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福建省武平县第一中学2016届高三上学期实验班数学周考试题(10月14日)



高三实验班数学周考试卷 2015-10-14 班级___________ 座号_____________ 姓名____________

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.下列四个函数中,与 y ? x 表示同一函数的是(
x2 C. y ? x 2 x 2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是(

..

) D. y ? 3 x 3 )

A. y ? ( x ) 2

B. y ?

A.所有不能被 2 整除的数都是偶数

B.所有能被 2 整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

1 , m? ,则 m 的取值范围是( ) 3.已知集合 A ? ?0 , 1 , m?, B ? { x | 0 ? x ? 2} ,若 A ? B ? ?
A. ( 0,1) B. (1, 2) C. (0,1) ? (1, 2) ) D.a>b>c
x

D. (0, 2)

4.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则( A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b

5. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 , 则 f (2015)= ( )A. 2 B. ?2 ) C. ?

1 2

D.

1 2

1 6.函数 y=ln 的图像为( |2x-3|

7.方程 log 2 x ? A. ? 0 ,

1 的实根所在区间为( x
B. ?

) C. ?1 , 2 ? D. ?2 , 3? )

? ?

1? ? 2?

?1 ? , 1? ?2 ?

8. “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 9.给出下列命题: C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1) 2 , y ? x 3 中有三个是增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ; ③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;

1

④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 有 2 个实数根。
x

其中假命题 的个数为 ( )A. 1 ...

B. 2

C. 3

D. 4

10. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x ? 2 时, f ( x) 单调递增,如 果 x1 ? x 2 ? 4 且 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值 A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 ( )

D.可正可负也可能为 0

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? 1 ? f ( x) ,其中 f '( x ) 是 f ( x) 的导函数, e 为自然对数 的底数,则下列正确的是( A. ef (1) ? e ? e2 f (2) ? e2 C. e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? e ) B. e2015 f (2015) ? e2015 ? e2016 f (2016) ? e2016 D. e2016 f (2016) ? e2016 ? e2015 f (2015) ? e2015

? ? 2sin x , 0 ? x ?1 ? ? 2 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,若关 1 ? ( )x ? 3 , x ? 1 ? ? 2 2
于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范 围是(

3 ) A. (?4, ? ) 2

7 B. (?4, ? ) 2

7 7 3 C. (?4, ? ) ? (? , ? ) 2 2 2

7 3 D. (? , ? ) 2 2

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? 1 ? f ( x) ,其中 f '( x ) 是 f ( x) 的导函数, e 为自然对数 的底数,则下列正确的是( A. ef (1) ? e ? e2 f (2) ? e2 C. e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? e ) B. e2015 f (2015) ? e2015 ? e2016 f (2016) ? e2016 D. e2016 f (2016) ? e2016 ? e2015 f (2015) ? e2015

? ? 2sin x , 0 ? x ?1 ? ? 2 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,若关 1 x ? ( ) ? 3 , x ?1 ? ? 2 2
于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范 围是(

3 ) A. (?4, ? ) 2

7 B. (?4, ? ) 2

7 7 3 C. (?4, ? ) ? (? , ? ) 2 2 2

7 3 D. (? , ? ) 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 其 图 像 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 且

1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (2016) ? _________. 2 2
???? ? ??? ? ???? 14.在正方形 ABCD 中, M 是 BD 的中点, 且 AM ? mAB ? nAD (m, n ? R) , 函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1

的图象为曲线 ? ,若曲线 ? 存在与直线 y ? (m ? n) x 垂直的切线( e 为自然对数的底数),则 实数 a 的取值范围是__________. 15.等比数列 {an } 中, a1 、 a 5 是关于 x 方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,其中点 (c, b) 在直线

y ? x ? 1 上,且 c ?

? t dt ,则 a
2 0

3

3

的值是_______.

16.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,

??? ? ??? ? ? 上的动点,则 PC ? PD 的 AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF
最小值为__________. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p:f(x)= 1-a·3 在 x∈(-∞,0]上有意义,命题 q :存
2 在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0
x



若“p 或 q”为真命题,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 3 ( ax 2 ? 2 x ? 3) , a ? R . (1)若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 12 分)设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ? 1? a ? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f ?1? ?

