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河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.14)数学试题 Word版含解析



河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四 数学周练试题(二)
一、选择题(共 12 小题,共 60 分) 1.已知函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 错误!未找到引用源。 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) 错误!未找到引用源。,给出下列命题: ①当 x ? 0 错误!未找到引用源。时, f ( x) ? e x (1 ? x) 错误!未找到引用源。 ②函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。有 2 个零点 ③ f ( x) ? 0 错误!未找到引用源。的解集为 (?1,0) ? (1, ??) 错误!未找到引用源。 ④ ?x1 , x2 ? R 错误!未找到引用源。,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 其中正确命题个数是( ) A.1
F1 、 F2 是椭圆 2.

B.2

C.3

D.4

x2 y2 0 且∠ AF 则Δ AF ? ? 1 的两个焦点,A 为椭圆上一点, 1 F2 1 F2 ? 45 , 9 7

的面积为( A、 7

) B、

7 4

C、

7 2

D、

7 5 2

3.下列说法正确的个数有

①用 R ? 1 ?
2

? ?y
i ?1 n i ?1

n

i

?i ? ?y ?y

2

? ?y

i

?

2

刻画回归效果,当 R 2 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;

②可导函数 f ? x ? 在 x ? x0 处取得极值,则 f ??x0 ? ? 0 ; ③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理; ④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

-1-

? 1 x ?( ) ? 1,?1 ? x ? 0 4 .函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , f ( x) ? ? 2 对于任意的 x ? R 都有 ? ?log2 ( x ? 1),0 ? x ? 3
f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) .若在区间 [?5,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有三个不同的零点, 则
实数 m 的取值范围是( A.( ? )

1 1 ,? ) 2 6

[? B.

1 1 ,? ) 2 6

C.( ?

1 1 ,? ) 2 3

[? D.

1 1 ,? ] 2 3

5.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两
2 2 点,且直线 l 与圆 x ? px ? y ?

3 2 p ? 0 交于 C、D 两点.若 | AB |? 2 | CD | ,则直线 l 的斜 4

率为( A. ?



2 2

B. ?

3 2

C. ? 1

D. ?

2

6.已知函数 f ( x) ? ? A. [?1,0)

2 ? ?ax ? 1, x ? 0 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( ax ? ( a ? 2 ) e , x ? 0 ?



B. (0,??)

C. (?2,0)

D. (??,?2)

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右焦点为 F ,点 F 到渐近线的距离等于 2 a ,则该双 a 2 b2
) B. 3 C. 5 D. 3

曲线的离心率等于( A. 2

8.已知函数 f ( x) ? x2e x ? ln t ? a ,若对任意的 t ?[1, e] , f ( x ) 在区间 [?1,1] 总存在唯一的 零点,则实数 a 的取值范围是( A. [1, e] B. (1 ? ) C. (1, e] D. [1 ? , e]

1 , e] e

1 e

9. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,若垂线的 a 2 b2
c 2
) D. 2

延长线与 y 轴的交点坐标为 (0, ) ,则此双曲线的离心率是( A. 5 10.已知双曲线 C : B.2 C. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,抛物线 x2 ? 4 6 y 的焦点 B 是 2 a b
-2-

双曲线虚轴上的一个顶点, 线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A , 若B A ?2 A F 的方程为( A. ) B.

? ?

? ? ?

, 则双曲线 C

x2 y 2 ? ?1 2 6

x2 y 2 ? ?1 8 6

C.

x2 y 2 ? ?1 12 6
+ +?+

D.

x2 y 2 ? ?1 4 6


11.已知等比数列{an}中,a1=1,q=2,则 Tn= (A)1- (B)1-

的结果可化为(

(C) (1- )

(D) (1- )

12.设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线与直线 x ? ?1 的一个交点的纵坐标 a 2 b2


为 y0 ,若 y0 ? 2 ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( A. 1, 3

?

?

B. 1, 5

?

?

C.

?

3, ??

?

D.

?

5, ??

?

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(4 小题,共 20 分) 13.在极坐标系中,曲线 ? ? 2sin ? 的点到点 (2, 14.在极坐标系中,圆锥曲线 ? ?

?
6

) 的最小距离等于




8sin ? 的准线的极坐标方程是 cos 2 ?

