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高三一轮复习:直线的斜率和倾斜角



第 1 讲 直线的方程

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素. 3.掌握直线方程的几何形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数 的关系.

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基础自查
1.

直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫做直线l的倾斜角,当 直线l和x轴平行时,它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为 [0°,180°) . (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字 母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

y2 -y1 x2 -x1 .

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2.直线方程的五种形式

名称 点斜式 斜截式 两点式





适用范围 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1 ≠x2 )和直线 y= y1 (y1 ≠y2 ) 不含 垂直于坐标轴 和过原点的直线
2

y-y1=k(x-x1) y=kx+b

y-y1 x-x1 = y2 -y1 x2 -x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A +B ≠0)
2

截距式 一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

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联动思考
想一想:所有的直线都存在斜率吗?都有倾斜角吗? π 答案:所有直线都有倾斜角,但不一定有斜率(当直线与 x 轴垂直,即倾斜角为 时, 2 π π 斜率不存在).它们的关系是 k =tan α,α∈?0, ?∪? ,π?. ? 2? ?2 ? 议一议:求过两点 P 1(x1 ,y1 ),P 2 (x2 ,y2)的直线方程有几种方法? 答案:(1)若 x1 =x2 且 y1 ≠y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1 . (2)若 x1 ≠x2 且 y1 =y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1 . (3)若 x1 ≠x2 且 y1 ≠y2 ,直线方程可用两点式表示,也可用点斜式.

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联动体验
1.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为 A. 2 3 3 B. 2 2 C.- 3 3 D.- 2 ( )

0-2 2 解析:k = =- . 3-0 3 答案:C 2.直线 3x+ 3y+1=0 的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:依题意:k =- 3,∴倾斜角为 120° . 答案:C ( )

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3.若直线 ax+by+c=0 经过第一、二、三象限,则有 A.ab>0,bc>0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc<0 D.ab<0,bc<0

(

)

a c 解析:数形结合可知- >0,- >0,即 ab<0,bc<0. b b 答案:D 4.过点 P (1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

解析:注意有直线过原点时截距相等为 0 和不过原点时倾斜角为 135° 两种 情况. 答案:B

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5.(2010· 湖南卷)若不同点 P 、Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________. 3-a-b 解析:依题意 kPQ = =1, 3-b-a ∴线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为-1. 答案:-1

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考向一 直线的倾斜角与斜率
【例1】 已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,

求直线l的斜率的取值范围.
解:解法一:如图所示,直线 PA 的斜率 2-?-3? k PA = =5, -1-?-2? 直线 PB 的斜率 0-2 1 k PB = =- . 3-?-1? 2 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时,它的斜率变化范围 是[5,+∞); 1 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时,它的斜率的变化范围是?-∞,- ?. ? 2? 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪[5,+∞). ? 2?
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解法二:设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y-2=k (x+1),即 kx-y+k +2=0. ∵A 、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴(-2k +3+k +2)(3k -0+k +2)≤0, 即(k -5)(4k +2)≥0, 1 ∴k ≥5 或 k ≤- . 2 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是

?-∞,-1?∪[5,+∞). ? 2?
反思感悟:善于总结,养成习惯 求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由 直角变到钝角时,需根据正切函数 y=tan α 的单调性求 k 的范围,数形结合是解析 几何中的重要方法.
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迁移发散

? ? 1.已知两点 A (-1,2),B(m, 3),且 m∈?- 3-1, 3-1? ,求直线 AB 的倾斜角 ? 3 ?
α 的范围. π 解:(1)当 m=-1 时,α= ; 2

? ? (2)当 m≠-1 时,m∈?- 3-1, 3-1? , ? 3 ? ? ? ∴m+1∈?- 3, 3 ?, ? 3 ?
1 ? ? ∴k = ∈(-∞,- 3]∪? 3,+∞?, m+1 ?3 ? π π π 2 ∴α∈? , ?∪? , π?. ?6 2? ?2 3 ? π 2 综上知倾斜角 α 的范围是? , π?. ?6 3 ?
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考向二 求直线的方程
【例 2】 (1)求经过点 A (-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 方程. (2)求经过点 A (- 3,3),且倾斜角为直线 3x+y+1=0 的倾斜角的一半的直线方程. (3)在△ABC 中,已知 A (5,-2),B (7,3),且 AC 的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求 MN 的方程. 解:(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为 y=kx,将(-5,2)代入 y= kx 中. 2 2 得 k =- ,此时,直线方程为 y=- x. 5 5 即 2x+5y=0.

