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解三角形2



解三角形
热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长
2 .在 ?ABC 中 , 内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c , 已知 8b =5c , C =2 B , 则

cos C ? ( 7 A. 25

) B. ?
7 25

C. ?

r />7 25

D.

24 25

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小 值为( A. )

3 2 1 1 B. C. D. ? 2 2 2 2

3 5 8 .设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 5 13 c ? ______ 1 9.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? ,则 b ? ___________. 4

12. 设△

的内角

,

,

所对的边分别为 , , . 若

,

则角 _________. ??? ? ???? ??? ? ??? ? 17.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?
5 ,求 A 的值. 5

19.在 (Ⅰ)求

中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. 的值; 的值.

(Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求

【方法总结】
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即 可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意 讨论该角,这是解题的难点,应引起注意. (3)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程
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中的运用.

热点二、利用正余弦定理判断三角形形状
1.(2012 年高考(上海理) )在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的 形状是( ) A.锐角三角形. B.直角三角形. C.钝角三角形. D.不能确定.

【方法总结】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出 边的相应关系,从而判断三角形的形状; 2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函 数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+ B+C=π 这个结论.

热点三、利用正余弦定理求三角形面积
2 . 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 ? ? ? A ? , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4 ? (1)求证: B ? C ? 2 (2)若 ,求△ABC 的面积. a,b,c. 已 知 ,

3.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

2 3

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【方法总结】

【基础练习】.
1.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( 10 6 A.5 2B.10 2C. D.5 6 3 2.在△ABC 中,若 A.30° sin A )

a



cos B ,则 B 的值为(

b

).

B.45°

C.60°

D.90° ).

1 3.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cosC= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3B.2 3C.4 3 D. 3 4.在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=( A.45°或 135° B.135°C.45°D.60° ) )

5.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° C.60° B.45° D.75°

6.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形有 ( A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定

)

【名校模拟】
一.夯实基础 1.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A= 则 c 等于( )
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π ,a= 3,b=1, 3

A.1

B.2C. 3-1

D. 3

2. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 a=1, c=4 2, B=45°, 则 sin C 等于( A. 4 41 )

4 4 4 41 B. C. D. 5 25 41

3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数 列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( A. 2 B. 3C. 3 D.2 2 )

4.在 ?ABC 中,若 A ? 1200 , c = 6 , ?ABC 的面积为 9 3 ,则 a =.
π ,则 B ? _____. 3 6.在 ?ABC 中, ?A ? 1200 ,AB=5,BC=7,则 ?ABC 的面积 S=

5.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?

7 .设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 1 , b ? 2 , 1 cos C ? . 4 (1)求 c 边的值 (2)求 的值

8. 在△ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1)求△ABC 的面积; (2)若 c=1,求 a、sinB 的值. 二.能力拔高

? ???? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 ? 2 5

cos A a 1.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 = ,则△ABC 一定 cos B b 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ,且

C.等腰直角三角形

2.在Δ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 = ,则 b=( )

A.4

B.3

C.2

D.1
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3. 在 则边 c ?

中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若







4.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 4sin 2 且 a ? b ? 5 , c ? 7 ,则△ ABC 的面积为________.

A? B 7 ? cos 2C ? , 2 2

5.在 ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c ,若 b ? c ? a cos C ,则 A ? . 6.在△ABC 中,sin2C= 3 sinAsinB+sin2B,a=2 3 b,则角 C= 7. 设△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 且 =。 .

1 2

8.在△

中,已知 ; , ,求



(Ⅰ)求角 (Ⅱ)若


5 , 5

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? 2 B .若 sin B ? (I)求 cos C 的值;
c ( Ⅱ ) 求 的取值范围. b

10.在△ ABC 中, tan A ? ,tan B ? . (1)求角 C 的大小; (2)如果△ ABC 的最大边长为 13 ,求最小的边长. 11.在 中,三个内角 、 , , (I)求 (II)设 三.提升自我
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2 3

1 5



对的边分别为 、 、 ,设平面向量

.

的值; , ,求 的边 上的高 .

1. 在 则

中, 角

、 、 所对边的长分别为 、 、 . 若



的值为()

A 2.已知△

B

C

D

的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 , , , ,则此三角形 A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是锐角三角形 A? B 7 3.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 4sin 2 ? cos 2C ? , 2 2 且 c ? 7 ,则△ ABC 的面积的最大值为________.
c 4.在三角形 ABC 中,若∠C=3∠B,则 的取值范围是__________. b

5.在 ?ABC 中,已知内角 A ? 为. 7.已知 大值为 . (Ⅰ)求 是

?

3

,边 BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积 S 的最大值

的三个内角,且满足

,设

的最

的大小;(Ⅱ)当

时,求

的值.

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2a ,1) ,p=( 2b ? c ,

cos C )且 p // q .求:
(I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式
? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

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