15.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布 直方图如图所示,其中支出在 [50,60) 元的同学有 30 人,则 n 的值为___________. 频率 0.036 0.024 0.01 组距

20 30 40 50 60



16.已知 2 ?

4 4 2 2 3 3 a a ?2 , 3? ?3 , 4? ? 4 ,?? ,若 6 ? ? 6 , (a, t 均为 t t 3 3 8 8 15 15

-3-

正实数),类比以上等式,可推测 a, t 的值,则 t ? a =_________. 三、解答题(8 小题,共 70 分) 17.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 2 (t 为参数),曲线 C 的参数方程 ?y ? t ? 2

为?

? x ? 3 cos? (?为参数) . y ? sin ? ?

(1)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最值. (2)请问是否存在直线 m,m∥l 且 m 与曲线 C 的交点 A、B 满足 S ?AOB ? 足题意的所有直线方程,若不存在请说明理由.

3 ;若存在请求出满 4

x2 ? y2 ? z 2

n ? N, n ? 2 xn ? yn ? z n
19.已知直线 l 过点 P(0, ?4) ,且倾斜角为

? ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? . 4

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 和圆 C 相交于 A 、 B ,求 | PA | ? | PB | 及弦长 | AB | 的值. 20.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2(a ? R) .
3

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值.

21.设椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ),N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a2 b2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.
22.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6),且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的 图象关于 y 轴对称. (1)求 m 、 n 的值及函数 y ? f ( x) 的单调区间;

-4-

(2)若函数 h( x) ? f ( x) ? ax 在(-1,1)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 23.如图,已知抛物线方程为 y 2 ? 8x .

(1)直线 l 过抛物线的焦点 F,且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于 A、B 两点,求 AB 的长度. (2) 直线 l1 过抛物线的焦点 F , 且倾斜角为 45 ? , 直线 l1 与抛线相交于 C、 D 两点, O 为原点. 求 △OCD 的面积. 24.已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? a 的图象在与 y 轴交点处的切线方程为 y ? bx ? 1 . 3 2

(1)求实数 a , b 的值; (2)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ?m ? 1?x 2 ? 2m 2 ? 2 x ? 1 的极小值为 ? 10 ,求实数 m 的值; 3 2

?

?

(3)若对任意的 x1 , x2 ? ?? 1,0??x1 ? x2 ? ,不等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? t x1 ? x2 恒成立,求实数

t 的取值范围。

-5-

参考答案 【答案】B 【解析】 试题分析:由 f ( x ) 错误!未找到引用源。定义在 R 上的奇函数, x ? 0 错误!未找到引用源。 时

f ( x) ? e x ( x ? 1)









x?0



?x ? 0



f (? x) ? e? x (? x ? 1) ? ? f ( x), f ( x) ? ?e? x (1 ? x) ,①错误;
当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ,又为奇函数则; f (0) ? 0 ,有 3 个零点。②错误;

x ? 0, f ( x) ? ex ( x ? 1) ? 0, ?1 ? x ? 0 ,又为奇函数则 x ? 0, x ? 1,解集为 (?1,0) ? (1, ??) ,
③ 正 确 ; 当 x ? 0 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 时 , f ( x) ?
?2 f ?( x) ? ex ( x ? 2), f ?( x) ? 0, x ? ?2 , f (?2)极小值 ? ?e ,
x

,) 求 导 e (?x 1

由奇函数, f (2)极大值 ? e ,则 | f (2)极大值 ? f (-2)极小值 | = | e 考点:函数性质及导数的运用. 2.C 【解析】 试题分析: 由题:

?2

?2

? e?2 |? 2 成立。④正确;

x2 y2 则:a ? 3,b ? 7,c ? 2, 又:AF ? ? 1, 1 ? AF2 ? 6, FF 1 2 ?2 2 , 9 7
2

0 AF2 ∠ AF 1 F2 ? 45 ,可得;

? AF1 ? F1F2 ? 2 ? 2 2 ? AF1 ? cos 450 ,

2

2

解得; AF1 ?

7 1 7 7 0 ,则: S?AF1F2 ? ? 2 2 ? ? sin 45 ? . 2 2 2 2

考点:椭圆中焦点三角形的面积. 3.C 【解析】 试题分析: ①.相关指数 R 2 越大,则相关性越强,模型的拟合效果越好. 错误; ②.可导函数 f ? x ? 在 x ? x0 处取得极值,则 f ??x0 ? ? 0 ,正确; ③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;正确. ④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”.正确 考点:回归分析,导数及推理与证明的概念.

