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华师大二附中2013届高三数学周测19



华师大二附中 2013 届高三数学周测 19
一. 填空题(本大题满分 56 分) 1、已知 z ? C ,若 z ? z ? 2 ? 4i ,则 z 的值为__________. 2、 已知: 函数 f ( x ) ? ?
1

? log 3 x

( 0 ? x ? 9)

?? x ? 11 ( x ? 9)

, a , , 均不相等, f (a) ? f (b) ? f (c) , 若 且 b c

则 a ? b ? c 的取值范围是_____________.

n 3 、 定 义 m i ?a, b? ? ?

?a a ? b , 若 等 差 数 列 ?a n ? 的 公 差 d ? 0 , 令 函 数 ?b a. ? b

f i ( x) ? x ? ai ? ai .(i ? 1,2,? n), g ( x) ? min ?f1 ( x), f 2 ( x), ? f n ( x) ?,则下列四个结论
中,错误的序号是________. ① g ( x) ? f n ( x) ④ g max ( x) ? a1 ② g ( x ? d ) ? g ( x) ? d ③ f n ( x ? d ) ? f n ?1 ( x) ? d ⑤

g min ( x) ? a n

4、已知同一平面上的向量→、→、→两两所成的角相等,并且|→|=2,|→|=3,|→|=4, a b c a b c 则向量→+→+→的长度为________. a b c 5.函数 y ? ? ? 3arcsin 6、函数 f ( x) ?

1 2 ? x ? 4 x ? 5 ? 的值域为________. 2

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域为________. 2 2

7 、 已 知 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 {an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 存 在 两 项 am 、 an 使 得

am ? an ? 2 2a1 ,则 1 ? 4 的最小值为________.
m n

8、已知二次函数 y ? f (x) 的图像为开口向下的抛物线,且对任意 x ? R 都有 f (1 ? x)

? f (1 ? x) .若向量 a ? ( m ,?1) , b ? ( m ,?2) ,则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的 m
取值范围为________. 9、数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,
n 1 1 t ?4 ? ,记 S n ? ? ai2 ,若 S2 n ?1 ? S n ? 对任意的 2 an an ?1 30 i ?1

n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为________. 2 2 10、 a, b 取遍所有实数时, 当 则函数 f (a, b) ? (a ? 5 ? 3 cosb ) ? (a ? 2 sin b ) 所能达到的
最小值为________. 11、 已知正三棱锥 P ? ABC 侧棱长为 1, PA, PB, PC 两两垂直, 且 以顶点 A 为球心,

2 3 3

为半径作一个球, 则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线, 则这条封闭曲线

的长度为________.

? x ? 2 x ,  x ? 0, 2 12、设函数 f ( x) ? ? 则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为________. ?? 2 sin 2 x, x ? 0.
13 、 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0 x x

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是________. 14、有下列四个命题: (1)一定存在直线 l ,使函数 f ( x) ? lg x ? lg 于直线 l 对称; (2)不等式: arcsin x ? arccos x 的解集为 ?

1 的图像与函数 g ( x) ? lg(? x) ? 2 的图像关 2

? 2 ? ,1? ; ? 2 ?

(3)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? (?1) n , n ? N ? ,则数列 ? an ? 一定是等比数列; (4)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的任意一点 M ( x? , y? ) 的切线方程一定可以表示为
2

y0 y ? p( x ? x0 ) .
二. 选择题(本大题满分 20 分)

则正确命题的序号为________.

15 、 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知

? a7 ? 1?


3

? 2012( a7 ? 1) ? 1 ,

? a2006 ? 1?

3

? 2012(a2006 ? 1) ? ?1 ,则下列结论正确的是(

A. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 C. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

B. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 D. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7
D1 P C1

16、 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的 中点,Q 为 A1 B1 上任意一点,E、F 为 CD 上任意两点, EF 且 的长为定值, 则下面的四个值中不为定值的是 A. 点 P 到平面 QEF 的距离 B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角
A A1

Q B1

(

)
D E C

F

B

C. 三棱锥 P ? QEF 的体积 D.二面角 P ? EF ? Q 的大小

17、函数 y ?
A.[ - 2, 0]

1? x 的值域为( x?2
B. [ - 2, +?