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1 解得 a=- ,此时, 2 直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. (2)由 3x+y+1=0 得此直线的斜率为- 3,∴倾斜角为 120° ,从而所求直线的倾 斜角为 60° ,∴所求直线的斜率为 3. 又过点(- 3,3),∴所求直线方程为 y-3= 3(x+ 3),即 3x-y+6=0.

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5+x0 y0 -2? 7+x0 y0 +3? (3)设 C(x0 ,y0),则 M? , ,N ? ? 2 ? 2 , 2 ?. 2 ? 5+x0 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,∴x0 =-5. 2 y0 +3 ∵N 在 x 轴上,∴ =0,∴y0 =-3, 2 5 即 C(-5,-3),∴M(0,- ),N(1,0), 2 x y ∴直线 MN 的方程为 + =1,即 5x-2y-5=0. 1 5 - 2 反思感悟:善于总结,养成习惯 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件, 用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直 线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式, 应注意分类讨论,判断截距是否为零,若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
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迁移发散 3 2.求斜率为 ,且与坐标轴围成的三角形的周长是 12 的直线方程. 4 3 解:设所求直线方程为 y= x+b. 4 4 令 x=0,得 y=b;令 y=0,得 x=- b. 3 4 由题意得,|b|+|- b|+ 3 解得 b=± 3. 3 所以,所求直线方程为 y= x± 3, 4 即 3x-4y± 12=0. 4 2 2 b +?- b? =12. ? 3 ?

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考向三 直线方程的应用
【例 3】 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点,如 右图所示,求△ABO 的面积的最小值及此 时直线 l 的方程. 解:设 A (a, 0),B (0,b)(a>0,b>0), x y 则直线 l 的方程为 + =1, a b 3 2 2a ∵l 过点 P (3,2),∴ + =1,b= , a b a-3 1 1 2a a2 从而 S△ABO = a· b= a· = , 2 2 a-3 a-3 ?a-3? +6?a-3?+9 故有 S△ABO = a-3 9 =(a-3)+ +6≥2 a-3 9 ?a-3?· +6=12, a-3
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2

当且仅当 a-3=

9 , a-3

2×6 即 a=6 时,(S△ABO )min =12,此时 b= =4 6-3 x y 直线 l 的方程为 + =1, 6 4 即 2x+3y-12=0. 注:也可设直线方程为:y-2=k (x-3). 反思感悟:善于总结,养成习惯 求直线方程最常用的方法是待定系数法.若题中直线过定点,一般设直线方程的 点斜式,也可以设截距式.注意在利用基本不等式求最值时,斜率 k 的符号.

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迁移发散 3.在本例条件下,求 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程. 解:设 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y=k(x-3)+2,令 x=0 得 B (0,2-3k), 2 令 y=0 得 A (3- ,0), k 2 ∴l 在两轴上的截距之和为 2-3k +3- k 2 =5+??-3k ?+?- ??≥5+2 6, ? ? k ?? (当且仅当 k =- ∴k =- 6 时,等号成立), 3

6 时,l 在两轴上截距之和最小, 3

此时 l 的方程为 6x+3y-3 6-6=0.
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课堂总结

感悟提升

y2 -y1 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k = , x2 -x1 该公式与两点顺序无关,已知两点坐标(x1 ≠x2 )时,根据该公式可求出经过两点的 直线的斜率.当 x1 =x2 ,y1 ≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . 2.求斜率可用 k =tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系 不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需 讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方 法叫待定系数法.

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