-6-

4.B 【解析】 试题分析:由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) 可得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是以 T ? 4 为周期 的周期函数;在平面直角坐标系 xOy 中作出函数 y ? f ( x) 在区间 [?5,3] 上的图象如图,函数

g ( x) ? f ( x) ? m x ? m 有三个零点等价于方程 f ( x) ? m( x ? 1) 有三个根 , 进而转化为函数 y ? f ( x) 与函数 y ? m( x ? 1) 有三个交点.而函数 y ? m( x ? 1) 是斜率为 m 且过定点 P(1,0)
的动直线.结合图象可知当 kPQ ? k ? kPR ,即 ? 选 B.
y

1 1 ? k ? ? 时两函数的图象有三个交点.故应 2 6

R(-5,1)

Q(-1,1) O P(1,0)

x

考点:函数的图象和性质的综合运用运用. 【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查分段函数的图象和基本性质的综合性问题. 解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息,如函数 y ? f ( x) 的周期性, 函数 y ? m( x ? 1) 过定点 (1,0) 等等.本题解答的特色还有数形结合思想的运用和转化化归的 数学思想的运用等等.如先将函数的零点问题转化为方程的根的问题,进而转化为函数的图象 有三个交点的问题,总之本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许 多数学思想和方法. 5.C 【解析】 试题分析:由题设可得 ( x ?

p 2 ) ? y 2 ? p 2 ,故圆心在焦点上,故 CD ? 2 p, AB ? 4 p ,设直线 2

-7-

l : x ? ty ?


p ,代入 y 2 ? 2 px( p ? 0) 得 y 2 ? 2 pty ? p 2 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? 2 pt, y1 y2 ? ? p 2 , 2

AB ? ( 1 ? t 2 )( 4 p 2t 2 ? 4 p 2 ) ? 2 p(1 ? t 2 ) ? 4 p ,即1 ? t 2 ? 2 ,也即 t ? ?1 .故应选 C.
考点:直线与圆抛物线的位置关系及运用. 6.A 【解析】 试题分析: 当 a ? 0 时,函数 y ? ax2 ? 1, y ? (a ? 2)eax 都是增函数, 但当 x ? 0 时,a ? 2 ? 1 , 不满足题设,所以 a ? 0 ,此时须有 a ? 2 ? 1 才能满足题设,即 ? 1 ? a ? 0 ,所以应选 A. 考点:函数的图象和基本性质的综合运用. 7.C 【解析】 试题分析:因 F (c,0) ,渐近线 bx ? ay ? 0 ,故

bc b ?a
2 2

? 2a ,即 b ? 2a ,也即 c 2 ? 5a 2 ,所以

离心率 e ?

5 .故应选 C.

考点:双曲线的几何性质及运用. 8.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 设 f (?1) f (1) ? 0 , 即 ( ? a ? ln t )( e ? a ? ln t ) ? 0 , 由 于 e ?

1 1 ,故 e e 1 1 a ? e ? ln t ? a ? , 所 以 a ? e ? ln t 且 a ? ? ln t , 因 y ? ln t 在 [1, , e] 上 单 调 递 增 , 故 e e

?a ? e ? 0 1 ? ln t ? [0,1] ,所以 ? ,故 1 ? ? a ? e ,应选 D. 1 e a ? ?1 ? e ?
考点:函数的零点的有关知识及综合运用. 9.A 【解析】 试题分析:设 F (c,0), M (0, ) ,则 k MF ? ? 应选 A. 考点:双曲线的几何性质.
-8-

c 2

1 b ,故 ? 2 ,即 b ? 2a ? c 2 ? 5a 2 ,故 e ? 5 , 2 a

10.D 【解析】 试题分析: 由题设 b ?

??? ? ??? ? 2c 6 ), 6 ,且 B(0, 6 ), F (c,0) ,因 BA ? 2 AF ,故点 A 的坐标为 A( , 3 3

代入双曲线方程可得

c 5 ,结合 b ? 6 可得 a ? 2 ,故应选 D. ? a 2

考点:双曲线几何性质及运用. 【易错点晴】本题考查的是双曲线与抛物线等有关知识的综合运用.解答时充分依据题设条件 所提供的有效信息,先利用抛物线的焦点坐标与双曲线的坐标相同确定双曲线中 b ? 后再借助题设中已知条件 BA ? 2 AF ,求出点 A 的坐标为 A( 程结合 b ? 11.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 成 等 比 数 列 , 且 公 比 为 , 故

6 ,然

??? ?