20. (本小题共 12 分)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ? ?1,1? 上,

3 ,且 g ? x ? ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 2

?1 ? x ? 0 ?2 x ? 1, ? ?1? f ( x) ? ? ax ? 2 , 其中常数 a ? R , 且 f ? ? ? , 0 ? x ?1 ?2? ? ? x ?1
(1) 求 a 的值;

?3? f ? ?. ?2?

(2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) , x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2]. ①求证: g ( x) 是偶函数; ②求函数 g ( x) 的值域.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 .
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 4 时,若函数 y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,求 m 的取值范围; ( 3 )设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P ( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x), 当

x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点”, x ? x0

请你探究当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个 “类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中, 直线 C1 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 , M 是 C1 上任意一点, 点 P 在射线 OM 上, 且满足 | OP | ? | OM |? 4 ,记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)求曲线 C2 上的点到直线 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 的距离的最大值.

23(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3 | g ( x) ?| x ? 1| ?2 . (1)解不等式 | g ( x) |? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

高三实验班数学周考试卷答案:2015-10-14

一、选择题 DDCD

BACA ABBC

12.解: f ( x) 的图像如图所示, (??, ?1),(0,1) ? ,(?1,0),(1, ??) ? , 当 x ? ?1 时, f ( x) 的最大值是 2,;当 x ? 0 时, f ( x) 的最小值是 0,

x?

3 3 是部分图像的渐近线.设 t ? f ( x) , 依题意, 符合题意有两种情况: (1) t1 ? 2, t2 ? ( ,2) , 2 2

此时 ?a ? t1 ? t2 ? ( ,4) ,则 a ? (?4, ? ) ; (2) t1 ? (0, ] , t2 ? ( ,2) ,此时 ?a ? t1 ? t2 ? ( , ) ,则 a ? (? , ? ) ;

7 2

7 2

3 2

3 2

3 7 2 2

7 2

3 2

7 7 3 综上, a ? (?4, ? ) ? (? , ? ) ,选 C. 2 2 2
二、13.0 14. (1, ??) 15.3 16. 5 ? 2 5

16.解:以点 A 为坐标原点,建立如图的平面直角坐标系,则 C (2,2) , D(0,2) , 设 P(cos ? , sin ? )( 0 ? ? ?

?
2

) ,? PC ? (2 ? cos? ,2 ? sin ? ) , PD ? (? cos? ,2 ? sin ? ) ,

? PC ? PD ? ?2 cos? ? cos2 ? ? 4 ? 4 sin ? ? sin 2 ?
? 5 ? 2(cos? ? 2 sin ? ) ? 5 ? 2 5 sin(? ? ? ) (其中 cos? ?

2 5 ) , 5

? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PC ? PD 取得最小值 5 ? 2 5 .
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 a 的取值范围为 (??,1] ? (3,??) ???(13 分) 18.解:(1)由 f ( x) 的定义域为 R ,则 ax 2 ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立, ?????(1 分) 若 a =0 时, 2 x ? 3 ? 0 , x ? ? 所以 a ? 0 ; 由 ?

3 ,不合题意; ?????(3 分) 2
得: a ?
2

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

1 . ?????(6 分) 3

(2)由 f ( x) 的值域为 R ,所以 y y ? ax ? 2 x ? 3, x ? R ? ? 0, +? ? , ????(7 分) ①若 a ? 0 时, y ? 2 x ? 3 可以取遍一切正数,符合题意, ?????(9 分) ②若 a ? 0 时,需 ?

?

?

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

,即 0 ? a ?

1 ; ?????(12 分) 3

综上,实数 a 的取值范围为 ? 0, ? .?????(13 分) 19.解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0, 经检验知:k=2 满足题意 ?????(3 分) ∴1-(k-1) =0,∴k=2,

? 1? ? 3?

3 1 3 2 (2)∵f(1)= ,? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0, 2 a 2

1 ? a ? 2或a ? ? (舍去)。 ??(5 分) 2

∴g(x)=2 +2 -2m(2 -2 )=(2 -2 ) -2m(2 -2 )+2. 令 t=f(x)=2 -2 , 3 x -x 由 (1) 可 知 f(x)=2 -2 为 增 函 数 , ∵ x≥1, ∴ t≥f(1)= , 2 3 (t≥ ) 2 3 2 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-2,∴m=2 2 ?????(10 分) 令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m
2 2 2

2x

-2x

x

-x

x

-x 2

x

-x

x

-x

3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= --3m=-2,解得 m= > ,舍去?(12 分) 综上可知 m=2.(13 分) 2 2 4 12 2

a ?2 a?4 ?1? 2 20.(1)解: f ? ? ? ,由函数 f ( x) 的周期为 2 , ? 3 ? 2 ? 1 ?1 2
得 f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ? ) ? 2(? ) ? 1 ? 0 ??3 分

3 2

3 2

1 2

1 2

?1? ?3? ?f ? ?? f ? ? ?2? ?2?

