾斜角为 A. 6 7.已知不等式 ax ? B. 8

2? 的直线交抛物线于 A,B 两点,那么 AB =( ) 3
D. 10

C. 9

1 ? 8 对 x ? (1,??) 恒成立,则正实数 a x ?1
C.4 由 半 D.2 椭 圆

的最小值为( ) A.8 B.6 8. 我 们 把

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0 ) 与半椭圆 ? ? 1( x ? 0) 合成的曲线称作 a2 b2 b2 c2
“果圆” (其中 a ?b ? c ,a ?b ? c ? 0 ) 。如图,设点
2 2 2

F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点,A1、A2 和 B1、B2 是“果圆”与 x,
y 轴的交点,若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,则 a , b 的值分别为 ( A. )

7 ,1 2

B. 3,1

1 C.5, ,3

D.5,4

3 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) . , x ?1 5 ? 0 的解集是为 9.不等式

x?2

1

10.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =

S5 S2

? x ? 0, ? 11.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为________ ?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 2 2 y x 12.点 P 是双曲线 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,则 ?F1PF2 的面积为 5 4
13. 设 F1、F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,P 是其右准线 x ?

a2 上纵坐标为 3c (c c

为半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin 则△ABC 的面积为________. 15.如图所示,将数以斜线作如下分群: (1) , (2,3) , (4,6,5) , (8,12,10,7) , (16,24,20,14, 9) ,? 并顺次称其为第 1 群,第 2 群,第 3 群,第 4 群,?。 1 3 5 7 9 ? ⑴第 7 群中的第 2 项是: ; 2 6 10 14 18 ? ⑵第 n 群中 n 个数的和是: 4 8 16 ? 12 24 48 ? 20 40 80 ? 28 56 112 ? 36 72 114 ? ? ? ? ?
2

A+B
2

7 -cos 2C= ,且 a+b=5,c= 7, 2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出过程或步骤) 16.(12 分)已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 x x ? 1, 或x ? b .
2

?

?

(1)求 a , b ; (2)解不等式 ax2 ? (ac ? b) x ? bc ? 0(c ? R) .

17.(12 分)已知等比数列 {an } 中, a2 ? 9, a5 ? 243. (1)求 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? log3 an , 求数列{

1 }的前 n 项和 S n . bn bn ?1

18.(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,且 b sin A ? 3a ? cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 , sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.

3

19.(13 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数,则电 力与机器保养等费用为每件 0.05 x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P ( x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场调查:每件产品的 销售价 Q ( x) 与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05x ,试问生产多少件产品,总利润最高?

20. (13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2an (n ? N ? ) . (1)证明:数列 ?a n ? 1?为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ? 1)an ? 2n ? 1,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .求满足不等式

Tn ? 2 ? 2013的 n 的最小值. 2n ? 1

4

21.(13 分)如图 7,椭圆 C1 : 的线段长等于 C1 的长半轴长. (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程;

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得 2 2 a b

(Ⅱ) 设 C2 与 y 轴的焦点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明:MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 . 问:是否存在直线 ,使得

l

S1 17 ?请说明理由. ? S 2 32

5

新田一中高二年级期末测试试题 理科数学答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. )

三、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出过程或步骤) 16.(1) ?

?a ? 1 ?b ? 2

(2)当 c>2 时,解集为{x|2<x<c};当 c<2 时,解集为{x|c<x<2};当 c=2 时,解集为 ?

17.解: (1) ?

? a1q ? 9 ?a1 ? 3, q ? 3.?an ? 3n 4 ?a1q ? 243

(2) bn ? log3 3n ? n

Sn ? ?

1 1 1 ? ? ??????? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1

1 1 1 ? ? ??????? ? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) , 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ??????? ? ? 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? n ?1 n ?1

6

P( x) ?
19.(Ⅰ)

12500 ? 40 ? 0.05 x x

由基本不等式得 P( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

x ? 500 12500 ? 0.05 x 当且仅当 x ,即 时,等号成立 12500 90 P( x) ? ? 40 ? 0.05 x x ∴ ,成本的最小值为 元. y (Ⅱ)设总利润为 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ? 12500? ?0.1( x ? 650) 2 ? 29750 x ? 650 y ? 29750 当 时, max
答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元. * 20.(1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N ). 两式相减,得 an=2an-1+1. * 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N ),所以数列{an+1}为等比数列. n n 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1.a1+1=2,所以 an+1=2 ,所以 an=2 -1. n (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)·2 . 2 3 n-1 n 所以 Tn=3×2+5×2 +7×2 +?+(2n-1)·2 +(2n+1)·2 , ① 2 3 n n+1 2Tn=3×2 +5×2 +?+(2n-1)·2 +(2n+1)·2 , ② 2 3 n n+1 ①-②,得-Tn=3×2+2(2 +2 +?+2 )-(2n+1)·2 2 n+1 2 -2 n+1 n+2 n+1 n+1 =6+2× -(2n+1)·2 =-2+2 -(2n+1)·2 =-2-(2n-1)·2 . 1-2 n+1 1)·2 . n+1 Tn-2 2+ 2n- ·2 n+1 若 >2 013,则 >2 013,即 2 >2 013. 2n-1 2n-1 10 11 由于 2 =1 024,2 =2 048,所以 n+1≥11,即 n≥10. Tn-2 所以满足不等式 >2 013 的 n 的最小值是 10. 2n-1

所以 Tn=2+(2n-

7

? ? y ? k1 x ? 1, y ? k1 x ? 1,由? 2 ? ? y ? x ? 1 解得 (ii)设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为

?x ? 0 ?x ? k , 或? ? 2 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1 ,则点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) . 1 1 1 ? (? , 2 ? 1). k1 , 同理可得点 B 的坐标为 k1 k1 又直线 MB 的斜率为 1 1 1 1 1 ? k12 S1 ? | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 1 ? | ? |? 2 2 k1 k1 2 | k1 |
于是

? ? y ? k1 x ? 1, ? 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0 (1 ? 4k12 ) x 2 ? 8k1 x ? 0. 由? 得

8k1 ? x? , 2 ? ? x ? 0, ? 1 ? 4k1 或? ? 2 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ? 解得

8k1 4k12 ? 1 ( , ). 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 1 则点 D 的坐标为 ? 8k1 4 ? k12 1 ( , ). ? 2 2 又直线 ME 的斜率为 k ,同理可得点 E 的坐标为 4 ? k1 4 ? k1 32(1 ? k12 )? | k1 | 1 S 2 ? | MD | ? | ME |? 2 (1 ? k12 )(k12 ? 4) . 于是
8

S1 1 4 ? (4k12 ? 2 ? 17). S 64 k1 因此 2 1 4 17 1 (4k12 ? 2 ? 17) ? , 解得k12 ? 4, 或k12 ? . 64 k1 32 4 由题意知, 又由点 A、B 的坐标可知, 1 k12 ? 2 k1 1 3 k? ? k1 ? , 所以k ? ? . 1 k1 2 k1 ? k1 3 3 y ? x和y ? ? x. 2 2 故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为

9



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