????

2c 6 , ) ,再将其代入双曲线方 3 3

6 求出 a ? 2 从而使得问题获解.

,选 C.

考点:等比数列的通项及前 项和的综合运用. 12.B 【解析】 试题分析:由题意得 y0 ? 考点:双曲线的离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方 程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13. 3 ? 1 【解析】

b b 2 2 2 2 ,所以 ? 2 ? c ? a ? 4a ? e ? 5 ? 1 ? e ? 5 ,选 B. a a

-9-

试题分析:极坐标方程与直角坐标方程互化依据; ?

? x ? ? cos ? ? ,则点 (2, ) 的直角坐标是; 6 ? y ? ? sin ?

( 3,1)
2 2 ;而 ? ? 2sin ? ,可化为; x + y - 2 y = 0 ,圆心为; (0,1), r =

1

最短距离为; d ? r ?

( 3) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 1 ? 3 ? 1 .

考点:直角坐标与极坐标的互化及点到圆的距离. 【答案】 ? sin ? ? ?2 【解析】 试题分析:由 ? ?

8sin ? , 则; ? cos 2 ? ? 8sin ?, ? 2 cos 2 ? ? 8 ?sin ?, x2 ?8 y cos 2 ?

准线方程为; y ? ?2 ,化为极坐标为; ? sin ? ? ?2 考点:抛物线的性质及极坐标与直角坐标的互化. 15. 100 【解析】 试题分析:由频率分布直方图可求出 [50,60) 的频率;即; 1 ? 0.1 ? 0.24 ? 0.36 ? 0.3 , 则可得; 0.3 ?

30 , n ? 100 n

考点:频率分布直方图的读法. 16. 29 【解析】 试题分析:由题观察所给的式子,分母顺次增加 1,分子为 2 各项分子, 可得第 n 个等式为,

1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n?n ? 1? n ? 1

考点:观察推理能力. 17.(1)最小值为 2 ,最大值为 3 2 ;(2) x - y ? 【解析】 试题分析:(1)由题可先将直线的参数方程化为普通方程,再将曲线 C 的参数方程代入点到 直线的距离公式,然后运用三角函数的性质可求出最值;

3 ? 0,x - y ? 1 ? 0,

- 10 -

(2)由题可先假设存在直线并设出直线方程; x ? y ? n ? 0 ,再化成椭圆的普通方程,与直 线联立然后代入弦长公式,最后回到三角形的面积公式,建立关于 n 的方程可求出 n . 试题解析:(1)直线 l 的参数方程化为直角坐标系方程 x ? y ? 4 ? 0 , 因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从 而 点 Q 到 直 线

l









| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
由此得,当 cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 , 6 2

?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2



时,d 取得最大值,且最大值为 3 2

(2)设 l 平行线 m 方程: x ? y ? n ? 0 ,

? x ? 3 cos? x2 ( ? 为参数) ,得; ? y 2 ? 1, ? 3 ? y ? sin ?
椭圆与直线方程联立再 ,由弦长公式得 AB ? 2 3 3n 4
2

设 O 到直线 m 的距离为 d,则 d ?

n 2

2 n 3 1 1 3n S?AOB ? ? AB ? d ? 2 3? ? 4 2 2 4 2

n ? ? 3或n ? ?1经验证均满足题意
所以满足题意直线 m 有 4 条,方程为: x - y ?

3 ? 0,x - y ? 1 ? 0,

考点:(1)椭圆参数方程及三角函数性质的综合运用;(2)存在性问题及方程思想. 18.(1)(2)见解析 【解析】 试题分析:(1)由题可用反证法证明,需先假设结论的反面“都是奇数”,然后由假设出发, 进行推理可得出一个与条件矛盾的结论,则说明假设不成立,即原来的结论成立.

- 11 -

(2)由题可用综合法证明,即从给出的条件出发,进行变形为 ? ? ? ?

? x? ?z?