?

a?4 ? 0, a ? ?4. 3

???????4 分

(2) ①证明:? 对 ?x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2] ,有 ? x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2] 且 g (? x) ? f (? x) ? f ( ?( ? x)) ? f ( ? x) ? f ( x) ? g ( x) ,

? g ( x) 是偶函数.??6 分
②解:由①知 g ( x) 是偶函数,所以 g ( x) 的值域与 g ( x) 在 [1, 2] 上的值域相等???7 分

g (1) ? f (1) ? f (?1) ? f (1) ? f (?1 ? 2) ? 2 f (1) ? ?2,
g (2) ? f (2) ? f (?2) ? 2 f (0) ? 4 ??8 分 当 1 ? x ? 2 时, ?2 ? ? x ? ?1 ,

g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? 2) ? f ( ? x ? 2)

g ( x) ? 2( x ? 2) ? 1 ?

?4(2 ? x) ? 2 6 ? 2x ? ? 7 ,?????????10 分 (2 ? x) ? 1 x ?3

g ?( x) ? 2 ?
得2?

6 ? 0 , g ( x) 在 ?1, 2 ? 内是增函数, ??????????11 分 ( x ? 3) 2

6 6 ? 7 ? g ( x) ? 2 ? 2 ? ? 7 ,即 ?2 ? g ( x) ? 3. ???????12 分 1? 3 2?3

综上知,函数 g ( x) 的值域为 ? ?2,3? ? ?4?. ????13 分 21. 解: (1) 由 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x 可知, 函数的定义域为 {x | x ? 0} ,
2



f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?
因为 a ? 2 ,所以

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a )( x ? 1) .???????1 分 ? ? x x x

a a a ? 1 . 当 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 2 a 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1), ( , ??) .???4 分 2 2( x ? 1)( x ? 2) / (2)当 a ? 4 时, f ?( x) ? .所以,当 x 变化时, f ( x) , f ( x) 的变化情况如 x
下:

x
f / ( x)

(0,1)

1

(1,2)

2

(2, ? ?)

+

0



0

+

f ( x)

单调递增
2

f ( x) 取极大值

单调递减

f ( x) 取极小值

单调递增

1) ? 1 ? 6 ? 1 ? 4 ln 1 ? ?5 , 所以 f ( x) 极大值 ? f( f ( x) 极小值 ? f(2) ? 2 2 ? 6 ? 2 ? 4 ln 2 ? 4 ln 2 ? 8 ?7 分
结合函数 f ( x) 的图象, 所以若函数 y ? f ( x) ? m 三个不同的零点,则

m ? ? 4 ln 2 ? 8, ?5 ?

??9 分

(3)由题意,当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?

4 ?6, x

则在点 P 处切线的斜率

k 切 ? f / ( x0 ) ? 2 x0 ?

4 ? 6 . 所以切线方程为 x0

? ? 4 2 y ? g ( x) ? ? 2 x0 ? ? 6 ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 x0 ? ? ? ? 4 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? x ? x0 2 ? 4 ln x0 ? 4 ..?????10 分 x0 ? ?

? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? ? 2 x0 ?
?
则 ? ( x0 ) ? 0 , ? ? ? x ? ? 2 x ?

?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ? , x0 ?

? ? ? 4 4 2 ? 2 2? ? ? 6 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? ? 2 ? x ? x0 ? ?1 ? ? ? ? x ? x0 ? ? x0 ? ? . x x0 x? ? ? ? ? x0 x ? x0

当 x0 ?

? ? 2? 2? 2 时, ? ? x ? 在 ? x0 , ? 上单调递减,则当 x ? ? x0 , ? 时, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. ? x0 ? ? x0 ?
? 2 ? 2? ? ( x) ? 0 ;当 x0 ? 2 时, ? ? x ? 在 ? , x0 ? 上单调递减,则 ? 时, x0 ? x ? x0 ? x0 ?
当 x ??

