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临川二中2012届高三第一次月考数学(理科答案)


临川二中 2012 届高三第一次月考(理科数学答案)
选择填空

1—5 CDBDD

6—10 ACCBA
25
?1 ? a ? 7

11. (3,0)

12. 2

13.

14.

4

15.(1) a ( a 为正整数) (2)16
1

解答题 16.(11,6)

17. 3 或 3

18.(1) ? ? 1 (2) 0 ? a ? 1 或 a ?

3 2

19. (1)由 1+cos2A―cos2B―cos2C=2sinB·sinC 得 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C 由正弦定理得, b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 由余弦定理得, cos A ? (2) f ( B ) 的最大值为 3 ,此时
2
b ?c ?a
2 2 2

?

1 2

2 bc

∴A?

?
3

B?

?
3

20. (1) x ? 3
x?3

?0?

x<–3或x>3.

∵f(x)定义域为 ?α , β ? ,∴α >3 设β ≥x1>x2≥α ,有
x1 ? 3 x1 ? 3 ? x2 ? 3 x2 ? 3 ? 6 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ?0

当 0<m<1 时,f(x)为减函数,当 m>1 时,f(x)为增函数. (2)若 f(x)在 ?α , β ? 上的值域为 ?log m m ?β ? 1?, log m m ?α ? 1?? ∵0<m<1, f(x)为减函数.
? ? f (β ) ? log m ? ∴? ? f ( α ) ? log m ? ? β?3 β?3 α?3 α?3 ? log m m (β ? 1) ? log m m ( α ? 1)

即?

? m β 2 ? ( 2 m ? 1)β ? 3 ( m ? 1) ? 0 ? ? m α 2 ? ( 2 m ? 1) α ? 3 ( m ? 1) ? 0 ?

,又β ? α ? 3

即α ,β 为方程 mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0 的大于 3 的两个根
?0 ? m ? 1 ? 2 ? ? ? 16 m ? 16 m ? 1 ? 0 ? ∴ ? 2m ? 1 ?3 ?? 2m ? ? mf ( 3) ? 0 ?

∴0<m<

2? 4

3

故当 0<m<

2? 4

3

时,满足题意条件的 m 存在.
1 x sin ?
2

21 解: (1)由题意: g ?(x ) ? ?
在 ?1, ?? ? 上恒成立,

?

1 x

? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 x sin ? ? 1 ? 0

( 只需 sin ? ? 1 ? 1 ? 0, 即 sin ? ? 1,只 有 sin ? =1,结 合 ? ? 0 , ? ) , 得 ? =

?
2

………… 分) (4

(2) 由(1),得 f(x)-g(x)=mx-

m x
2

? 2 ln x , (f(x)-g(x)) ?=
2

mx ? 2x ? m
2

x

2

,由于 f(x)-g(x)在其

定义域内为单调函数,则 mx ? 2x ? m ? 0 或 者 mx ? 2x ? m ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即
m? 2x 1? x
2

或者m ?

2x 1? x
2

在 ?1, ?? ? 上恒成立,故 m ? 1 或 者 m ? 0 ,综上,m 的取值范 …………(9 分)
m x 2e x ? 2 ln x ? 2e x

围是 ? ?? , 0 ? ? ?1, ?? ? (3)构造函数 F(x)=f(x)-g(x)-h(x), F(x ) ? mx ? 当 m ? 0 时 , x ? ?1, e ? 得,mx ? 由 使得 f (x 0 ) ? g(x 0 ) ? h (x 0 ) ;
2

,

m x

? 0, ? 2 ln x ?

? 0 ,所以在 ?1, e ? 上不存在一个 x 0 ,

…………(12 分)

) 当 m>0 时 , ( F ( x ?) ?

m 2 2e mx ? 2x ? ? m 2e m 2 ? ? ? 2 ? e ,因为 x ??1, ? ,所以 2 x x x x 2 2e ? 2x ? 0, mx ? m ? 0, 所 以 ( F ( x)) ?>0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,故 F(x)在 x ? ?1, e ? 上单
m e ? 4, 只 要 me ? m e ? 4>0, 解 得 m> 4e e ?1
2

调递增, F(x ) max ? me ?

,故 m 的取值范围是

?

4e e ?1
2

, ?? …………(14 分)
2 e ? 2 x ln x x ?1
2

?

另法:(3) m ?
F ( x) ?
'

,
2

令 F ( x) ?

2 e ? 2 x ln x x ?1
2

,

( ? 2 x ? 2) ln x ? (2 x ? 4 ex ? 2)
2

( x ? 1)
2

2

? 0 ? F ( x ) 在 ?1, e ? 上 递 减 ,

F ( x ) min ?

4e e ?1
2

?m ?

4e e ?1
2

.


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