2

? y? ? ? 1 ,再建立不 ?z?

2

等关系 0 ? ?

? y? ? ? 1 ,最后运用不等式的性质可证. ?z?

试题解析:(1)(反证法)假设 x,y,z 都是奇数,那么 x 2,y 2,z 2 都是奇数, 所以 x 2 ? y 2 是偶数,所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ,这与已知相矛盾, 所以 x,y,z 不可能都是奇数 (2)∵x,y,z 都是正整数,∴ x n,y n,z n 都是正整数
2 2 ? x? ? y? x? ? y? ? 又∵ x ? y ? z ,则 ? ? ? ? ? ? 1 ,∴ 0 ? ? ? ? 1 , 0 ? ? ? ? 1 ?z? ?z? ?z? ? z?

2

2

2

? x? ? x? ? y? ? y? ∵ n ? N , n ? 2 ,∴ ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ?z? ?z? ?z? ?z?
∴? ? ??

n

2

n

2

? x? ?z?

n

? y? ? x? ? y? n n n ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,所以 x ? y ? z ?z? ?z? ? z?

n

2

2

考点:(1)反证法的运用及推理论证能力.(2)综合法证明不等式及变形转化能力.

? 2 t ?x ? ? 2 19.(1) ? ? y ? ?4 ? 2 t ? ? 2
【解析】

, x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ;(2)16, 2

2

试题分析:(1)由题可先求直线的参数方程,已知过点及倾斜角,可设出参数得参数方程, 再由圆的极坐标方程,两边同乘 ? 可代换出普通方程. (2)由题为直线与圆相交问题,由(1)已知方程,可将直线的参数方程代入圆的方程,可 得关于参数 t 的方程,再分别表示出 | PA | ? | PB | 和 | AB | ,可求出值.

? ? 2 ? x ? 0 ? t cos t ?x ? ? ? ? 4 2 试题解析: (1)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),即 ? (t 为 ? 2 ? y ? ?4 ? t sin ? y ? ?4 ? t ? ? ? 4 ? 2
参数)

- 12 -

? ? ? 4 cos ? ,? ? 2 ? 4? cos? ,? x2 ? y 2 ? 4 x ? 圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0

? 2 t ?x ? ? 2 (2)把 ? 代入 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,化简得 t 2 ? 6 2t ? 16 ? 0 ? y ? ?4 ? 2 t ? ? 2
? ? 72 ? 64 ? 8 ? 0 ,设 | PA |?| t1 |,| PB |?| t2 | ,则 t1 ? t2 ? 6 2, t1t2 ? 16

? | PA | ? | PB |?| t1 || t2 |?| t1t2 |? 16

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 72 ? 64 ? 2 2
考点:(1)直线的参数方程及圆的极坐标与直角坐标的互化. (3)直线的参数方程与圆的 问题.

20.(1) 3x ? y ? 2 ? 0 ;(2) f ( x)min

?2(a ? 0) ? ? ?2 ? 2a a(0 ? a ? 1) ?3 ? 3a(a ? 1) ?

【解析】
3 试题分析:(1)由 f ( x) ? x ? 3ax ? 2(a ? R) 及 a ? 1 ,求 (0, f (0)) 处的切线方程,可由求

切线方程的步骤,先求出导数,再求出该点处的导数值即斜率,代入点斜式可得; ( 2 ) 由 题 求 [0,1] 上 的 最 小 值 为 , 可 按 求 函 数 最 值 得 步 骤 , 先 求 导

f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x 2 ? a) ,因为 a 值不确定,需对它进行分类讨论来分别解决,(确定
单调性,求极值,最后与区间端点值比较),最后综合所有情况可得. 试题解析:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ? 2 ,切点为 (0,2)
3

? f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ,? 切线的斜率为 k ? f ' (0) ? ?3
切线方程为 y ? ?3x ? 2 ,即 3x ? y ? 2 ? 0 (2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x 2 ? a) 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [0,1] 上为增函数,? f ( x) min ? f (0) ? 2 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3( x 2 ? a) ? 3( x ? a )(x ? a )

- 13 -

①若 0 ? 当0 ? x ?

a ? 1,即 0 ? a ? 1 时,
' ' a 时, f ( x) ? 0 ,当 a ? x ? 1时, f ( x) ? 0

? f ( x) 在 [0, a ) 上为减函数,在 ( a ,1] 上为增函数,? f ( x) min ? f ( a ) ? 2 ? 2a a
②若 a ? 1 ,即 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [0,1] 上为减函数

? f ( x) min ? f (1) ? 3 ? 3a

综上: f ( x)min

?2(a ? 0) ? ? ?2 ? 2a a(0 ? a ? 1) ?3 ? 3a(a ? 1) ?