当 x ? ? x0 ,

? ?

当 x ??

? 2 ? , x0 ? 时 , ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0. ? x0 ?

? ? x? ? 2 ? , x0 ? 时 , ?0 ; 则 在 x ? x0 ? x0 ?

(0, 2) ? ( 2, ??) 上不存在“类对称点”.?12 分
当 x0 ? 故

2 时, ? ?( x) ?

2 2 x ? 2 ,所以 ? ? x ? 在 (0, ??) 上是增函数, x

?

?

? ( x)
x ? x0

? 0. ???13 分

所以 x ?

2 是一个类对称点的横坐标.??14 分

3 2 22.解:(1)C2:ρ =2sin θ .?5 分(2)故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ 2 23 解:(1)不等式的解为 ?2 ? x ? 4 ??5 分 (2)实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 ??10 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.下列四个函数中,与 y ? x 表示同一函数的是(
x2 C. y ? x 2 x 2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是( ..

) D. y ? 3 x 3 )

A. y ? ( x ) 2

B. y ?

A.所有不能被 2 整除的数都是偶数

B.所有能被 2 整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

1 , m? ,则 m 的取值范围是( ) 3.已知集合 A ? ?0 , 1 , m?, B ? { x | 0 ? x ? 2} ,若 A ? B ? ?
A. ( 0,1) B. (1, 2) C. (0,1) ? (1, 2) ) D.a>b>c
x

D. (0, 2)

4.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则( A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b

5. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 , 则 f (2015)= ( ) A. 2 B. ?2 ) C. ?

1 2

D.

1 2

1 6.函数 y=ln 的图像为( |2x-3|

7.方程 log 2 x ? A. ? 0 ,

1 的实根所在区间为( x
B. ?

) C. ?1 , 2 ? D. ?2 , 3? )

? ?

1? ? 2?

?1 ? , 1? ?2 ?

8. “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 9.给出下列命题: B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1) 2 , y ? x 3 中有三个是增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ; ③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 有 2 个实数根。
x

1

其中假命题 的个数为 ( ) ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x ? 2 时, f ( x) 单调递增,如 果 x1 ? x 2 ? 4 且 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值 A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 ( )

D.可正可负也可能为 0

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? 1 ? f ( x) ,其中 f '( x ) 是 f ( x) 的导函数, e 为自然对数 的底数,则下列正确的是( A. ef (1) ? e ? e2 f (2) ? e2 C. e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? e ) B. e2015 f (2015) ? e2015 ? e2016 f (2016) ? e2016 D. e2016 f (2016) ? e2016 ? e2015 f (2015) ? e2015

? ? 2sin x , 0 ? x ?1 ? ? 2 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,若关 ? ( 1 )x ? 3 , x ? 1 ? ? 2 2
于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范 围是( )

3 A. (?4, ? ) 2

7 B. (?4, ? ) 2

7 7 3 C. (?4, ? ) ? (? , ? ) 2 2 2

7 3 D. (? , ? ) 2 2

一、选择题 题号 选项 1 D 2 D 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 B 11 B 12 C

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? 1 ? f ( x) ,其中 f '( x ) 是 f ( x) 的导函数, e 为自然对数 的底数,则下列正确的是( A. ef (1) ? e ? e2 f (2) ? e2 C. e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? e 【答案】B 【命题立意】本题考查导数的运算及构造函数思想,函数的单调性以及不等式思想,属中等 偏难题. 【解析】 h( x) ? e x [ f ( x) ? 1] , h '( x) ? e x [ f ( x) ? f '( x) ? 1] ? 0 ) B. e2015 f (2015) ? e2015 ? e2016 f (2016) ? e2016 D. e2016 f (2016) ? e2016 ? e2015 f (2015) ? e2015

? h( x) 是增函数,? h(2) ? h(1) , h(2016) ? h(2015) ,即 A、B 错误;

C、D 一对一错,对于 C: e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? e , 两边同时加 2e 2 , 得 e2 f (2) ? e2 ? ef (1) ? 2e2 ? e ? ef (1) ? e(2e ? 1) ? ef (1) ? e ,故选 C.