轹1 D. - , + 滕2
2

)

轾1 C. 犏 , 0 犏2 臌

÷ ÷
2

18、命题甲:直线 ax ? y ? c ? 0 与圆 x ? y ? 50 有公共点,且公共点为整点,则这样的 直线有 71 条。 命题乙:直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 25 有公共点,且公共点为整点,则这样的
2 2

直线有 71 条。则 ( A、甲乙均为真命题

) B、甲乙均为假命题 D、乙为真命题,甲为假命题。

C、甲为真命题,乙为假命题 三.解答题(本大题满分 74 分) 19、设 a ? (sin 2

?

? x , cos x ? sin x) , b ? (4 cos x, cos x ? sin x) , 2

? ? f ( x) ? a ? b 。 (1)求 f (x) 的解析式;
(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 3 sin x , x ? [0,2? ] 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的 交点,求实数 k 的取值范围。

20、如图,五面体 A ? BCC1 B1 中, AB1 ? 4 .底面 ABC 是正三 角形,AB ? 2 . 四边形 BCC1 B1 是矩形, 二面角 A ? BC ? C1 为 直二面角. (1) D 在 AC 上运动,当 D 在何处时,有 AB1 ∥平面 BDC1 ,并 且说明理由; (2)当 AB1 ∥平面 BDC1 时,求二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值.

B1

C1

B D A

C

21 、 已 知 y ? ax ?

b ?a ? 0, b ? 0, x ? 0? 单 调 减 区 间 是 x

? b ? ,0 ? , 单 调 增 区 间 是 ?? a ? ? ?

? b? 1 ?1 ? ? ? ?,? ? .设 g ?x ? ? 2 x ? , x ? ? ,4? . ? a? x ?4 ? ?
(1)求 g ? x ? 的单调区间(简单说明理由,不必严格证明) (2)证明 g ? x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? ? 2 ? ? ?

( 3 ) 设 已 知 函 数 f ( x) ( x ?[a, b]) , 定 义 : f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中, min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最 小值,max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值. 例如: f ? x ? ? sin x, x ? ?? 则 f 1 ? x ? ? ?1, x ? ??

? ? ?? , ?, ? 2 2?

? ? ?? ? ? ?? , ? f 2 ?x ? ? sin x, x ? ?? , ? 设 ? 2 2? ? 2 2? g ?x ? ? g ?2 x ? g ?x ? ? g ?2 x ? ,不等式 p ? ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? ? m 恒成立,求 p, m 的 ? ?x ? ? ? 2 2

取值范围

22、设 C1 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) , C2 是以 直线 2 x -

3 y = 0 与 2x +

3 y = 0 为渐近线,以 0,

(

7 为一

)

个焦点的双曲线. (1)求双曲线 C2 的标准方程; (2)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点 A 和 B ,求 p 的

??? ??? ? ? 取值范围,并求 FA×FB 的最大值;
(3)若 D FAB 的面积 S 满足 S =

? ? 2 ??? ??? FA FB ,求 p 的值. 3

23、 (本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)
2

若数列 ? an ? 满足:a1 ? m1 , a2 ? m2 , an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数) 则称数列 ? an ? 为二阶 , 线性递推数列,且定义方程 x ? px ? q 为数列 ? an ? 的特征方程,方程的根称为特征根;数 列 ? an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得: ①若方程 x ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其
2

中 c1 , c2 是待定常数) ; ②若方程 x ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 an ? (c1 ? nc2 )? n , (其中
2

c1 , c2 是待定常数) ; 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .根据上述结论求下列问题:
(1)当 a1 ? 5, a2 ? 13 , an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式; (2)当 a1 ? 1, a2 ? 11 , an ? 2 ? 2an ?1 ? 3an ? 4 ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式;
1 2 n (3)当 a1 ? 1, a2 ? 1 , an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ? )时,记 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? anCn ,

若 S n 能被数 8 整除,求所有满足条件的正整数 n 的取值集合.

