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吉林省舒兰市第一中学高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定与性质导学案 新人教A版必修2



第二章 2.2.1 直线与平面平行的判定与性质
【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况,建立几何模型,了解直线与平面平行的背景; 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理,并会用其证明线面平行. 3. 掌握直线和平 面平行的性质定理; 4. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线” “线面”平行的转化 【学习重点】 1. 如何判定直线与平面平行. 2.直线与平面平行的性质 定理. 【知识链接】 1.直线与平面平行的定义:如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. 2.空间两条直线的位置关 系:相交、平行、异面. 3.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. 【基础知识】 1.若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置平行或异面. 2.直线与平面平行的判定定理: (1)文字语言:平面 外 一条直线与此平面 内 的一条直线 平行 ,则该直线与此平面平行 (简记:线线平行,线面平行) (2)符号语言为: (3)图形语言为: A.上述定理的实质是什么?它体现了什么数学思想? B.如果要证明 这个定理,该如何证明呢? 3.判定直线与平面平行通常有三种方法: ⑴利用定义:证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的,往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理,其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到) 4.直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行,则过 这条直线 的任一平面与此平面的 交线 都与该直线平行. (简记:线面平行,线线平行) A.反思:定理的实质是什么? B.运用线面平行的性质定理证题, 应把握以下三个条件① 线面平行, 即 a ∥? ; ②面面相交, 即? ? ? = b ; ③线在面内,即 b ? ? . 【例题讲解】 例 1 如图 1,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB, AD 的中点,求证: EF ∥平面 BCD . (教材)

例 2 如图 2,已知 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段,E、F、G 分别为 AB、BC、CD 的中点.求证: AC∥平面 EFG,BD∥平面 EFG. 证明: 连接 AC、BD、EF、FG、EG. 在△ABC 中, ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点,∴AC∥EF.

又 EF ? 面 EFG,AC ? 面 EFG, ∴AC∥面 EFG. 同理可证 BD∥面 EFG. 例 3 如图 3,所示的一块木料中,棱 BC 平行于 面A?C ? . ⑴要经过 面A?C ? 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画 线? ⑵所画的线与平面 AC 是什么位置关系?(教材)

例 4 如图 4,已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 已知直线 a,b,平面 α ,且 a∥b,a∥α ,a,b 都在平面 α 外. 求证:b∥α . 证明:过 a 作平面 β ,使它与平面 α 相交,交线为 c. ∵a∥α ,a ? β ,α ∩β =c, ∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵c ? α ,b ? α ,∴b∥α . 【达标检测】 1.如果 a、b 是异面直线,且 a∥平面 α ,那么 b 与 α 的位置关系是(D ) A.b∥α B.b 与 α 相交 C.b ? α D.不确定 2.直线 a∥平面 α ,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有(C ) A.0 条 B.1 条 C.0 或 1 条 D.无数条

3.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的一点,若 AE:EB=CF:FB=1:3,则对角线 AC 和平面

DEF 的位置关系是( A )
A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定

4.下列说法正确的是(D ) A.若直线 a 平行于面 α 内的无数条直线,则 a∥α B.若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α C.若直线 a∥b,直线 b ? α ,则 a ? α D.若直线 a∥b,直线 b ? α ,则直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线 5.已知 P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 DD1 上任意一点(不是端点),则在正方体的 12 条棱中,与平面 ABP 平行的有( A ) A.3 个 B.6 个 C.9 个 D.12 个

6.空间四边形 ABCD 中, E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点,当 BD∥平面 EFGH 时,下面选项 正确的是( D ) A.E,F,G,H 必是各边中点 C.BE:EA=BF:FC,且 DH:HA=DG:GC B.G,H 必是 CD,DA 的中点 D.AE:EB=AH:HD 且 BF:FC=DG:GC 点,

7.(2011·福建高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中

点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于___ 2___. 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 中点,则 BD1 与过点 A,C,E 的平面的位置关系是___平行. 9.已知 M,N 分别是△ADB 和△ADC 的重心,A 点不在平面 α 内,B,D,C 在平面 α 内,求证:MN∥α . 证明:如图所示,连接 AM,AN 并延长分别交 BD,CD 于 P,Q,连接 PQ.

∵M,N 分别是△ADB,△ADC 的重心, ∴

AM AN = =2,∴MN∥PQ. MP NQ

又 PQ? α ,MN?α ,∴MN∥α . 10.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 在 AB1 上,F 在 BD 上,且 B1E=BF. 求证:EF∥平面 BB1C1C. 证明:连接 AF 并延长交 BC 于 M,连接 B1M. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴

AF DF ? . FM BF

又∵BD=B1A,B1E=BF,∴DF=AE.

AF DF ? . FM BF ∴EF∥B1M,B1M ? 平面 BB1C1C.


∴EF∥平面 BB1C1C.

11.如图,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 交于 AB , M 和 N 分别为 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,求证: MN ∥平面 BEC . C

D

M

B
N

E

A
12 如图,已知 a ∥ b , a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? l ,求证: a ∥ b ∥ l .

F

13.如图, 平行四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 上, 求证: BD∥面 EFGH, AC∥面 EFGH. 证明:∵EFGH 是平行四边形



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