考点:1.运用导数求曲线上某点的切线方程;2.导数求函数的最值及分类思想; 21.(1) 【解析】 试题分析: (1) 由题已知椭圆方程; C: 的方程组可得椭圆方程. (2)由题为存在性问题,可假设存在圆,再设出切线方程 y ? kx ? m 与(1)中的椭圆方程 联立,设出 A, B 两点坐标并运用根与系数的关系表示出 k , m ,结合条件 OA ? OB ,可建立

8 x2 y 2 2 2 ? ? 1 ;(2) x ? y ? 3 8 4

x2 y2 过两点可代入方程, 解关于 a 2 , b2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 2 a b

??? ?

??? ?

k , m 的方程,再由圆的半径建立 k , m 的关系可求出半径,得出圆的方程.
试题解析:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ),N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 ?a b ? a2 8 x2 y 2 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m

??? ?

??? ?

- 14 -

? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

4km ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ?

??? ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 2 2 所以 k ? ,所以 m ? , ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 3 8 ?3m ? 8
2

即m?

2 6 2 6 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, 3 3

所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,

r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 ? 2 6 2 , 3m ? 8 3 , r ? 1? 3 8

2 2 所求的圆为 x ? y ?

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 8 4 3 3 3

或 (?

??? ? ??? ? 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3
8 , 3

2 2 综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?

使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 考点:(1)椭圆的定义及方程思想.(2)存在性问题及直线与椭圆和方程思想,代数运算 能力; 22.(1) m ? ?3, n ? 0 ,增区间为 (??,0),(2, ??) ,减区间为 (0, 2) ;(2) a ? 9
- 15 -

??? ?

??? ?

【解析】 试题分析:(1)由过点(-1,-6),及 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 关于 y 轴对称可建立关于 m, n 的方 程可求出解析式,求 f ( x) 的单调区间,可求 f ( x) 的导数,运用导数求函数的单调性,增区 间则 f ?( x) ? 0 ,减区间为 f ?( x) ? 0 ,求出不等式的解集可得. (2)由在给定的区间上 h( x) ? f ( x) ? ax ,则可运用导数求导,转化为 a ? 3x 2 ? 6 x 在区间 上恒成立问题,求出 a ? (3x ? 6x)max 可得;
2

试题解析:(1)由函数 f ? x ? 图象过点(-1,-6),得 m ? n ? ?3 , 由 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 ,得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2mx ? n , a ? 9 则 g ( x) ? f ' ( x) ? 6 x ? 3x2 ? (2m ? 6) x ? n , 而 g ( x) 图象关于 y 轴对称,所以-

2m ? 6 =0,所以 m=-3,代入①得 n=0. 2?3
由 f ' ( x) ? 0 得 x>2 或 x<0,

于是 f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) .

故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由 f ' ( x) ? 0 得 0<x<2,故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由 h' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? a ? 0 在(-1,1)上恒成立, 得 a ? 3x 2 ? 6 x 对 x ? ? ?1,1? 恒成立.? ?1 ? x ? 1,?3x2 ? 6 x ? 9 ,∴ a ? 9 考点:1.函数的性质及运用导数求函数的单调性;(2)函数的单调性及最值思想. 23.(1)8; 【解析】 试题分析:(1)由题已知抛物线方程; y 2 ? 8x , l 过抛物线的焦点 F,且垂直于 x 轴,易求 出 A、B 两点坐标,运用两点间的距离公式可得; (2)由题可先求出直线 l 方程并与抛物线方程联立,再设出 C , D 两点坐标,运用根与系数的 关系可求出弦长,最后利用三角形的面积公式可得. 试题解析:(1)∵抛物线方程为 y 2 ? 8x ,∴焦点 F (2, 0) ,又直线 l 过焦点,且垂直于 x 轴, (2) 8 2

- 16 -

∴ l 的方程为 x ? 2 ,联立方程组 ?