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四. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1、已知 z ? C ,若 z ? z ? 2 ? 4i ,则 z 的值为__________.
1

3 4 ? i 25 25
2、 已知: 函数 f ( x ) ? ?

? log 3 x

( 0 ? x ? 9)

?? x ? 11 ( x ? 9)

, a , , 均不相等, f (a) ? f (b) ? f (c) , 若 且 b c

则 a ? b ? c 的取值范围是_____________. (9,11)

n 3 、 定 义 m i ?a, b? ? ?

?a a ? b , 若 等 差 数 列 ?a n ? 的 公 差 d ? 0 , 令 函 数 ?b a. ? b

f i ( x) ? x ? ai ? ai .(i ? 1,2,? n), g ( x) ? min ?f1 ( x), f 2 ( x), ? f n ( x) ?,则下列四个结论
中,错误的序号是 ① g ( x) ? f n ( x) ④ g max ( x) ? a1 (2) (4) ② g ( x ? d ) ? g ( x) ? d ③ f n ( x ? d ) ? f n ?1 ( x) ? d ⑤

g min ( x) ? a n

4、已知同一平面上的向量→、→、→两两所成的角相等,并且|→|=2,|→|=3,|→|=4, a b c a b c 则向量→+→+→的长度为 a b c 5.函数 y ? ? ? 3arcsin 6、函数 f ( x) ? 。9 或 3

1 2 ? x ? 4 x ? 5 ? 的值域为 2

? ? ?? . ?? , ? ? 2 2?


1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域为 2 2

? 2? ? ?1, ? 2 ? ?
7 、 已 知 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 {an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 存 在 两 项 am 、 an 使 得

am ? an ? 2 2a1 ,则 1 ? 4 的最小值为
m n

11 6

8、已知二次函数 y ? f (x) 的图像为开口向下的抛物线,且对任意 x ? R 都有 f (1 ? x)

? f (1 ? x) .若向量 a ? ( m ,?1) , b ? ( m ,?2) ,则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的 m

取值范围为

?0,1?
n 1 1 t ?4 ? ,记 S n ? ? ai2 ,若 S2 n ?1 ? S n ? 对任意的 2 an an ?1 30 i ?1

9、数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

10 n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为 2 2 10、 a, b 取遍所有实数时, 当 则函数 f (a, b) ? (a ? 5 ? 3 cosb ) ? (a ? 2 sin b ) 所能达到的 最小值为_____________;2 11、 已知正三棱锥 P ? ABC 侧棱长为 1, PA, PB, PC 两两垂直, 且 以顶点 A 为球心,

2 3 3

为半径作一个球, 则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线, 则这条封闭曲线 的长度为_____________. 12、 设函数 f ( x) ? ?

3 ? 2
则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为__________.3
2

? x ? 2 x ,  x ? 0, ?? 2 sin 2 x, x ? 0.

13 、 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0 x x
. (?4, ?2)

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 14、有下列四个命题: (1)一定存在直线 l ,使函数 f ( x) ? lg x ? lg 关于直线 l 对称; (2)不等式: arcsin x ? arccos x 的解集为 ?

1 的图像与函数 g ( x) ? lg(? x) ? 2 的图像 2

? 2 ? ,1? ; ? 2 ?

(3)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? (?1) n , n ? N ? ,则数列 ? an ? 一定是等比数列; (4)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的任意一点 M ( x? , y? ) 的切线方程一定可以表示为
2

y0 y ? p( x ? x0 ) .
则正确命题的序号为_________________. (4) (3) 五. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15 、 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知

? a7 ? 1?

3

? 2012( a7 ? 1) ? 1 ,

? a2006 ? 1?

