解三角形2

解三角形
热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长
2 ．在 ?ABC 中 , 内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c , 已知 8b =5c , C =2 B , 则

cos C ? （ 7 A． 25

） B． ?
7 25

C． ?

7 25

D．

24 25

3．在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小 值为（ A． ）

3 2 1 1 B． C． D． ? 2 2 2 2

3 5 8 ．设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 5 13 c ? ______ 1 9．在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? ,则 b ? ___________. 4

12． 设△

的内角

,

,

所对的边分别为 , , . 若

,

则角 _________. ??? ? ???? ??? ? ??? ? 17．在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?
5 ，求 A 的值. 5

19．在 (Ⅰ)求

中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. 的值; 的值.

(Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求

【方法总结】
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即 可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意 讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． (3)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程
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中的运用．

热点二、利用正余弦定理判断三角形形状
1．（2012 年高考（上海理） ）在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的 形状是（ ） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.

【方法总结】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋ B＋C＝π 这个结论．

热点三、利用正余弦定理求三角形面积
2 ． 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 ? ? ? A ? , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4 ? (1)求证: B ? C ? 2 (2)若 ,求△ABC 的面积. a,b,c. 已 知 ,

3．在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

2 3

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【方法总结】

【基础练习】.
1．在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c 等于( 10 6 A．5 2B．10 2C. D．5 6 3 2．在△ABC 中，若 A．30° sin A )

a

＝

cos B ，则 B 的值为(

b

)．

B．45°

C．60°

D．90° )．

1 3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cosC＝ ，则△ABC 的面积为( 3 A．3 3B．2 3C．4 3 D. 3 4．在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝( A．45°或 135° B．135°C．45°D．60° ) )

5．在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( A．30° C．60° B．45° D．75°

6．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 ( A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定

)

【名校模拟】
一．夯实基础 1．在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝ 则 c 等于( )
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π ，a＝ 3，b＝1， 3

A．1

B．2C. 3－1

D. 3

2． 在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 a＝1， c＝4 2， B＝45°， 则 sin C 等于( A. 4 41 )

4 4 4 41 B. C. D. 5 25 41

3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若角 A、B、C 依次成等差数 列，且 a＝1，b＝ 3，则 S△ABC 等于( A. 2 B. 3C. 3 D．2 2 )

4．在 ?ABC 中，若 A ? 1200 ， c = 6 ， ?ABC 的面积为 9 3 ，则 a =.
π ，则 B ? _____． 3 6．在 ?ABC 中， ?A ? 1200 ，AB=5，BC=7，则 ?ABC 的面积 S=

5．在△ ABC 中， BC ? 3 ， AC ? 2 ， A ?

7 ．设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a ? 1 , b ? 2 , 1 cos C ? . 4 （1）求 c 边的值 （2）求 的值

8． 在△ABC 中， 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos （1）求△ABC 的面积； （2）若 c=1,求 a、sinB 的值. 二．能力拔高

? ???? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 ? 2 5

cos A a 1．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ＝ ，则△ABC 一定 cos B b 是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 D．等边三角形 ，且

C．等腰直角三角形

2．在Δ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b,c.若 = ，则 b=（ ）

A．4

B.3

C.2

D.1
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3． 在 则边 c ?

中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ， 若

，

，

，

4．在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 4sin 2 且 a ? b ? 5 ， c ? 7 ，则△ ABC 的面积为________.

A? B 7 ? cos 2C ? ， 2 2

5．在 ?ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c ，若 b ? c ? a cos C ，则 A ? ． 6．在△ABC 中，sin2C= 3 sinAsinB+sin2B，a=2 3 b，则角 C= 7． 设△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， 且 =。 .

1 2

8．在△

中，已知 ； ， ，求

．

（Ⅰ）求角 （Ⅱ）若

．
5 , 5

9．在 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? 2 B .若 sin B ? (I)求 cos C 的值；
c ( Ⅱ ) 求 的取值范围. b

10．在△ ABC 中， tan A ? ，tan B ? . （1）求角 C 的大小； （2）如果△ ABC 的最大边长为 13 ，求最小的边长. 11．在 中，三个内角 、 ， ， （I）求 （II）设 三．提升自我
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1 5

、

对的边分别为 、 、 ，设平面向量

.

的值； ， ，求 的边 上的高 .

1． 在 则

中， 角

、 、 所对边的长分别为 、 、 ． 若

，

的值为（）

A 2．已知△

B

C

D

的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ， ，则此三角形 A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 A? B 7 3．在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 4sin 2 ? cos 2C ? ， 2 2 且 c ? 7 ，则△ ABC 的面积的最大值为________.
c 4．在三角形 ABC 中，若∠C＝3∠B，则 的取值范围是__________． b

5．在 ?ABC 中，已知内角 A ? 为． 7．已知 大值为 ． (Ⅰ)求 是

?

3

，边 BC ? 2 3 ，则 ?ABC 的面积 S 的最大值

的三个内角，且满足

，设

的最

的大小；(Ⅱ)当

时，求

的值．

8．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， q=（ 2a ，1） ，p=（ 2b ? c ，

cos C ）且 p // q ．求：
（I）求 sin A 的值； （II）求三角函数式
? 2 cos 2C ? 1 的取值范围． 1 ? tan C

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