? y 2 ? 8x ?x ? 2 ? x ? 2 或? ,解得 ? ∴ A(2, 4), B(2, ?4) , ? y ? 4 ? y ? ?4 ? x?2

AB ? (2 ? 2) 2 ? (4 ? 4) 2 ? 8 .
(2)由(1)焦点 F (2, 0) ,直线 l1 倾斜角为 45 ? ,直线 l1 的斜率 k ? tan 45? ? 1,其方程为

? y 2 ? 8x y ? x ? 2 ,设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ),联立方程组 ? ? y 2 ? 8 y ? 16 ? 0, y1 ? y2 ? 8, ?y ? x ? 2
y1 ? y2 ? ?16 .∴ y1 ? y2 ?
∴△OCD 的面积为 S ?

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 ? y2 ? 8 2 ,又 OF ? 2 ,

1 OF ? y1 ? y2 ? 8 2 . 2

考点:(1)抛物线的性质及弦长.(2)直线与抛物线的位置关系及几何性质的运用; 24.(1)2;(2)见解析;(3) ?6 ? a ? 0 【解析】 试题分析:(1)由题已知函数在点 ? 0, a ? 处的切线方程为 y ? bx ? 1 ,可得 f ?(0) ? b, 又过点

(0,1) ,可分别建立关于 a , b 的方程组,求得 a , b 的值;
(2)由题函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ?m ? 1?x 2 ? 2m 2 ? 2 x ? 1 (含参数),已知极小值,可先求 2

?

?

导,然后对参数 m 分情况讨论,可分别出函数的单调区间及对应的极小值,解方程可得 m . (3)由任意的 x1 , x2 ? ?? 1,0??x1 ? x2 ? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? t x1 ? x2 恒成立问题,可进行 变量分离得; t ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? x2

,再联系导数 f ??x0 ? ? x0 ? x0 ? 2 在给定区间上的值域问
2

题,可得 t 的取值范围. 试题解析:(1)? 函数 f ? x ? 的图象在与 y 轴交点为 ?0, a ? ,? a ? 1 , 又 f ??x ? ? x 2 ? x ? 2 ,? f ??0? ? b ? 2. (2)由(1)得 f ? x ? ?

1 3 1 2 1 m x ? x ? 2 x ? 1, g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? 2m 2 x, 3 2 3 2

? g ??x? ? x 2 ? mx ? 2m 2 ? ?x ? 2m??x ? m?
①当 m ? 0 时, g ??x ? ? x 2 ? 0 恒成立,不存在极值; k.Com] ②当 m ? 0 时,由 g ??x ? ? 0, 得 x ? m 或 x ? ?2m ,由 g ??x ? ? 0, 得 m ? x ? ?2m,

- 17 -

? g ?x ? 在 ?? ?, m?, ?? 2m,??? 上单调递增,在 ?m,?2m? 单调递减,
? g ?x?极小值 ? g ?? 2m ? ?
10 3 10 m ? ? , m ? ?1; 3 3

③当 m ? 0 时,由 g ??x ? ? 0, 得 x ? ?2m 或 x ? m ,由 g ??x ? ? 0, 得 ? 2m ? x ? m,

? g ?x ? 在 ?? ?,?2m?, ?m,??? 上单调递增,在 ?? 2m, m? 单调递减,
7 10 20 3 980 ? g ?x?极小值 ? g ?m ? ? ? m 3 ? ? , m ? 3 ? . 6 3 7 7
综上所述,实数 m ? ?1 或 m ?
3

980 . 7

(3)对任意的 x1 , x2 ? ?? 1,0??x1 ? x2 ? ,不等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? t x1 ? x2 恒成立, 则t ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? x2

任意的 x1 , x2 ? ?? 1,0??x1 ? x2 ? 恒成立,

又在区间 ?? 1,0? 上一定存在 x0 ,使 f ??x0 ? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? , x1 ? x2
? 5 ? ,?2 ? ? 4 ?

而在区间 ?? 1,0? 上, f ??x0 ? ? x0 ? x0 ? 2 的值域为 ??
2



f ?x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? x2

? 5? ? ? 2, ? , ? 4?

所以, t ? 2.

考点:(1)运用导数的几何意义及方程思想;(2)运用导数求函数的单调性及分类思想. (3)导数的运用及恒成立中的最值思想.

- 18 -



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