? ? 2sin x , 0 ? x ?1 ? ? 2 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,若关 1 ? ( )x ? 3 , x ? 1 ? ? 2 2
于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范 围是( )

3 A. (?4, ? ) 2
【答案】C

7 B. (?4, ? ) 2

7 7 3 C. (?4, ? ) ? (? , ? ) 2 2 2

7 3 D. (? , ? ) 2 2

【命题立意】本题考查分段函数的图像,换元法,涉及数形结合、方程、转化思想,属难题. 【解析】 f ( x) 的图像如图所示, (??, ?1),(0,1) ? ,(?1,0),(1, ??) ? ,当 x ? ?1 时, f ( x) 的最 大值是 2,;当 x ? 0 时, f ( x) 的最小值是 0, x ? 设 t ? f ( x) ,依题意,符合题意有两种情况: (1) t1 ? 2, t2 ? ( ,2) ,此时 ?a ? t1 ? t2 ? ( ,4) ,则 a ? (?4, ? ) ; (2) t1 ? (0, ] , t2 ? ( ,2) , 此 时 ?a ? t1 ? t2 ? ( , ) , 则

3 是部分图像的渐近线. 2

3 2

7 2

7 2

3 2 7 3 a ? (? , ? ) ; 2 2

3 2

3 7 2 2

7 7 3 综上, a ? (?4, ? ) ? (? , ? ) ,选 C. 2 2 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.0 14. (1, ??) 15.3 16. 5 ? 2 5

13. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 其 图 像 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 且

1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (2016) ? _________. 2 2
【答案】0. 【命题立意】本题考查对称性、周期性,属容易题.

1 ,对称中心 (0,0) ,则 T ? 2 , f (2016) ? f (0) ? 0 . 2 ???? ? ??? ? ???? 14.在正方形 ABCD 中, M 是 BD 的中点, 且 AM ? mAB ? nAD (m, n ? R) , 函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1
【解析】由已知 x对 = 的图象为曲线 ? ,若曲线 ? 存在与直线 y ? (m ? n) x 垂直的切线( e 为自然对数的底数),则 实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 (1, ??) 【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义,导数及其应用,有一定综合性. 【解析】B、D、M 三点共线得 m ? n ? 1 ,由题可得 f '( x) ? e x ? a ,由于曲线 C 存在与直线 y ? x 垂直的切线,则 e x ? a ? ?1 有解,即 a ? e x ? 1 有解,? a ? 1 . 15.等比数列 {an } 中, a1 、 a 5 是关于 x 方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,其中点 (c, b) 在直线

y ? x ? 1 上,且 c ?
【答案】3.

?

3

0

t 2 dt ,则 a 3 的值是_______.

【命题立意】本题考查定积分的计算,等比数列的性质,属易错题.

x 2 ? 10 x ? 9 ? 0 , 【 解 析 】 c ? ? t 2 dt ? t 3 |3 0 ? 9 , b ? 10 , 于 是
0

3

1 3

a32 ? a1a5 ? 9 ,? a1a5 ? 0, a1 ? a5 ? 10 ? 0 ,? a1 , a5 ? 0 ,从而 a 3 ? 0 ,? a3 ? 3 .
16.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交

??? ? ??? ? ? 上的动点,则 PC ? PD 的最小值为__________. AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF
【答案】 5 ? 2 5 . 【命题立意】本题考查平面向量数量积,最值,意在考查分析能力,转化能力,中等题. 【解析】以点 A 为坐标原点,建立如图的平面直角坐标系,则 C (2,2) , D(0,2) , 设 P(cos ? , sin ? )( 0 ? ? ?

?
2

) ,? PC ? (2 ? cos? ,2 ? sin ? ) , PD ? (? cos? ,2 ? sin ? ) ,

? PC ? PD ? ?2 cos? ? cos2 ? ? 4 ? 4 sin ? ? sin 2 ?
? 5 ? 2(cos? ? 2 sin ? ) ? 5 ? 2 5 sin(? ? ? ) (其中 cos? ?

2 5 ) , 5

? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PC ? PD 取得最小值 5 ? 2 5 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p:f(x)= 1-a·3 在 x∈(-∞,0]上有意义,命题 q :存
2 在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0
x



若“p 或 q”为真命题,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 3 ( ax 2 ? 2 x ? 3) , a ? R . (1)若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 12 分)设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ? 1? a ? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f ?1? ?