3

? 2012(a2006 ? 1) ? ?1 ,则下列结论正确的是( A )

A. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 C. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

B. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 D. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

16、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上 任意一点,E、F 为 CD 上任意两点, EF 的长为定值, 且 则下面的四个值中不为定值的是 A. 点 P 到平面 QEF 的距离
A1

( B

)
P

D1

C1

Q B1

B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C. 三棱锥 P ? QEF 的体积 D.二面角 P ? EF ? Q 的大小 17、函数 y ?
A.[ - 2, 0]
D E C

F

A

B

1? x 的值域为( C ) x?2
)
轾1 C. 犏 , 0 犏2 臌 轹1 D. - , + 滕2 ÷ ÷

B. [ - 2, +?

18、命题甲:直线 ax ? y ? c ? 0 与圆 x ? y ? 50 有公共点,且公共点为整点,则这样的
2 2

直线有 71 条。 命题乙:直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 25 有公共点,且公共点为整点,则这样的
2 2

直线有 71 条。则 ( A、甲乙均为真命题

B ) B、甲乙均为假命题 D、乙为真命题,甲为假命题。

C、甲为真命题,乙为假命题 六.解答题(本大题满分 74 分) 19、设 a ? (sin 2

?

? x , cos x ? sin x) , b ? (4 cos x, cos x ? sin x) , 2

? ? f ( x) ? a ? b 。
(1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 3 sin x , x ? [0,2? ] 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的 交点,求实数 k 的取值范围。 解: (1) f ( x) ? a ? b ? 4 cos x sin 2

? ?

x ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 cos x(1 ? cos x) ? cos 2 x 2

? 2 c o s ?1 x
(2) g ( x) ? f ( x) ? 2 3 sin x ? 2 cos x ? 2 3 sin x ? 1 ①当 x ? [0, ? ] 时, g ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x ? 1 ? 4 sin(x ?

?
6

) ?1

②当 x ? [? ,2? ] 时, g ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x ? 1 ? ?4 sin(x ?

?
6

) ?1

? ? ?4 sin(x ? 6 ) ? 1, x ? [0, ? ] ? 所以, g ( x) ? ? ?? 4 sin(x ? ? ) ? 1, x ? [? ,2? ] ? 6 ?
g (x) 的图象如图所示:

y

3
1 O

? 2?

x

?3
所以,图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点时,实数 k 的取值范围是 [1,3)

20、如图,五面体 A ? BCC1 B1 中, AB1 ? 4 .底面 ABC 是正 三角形,AB ? 2 . 四边形 BCC1 B1 是矩形, 二面角 A ? BC ? C1 为直二面角. (1) D 在 AC 上运动,当 D 在何处时,有 AB1 ∥平面 BDC1 , 并且说明理由; (2) AB1 ∥平面 BDC1 时, 当 求二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值. 解: (Ⅰ)当 D 为 AC 中点时,有 AB1 ∥平面 BDC1 . 证明:连结 B1C交BC1于O, 连结 DO , ∵四边形 BCC1 B1 是矩形 ∴ O 为 B1C 中点 ∵ AB1 ∥平面 BDC1 , 且 AB1 ? 平面 BDC1 , DO ? 平面 BDC1 ∴ DO ∥ AB1 , ∴ D 为 AC 的中点. (Ⅱ)建立空间直角坐标系 B ? xyz 如图所示, 则 B(0,0,0) , A( 3,1,0) , C (0,2,0) , z

B1

C1

B D A

C

B1

C1

D(

3 3 , ,0) , C1 (0,2,2 3 ) 2 2

O

B
x

Cy D A

所以 BD ? (

3 3 , ,0), BC1 ? (0,2,2 3 ). 2 2

设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 BDC1 的法向量,

? ? ? ??? ?? 3 3 ? BD ? n1 ? x? y ?0 , 则有 ? ???? ?? 2 ? ? 2 ? BC1 ? n1 ? 2 y ? 2 3z ? 0 ? ?x ? ? 3 y ? 即? ? y ? ? 3z ? 令 z ? 1 ,可得平面 BDC1 的一个
法向量为 n1 ? (3,? 3 ,1) , 而平面 BCC1 的法向量为 n 2 ? (1,0,0) , 所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 13

?

3 13 , 13

所以二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值为

3 13 . 13

21 、 已 知 y ? ax ?

b ?a ? 0, b ? 0, x ? 0? 单 调 减 区 间 是 x

? b ? ,0 ? , 单 调 增 区 间 是 ?? a ? ? ?

? b? 1 ?1 ? ? ? ?,? ? .设 g ?x ? ? 2 x ? , x ? ? ,4? . ? a? x ?4 ? ?
(1)求 g ? x ? 的单调区间(简单说明理由,不必严格证明) (2)证明 g ? x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? ? 2 ? ? ?

( 3 ) 设 已 知 函 数 f ( x) ( x ?[a, b]) , 定 义 : f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中, min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最 小值,max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值. 例如: f ? x ? ? sin x, x ? ?? 则 f 1 ? x ? ? ?1, x ? ??

? ? ?? , ?, ? 2 2?

? ? ?? ? ? ?? , ? f 2 ?x ? ? sin x, x ? ?? , ? 设 ? 2 2? ? 2 2? g ?x ? ? g ?2 x ? g ?x ? ? g ?2 x ? ? ?x ? ? ? ,不等式 p ? ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? ? m 恒成立,求 p, m 的 2 2

取值范围 (1) ? g ? x ? ? 2 x ?

1 为奇函数. 奇函数在对称区间单调性相同---------- 2 分 x

?1 2 ? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减------------------------------------------------------------------3 分 ?4 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增-----------------------------------------------------------------4 分 g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ?
(2)用最值的定义证明---------------------------------------------------------------------5 分

?1 2 ? ?1 2 ? ?1? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减,对任意 x ? ? , ? ,都有 g ? ? ? g ? x ? ? ?4? ?4 2 ? ?4 2 ?

? 2? ? g? ? 2 ? ----7 分 ? ?

? 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增,对任意 x ? ? ,4? ,都有 g ?4 ? ? g ? x ? ? g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ? ? 2 ?
综上, g ? x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? g? ? 2 ? --9 分 ? ?

? 2? ? ? 2 ? ----------------------------------------------------------------10 分 ? ?

文(3) g1 ? x ? ? ?

? 2 ?2 x ? x ? 4 ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? --------------------------------------12 分 x ? ?1,4?

g 2 ?x ? ?

17 -------------------------------------------------------------14 分 2

? 17 2 ? 2 ? 2x ? x ? g1 ?x ? ? g 2 ?x ? ? ? 9 ? ? 2 ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? ---------------------------------15 分 x ? ?1,4?

g1 ? x ? ? g 2 ? x ? 的最小值为 0------------------------------------------------17 分
p ? 0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------18 分
理(3)先求定义域 x ? ? ,2? 4

?1 ? ? ?

? ?1 1 ? g ?x ? x ? ? , ? g ? x ? ? g ?2 x ? g ? x ? ? g ?2 x ? ? ? ? 4 2 ? ------------12 分 ? ?x ? ? ? ?? 2 2 ? g ?2 x ? x ? ? 1 ,2? ?2 ? ? ? ? ?

? ? 3 ? ?1 ? x ? ? ? ?2 x ? 1 ? x ?

?1 ? x ? ? ,2? ? 2 ? ---------------------------------------------13 分 ?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ?

? 9 ? ? ? 2 ?x ? ? ? 2 ?4 x ? 1 ? 2x ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? -----------------------------------------14 分 x ? ?1,2?

? 1 9 ? 2x ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? ? 2 ? ?3 ? 4 x ? 1 ? 2x ?

?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ? ?1 ? x ? ? ,1? ?2 ? x ? ?1,2?

由题设条件可得 ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? 的最小值为 ? 5.25 -----------------------------15 分

?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? 的最大值为 0-------------------∴ p ? ? 5.25 m ? 0

22、 C1 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,C2 设 是以直线 2 x -

3 y = 0 与 2x +

3 y = 0 为渐近线,以

(0,

7 为一个焦点的双曲线.