3 ,且 g ? x ? ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 2

20. (本小题共 12 分)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ? ?1,1? 上,

?1 ? x ? 0 ?2 x ? 1, ? ?1? ?3? f ( x) ? ? ax ? 2 , 其中常数 a ? R , 且 f ? ? ? f ? ? . , 0 ? x ?1 ?2? ?2? ? ? x ?1
(1) 求 a 的值; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) , x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2]. ①求证: g ( x) 是偶函数; ②求函数 g ( x) 的值域.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 .
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 4 时,若函数 y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,求 m 的取值范围; ( 3 )设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P ( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x), 当

x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点”, x ? x0

请你探究当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个 “类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由. 解:对于命题 p ,由 1 ? a ? 3
x

? 0 对 x ? ? ??, 0? 恒成立知,
∴ a ?1 ?????(3 分) ????( 6 分 ) ?????( 8 分)

1 a ? ( )x 对 x ? 3

? ??, 0? 恒成立 ,
2

对于命题 q , 由 △ = ( a-1 ) -4 > 0,得 a > 3 或 a < -1 ∵ “ p 或 q” 为 真 , ∴ p,q 中 至 少 有 一 个 为 真

记 A ? (??,1] , B ? (??,?1) ? (3,??) , 则 a 取 值 范 围 为 A ? B ∵ A ? B ? (??,1] ? (3,??) ∴a 的取值范围为 (??,1] ? (3,??) ?????(13 分) (注:本题可以分三种情况讨论,也可以求 p,q 都 为 假 ) 17.解:(1)由 f ( x) 的定义域为 R ,则 ax 2 ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立, ?????(1 分) 若 a =0 时, 2 x ? 3 ? 0 , x ? ? 所以 a ? 0 ; 由?

3 ,不合题意; ?????(3 分) 2

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

得: a ?

1 . ?????(6 分) 3
2

+? ? , ????(7 分) (2)由 f ( x) 的值域为 R ,所以 y y ? ax ? 2 x ? 3, x ? R ? ? 0,
(也可以说 y ? ax ? 2 x ? 3 取遍一切正数)
2

?

?

①若 a ? 0 时, y ? 2 x ? 3 可以取遍一切正数,符合题意, ?????(9 分)

②若 a ? 0 时,需 ?

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

,即 0 ? a ?

1 ; ?????(12 分) 3

综上,实数 a 的取值范围为 ? 0, ? .?????(13 分) 18.解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, 经检验知:k=2 满足题意 ?????(3 分)

? 1? ? 3?

3 1 3 2 (2)∵f(1)= ,? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0, 2 a 2

1 ? a ? 2或a ? ? (舍去)。 ?????(5 分) 2
∴g(x)=2 +2 -2m(2 -2 )=(2 -2 ) -2m(2 -2 )+2. 令 t=f(x)=2 -2 , 3 x -x 由(1)可知 f(x)=2 -2 为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)= , 2 3 2 2 2 令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m (t≥ ) 2 3 2 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-2,∴m=2 2 ?????(8 分) ?????(10 分)
x -x 2x -2x x -x x -x 2 x -x

3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= --3m=-2,解得 m= > ,舍去 ?????(12 分) 2 2 4 12 2 综上可知 m=2. ?????(13 分)

a ?2 1 a?4 ? ? 19.(1)解: f ? ? ? 2 , ? 3 ? 2 ? 1 ?1 2

???????????????????1 分

由函数 f ( x) 的周期为 2 ,得 f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ? ) ? 2(? ) ? 1 ? 0 ??3 分

3 2

3 2

1 2

1 2

?1? ?3? ? f ? ?? f ? ?, ?2? ?2?

?

a?4 ? 0, a ? ?4. 3

???????????????????????4 分

(2) ①证明:? 对 ?x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2] ,有 ? x ? [?2 , ? 1] ? [1, 2] 且 g (? x) ? f (? x) ? f ( ?( ? x)) ? f ( ? x) ? f ( x) ? g ( x) ,

? g ( x) 是偶函数.

???????????????????6 分

②解:由①知 g ( x) 是偶函数,所以 g ( x) 的值域与 g ( x) 在 [1, 2] 上的值域相等 ????????????????7 分

g (1) ? f (1) ? f (?1) ? f (1) ? f (?1 ? 2) ? 2 f (1) ? ?2,
g (2) ? f (2) ? f (?2) ? 2 f (0) ? 4 ???????????????????8 分
当 1 ? x ? 2 时, ?2 ? ? x ? ?1 , g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x ? 2) ? f ( ? x ? 2)

g ( x) ? 2( x ? 2) ? 1 ?

?4(2 ? x) ? 2 6 ? 2x ? ? 7 ,?????????10 分 (2 ? x) ? 1 x ?3

g ?( x) ? 2 ?
得2?

6 ? 0 , g ( x) 在 ?1, 2 ? 内是增函数, ??????????11 分 ( x ? 3) 2

6 6 ? 7 ? g ( x) ? 2 ? 2 ? ? 7 ,即 ?2 ? g ( x) ? 3. ???????12 分 1? 3 2?3

综上知,函数 g ( x) 的值域为 ? ?2,3? ? ?4?. ????13 分

20. 解: (1) 由 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x 可知, 函数的定义域为 {x | x ? 0} ,
2



f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a )( x ? 1) .???????1 分 ? ? x x x

a ?1. 2 a a 当 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 a 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1), ( , ??) ..????????????4 分 2 2( x ? 1)( x ? 2) (2)当 a ? 4 时, f ?( x) ? . x
因为 a ? 2 ,所以 所以,当 x 变化时, f ( x) , f ( x) 的变化情况如下:
/

x
f / ( x)

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,? ?)

+

0



0

+

f ( x)

单调递增

f ( x) 取极大值

单调递减

f ( x) 取极小值

单调递增

1) ? 1 ? 6 ? 1 ? 4 ln 1 ? ?5 , 所以 f ( x) 极大值 ? f(
2

f ( x) 极小值 ? f(2) ? 2 2 ? 6 ? 2 ? 4 ln 2 ? 4 ln 2 ? 8
. ???????7 分 结 合 函 数 f ( x) 的 图 象 , 所以若函数

y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则 m ? ? 4 ln 2 ? 8, ?5 ? .?????????9 分
(3)由题意,当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?

4 ?6, x

则在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f / ( x 0 ) ? 2 x 0 ?

4 ? 6. x0

所以切线方程为 y ? g ( x) ? ? 2 x0 ?

? ?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 x0 ?

? ? 4 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? x ? x0 2 ? 4 ln x0 ? 4 ..?????10 分 x0 ? ?

? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? ? 2 x0 ?
?
则 ? ( x0 ) ? 0 , ? ? ? x ? ? 2 x ?

?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ? x0 ?



? ? ? 4 4 2 ? 2 2? ? ? 6 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? ? 2 ? x ? x0 ? ?1 ? ? ? ? x ? x0 ? ? x0 ? ? . x x0 x? ? ? ? ? x0 x ? x0

当 x0 ?

? ? 2? 2? 2 时 , ? ? x ? 在 ? x0 , ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? x0 , ? 时 , ? x0 ? ? x0 ?

? 2? ? ( x) ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? ? x0 , ? 时, ? 0; x ? x0 ? x0 ?
当 x0 ?

? 2 ? ? 2 ? 2 时 , ? ? x ? 在 ? , x0 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? , x0 ? 时 , ? x0 ? ? x0 ?

? ? x? ? 2 ? ? 0; ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? ? , x0 ? 时, x ? x0 ? x0 ?
所以在 (0, 2) ? ( 2, ??) 上不存在“类对称点”. ??????????12 分

当 x0 ?

2 时 , ? ?( x) ?

2 x? 2 x

?

?

2

, 所 以 ? ? x ? 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 , 故

? ( x)
x ? x0

? 0. ???13 分

所以 x ?

2 是一个类对称点的横坐标. ????????????14 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中, 直线 C1 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 , M 是 C1 上任意一点, 点 P 在射线 OM 上, 且满足 | OP | ? | OM |? 4 ,记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)求曲线 C2 上的点到直线 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 的距离的最大值.

【解析】 (1) 设 P (ρ , θ ), M (ρ 1, θ ), ρ 1sin θ =2,ρ ρ 1=4. 消 ρ 1,得 C2: ρ =2sin θ . ?5 分 (2)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x +(y-1) =1,C3:x-y=2.
2 2

C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d=
3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ .??10 分 2

3 2 , 2

23(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3 | g ( x) ?| x ? 1| ?2 . (1)解不等式 | g ( x) |? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3 ,得不等式的解为 ?2 ? x ? 4 ??5 分
(2)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,

所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 ??10 分



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