)

(1)求双曲线 C2 的标准方程; (2)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点 A 和 B ,

??? ??? ? ? 求 p 的取值范围,并求 FA×FB 的最大值;
(3)若 D FAB 的面积 S 满足 S = (1)由于双曲线 C2 的焦点 0,

? ? 2 ??? ??? FA FB ,求 p 的值. 3
7 在 y 轴上,设 C2 的标准方程为

(

)

y 2 x2 = 1 (a, b > 0) . a 2 b2
一方面,显然有 a 2 + b2 = 7 ; 另一方面, C2 的渐近线方程为 y = 2分

a a 2 . x ,与已知条件相比较得 = b b 3

解得 a 2 = 4, b2 = 3 . 故 C2 的标准方程为

y 2 x2 = 1. 4 3
x2 .

4分

(2)设 A( x1 , y1 ), B (x2 , y2 ) ,其中 x1 , y1 , x2 , y2 > 0, x1 将 y 2 = 2 px 代入

y 2 x2 = 1 ,并化简得: 2 x 2 - 3 px + 6 = 0 . 4 3

5分

由已知得,该方程有两个不相等的正根 x1 , x2 ,故 D = 9 p 2 - 48 > 0 且 3 p > 0 ,解得 p 的取值范围是 p >

4 3 . 3

6分

在上述条件下,有 x1 + x2 =

3p , x1 x2 = 3 . 2

7分

骣 p 又注意到 F ? , 0÷,故 ? ?2 ÷ 桫 ÷ ??? ??? ? ? FA ?FB
2 骣 p鼢 骣 珑1 - 鼢x2 - p + y1 y2 = x1 x2 - p ( x1 + x2 ) + p + x 珑 珑 2鼢 桫 桫 2 2 4

2 px1

2 px2
9分 10 分 11 分

= 3当 p= 2 3>

p 3p ? 2 2

2 1 p2 p- 2 3 + 9 + 2 3p = 4 2

(

)

9,

4 3 时,上述等号取到. 3

??? ??? ? ? 故 FA×FB 的最大值为 9.
??? ??? ? ? (3)设向量 FA, FB 的夹角为 q .

? ? 2 ??? ??? FA FB 的条件下,利用三角形面积公式及数量积定义可得: 3 ? ? ? ? 1 ??? ??? 2 ??? ??? FA ? FB sin q FA FB cos q , 2 3 ??? ??? ? ? FA ×FB 3 4 即 tan q = .从而 ??? ??? = cos q = . ? ? 5 3 FA × FB
在S= 一方面,由抛物线的定义可知

13 分

??? ??? ? ? FA ? FB

2 骣 p鼢 骣 珑1 + 鼢x2 + p = x1 x2 + p ( x1 + x2 ) + p x 珑 珑 2鼢 桫 桫 2 2 4

p 3 p p2 = p2 + 3 . ? 2 2 4 ??? ??? ? ? p2 另一方面,由(2)的计算可得 FA ?FB + 2 3 p + 3 ,所以 2 = 3+

15 分

-

p2 + 2 3p + 3 3 2 = , 2 p +3 5

化简得 11 p 2 - 20 3 p - 12 = 0 ,即 11 p + 2 3 p - 2 3 = 0 . 注意到 p >

(

)(

)

17 分 18 分

4 3 ,故 p = 2 3 . 3

23、 (本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)
2

若数列 ? an ? 满足:a1 ? m1 , a2 ? m2 , an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数) 则称数列 ? an ? 为 , 二阶线性递推数列,且定义方程 x ? px ? q 为数列 ? an ? 的特征方程,方程的根称为特 征根; 数列 ? an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得: ①若方程 x ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其
2

中 c1 , c2 是待定常数) ; ②若方程 x ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 an ? (c1 ? nc2 )? n , (其中
2

c1 , c2 是待定常数) ; 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .
根据上述结论求下列问题: (1)当 a1 ? 5, a2 ? 13 , an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式; (2)当 a1 ? 1, a2 ? 11 , an ? 2 ? 2an ?1 ? 3an ? 4 ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式;
1 2 n (3)当 a1 ? 1, a2 ? 1 , an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ? )时,记 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? anCn ,

若 S n 能被数 8 整除,求所有满足条件的正整数 n 的取值集合. 解: (1)由 an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an 可知特征方程为:

x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , x1 ? 2, x2 ? 3 …………………3 分
所以 设 an ? c1 ? 2n ? c2 ? 3n ,由 ?

? c1 ? 2 ? c2 ? 3 ? 5 得到 c1 ? c2 ? 1 , ?c1 ? 4 ? c2 ? 9 ? 13

所以

an ? 2n ? 3n ; …………………6 分

(2)由 an ? 2 ? 2an ?1 ? 3an ? 4 可以得到 (an ? 2 ? 1) ? 2(an ?1 ? 1) ? 3(an ? 1) 设 bn ? an ? 1 ,则上述等式可以化为: bn? 2 ? 2bn?1 ? 3bn …………………8 分

b1 ? a1 ? 1 ? 2, b2 ? a2 ? 1 ? 12 ,所以 bn?2 ? 2bn?1 ? 3bn 对应的特征方程为:
x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , x1 ? ?1, x2 ? 3 …………………10 分

所以令

7 ? ? c1 ? 6 ? bn ? c1 ? 3n ? c2 ? (?1) n ,由 b1 ? 2, b2 ? 12 可以得出 ? ?c ? 3 ? 2 2 ?
7 n 3 n ? 3 ? ? ? ?1? …………………11 分 6 2

所以 bn ? 即

7 3 n an ? ? 3n ? ? ? ?1? ? 1, n ? N ? …………………12 分 6 2

n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? (3)同样可以得到通项公式 an ? ………14 分 ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?
1 2 3 n 所以 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ? ? anCn

1 1 2 2 3 3 1 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 2 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 3 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? Cn ?? Cn ?? Cn ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1 n ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ?? ? Cn ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? 5 ? 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ] ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? 5 ? 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ] ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?
n n n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 1 ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ?? ? …………………14 分 Sn ? ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?

1

2

3

n

1

2

3

n



Sn ? 2

1 ?? 3 ? 5 ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? ? ?

n?2

? 3? 5 ? ?? ? 2 ? ? ? ?

n?2

? 1 ?? 3 ? 5 ?n ?1 ? 3 ? 5 ?n ?1 ? ?? ?? ? ? ?? ? 2 ? ?? ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ??

n n ? ? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

? 3Sn ?1 ? Sn


Sn? 2 ? 3Sn?1 ? Sn , n ? N ? …………………16 分

因此 Sn ? 2 除以 8 的余数,完全由 S n ?1 , S n 除以 8 的余数确定, 因为 a1 ? 1, a2 ? 1 所以
1 S1 ? C1 a1 ? 1 ,

1 2 S2 ? C2 a1 ? C2 a2 ? 3 , S3 ? 3S2 ? S1 ? 9 ? 1 ? 8 ,

S4 ? 3S3 ? S2 ? 24 ? 3 ? 21, S5 ? 3S4 ? S3 ? 63 ? 8 ? 55 , S6 ? 3S5 ? S4 ? 165 ? 21 ? 144 , S7 ? 3S6 ? S5 ? 432 ? 55 ? 377 , S8 ? 3S7 ? S6 ? 1131 ? 144 ? 987 , S9 ? 3S8 ? S7 ? 2961 ? 377 ? 2584 ,
由以上计算及 Sn ? 2 ? 3Sn ?1 ? Sn 可知,数列 ? S n ? 各项除以 8 的余数依次是:

1, 3, 0, 5, 7, 0,1, 3, 0, 5, 7, 0, ??, 它是一个以 6 为周期的数列,从而 S n 除以 8 的余数等价
于 n 除以 3 的余数,所以 n ? 3k , k ? N ? ,
? 即所求集合为: n n ? 3k , k ? N …………………18 分

?

?



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