数列通项公式的十种求法 2
数列通项公式的十种求法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 ， a1 ? 2 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
an?1 an 3 a a a 3 a 2 则 n ?1 故数列 { n } 是以 1 ? ? 1 ? n ? ， n?1 ? n ? ， n ?1 n n 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 a 3 3 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 n ? 1 ? (n ? 1) ，所以数列 {an } 的通项 n 2 2 2 3 1 公式为 an ? ( n ? )2n 。 2 2
解：an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 两边除以 2n?1 ， 得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 转化为
n
an?1 an 3 a ? n ? ，说明数列 { n } 是等差 n ?1 2 2 2 2n
数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 二、累加法
an 3 ? 1 ? (n ? 1) ，进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2
， 例 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
解：由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则
an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2
评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ， 进 而 求 出
(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a ) ?，即得数列 {an } 的通项公式。 ? a 1 1
， 例 3 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
解
：
由
an ?1 ? an ? 2 ?
n
?
3
得
1
an ?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1
则
1
an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ?2 ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3 ? n ? 1.
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 转化为 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ，进而求出
n n
an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ，即得数列 {an } 的通项公式。
例4
， 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n n
n?1 解： an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3 ，得
an?1 an 2 1 ， ? ? ? 3n?1 3n 3 3n?1
则
an?1 an 2 1 ，故 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1
an an a a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3
1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? ， ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?
2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 转化为
an?1 an 2 1 ，进而求出 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1
(
an an?1 an?1 an?2 an?2 an?3 a2 a1 a ? an ? ? n?1 ) ? ( n?1 ? n?2 ) ? ( n?2 ? n?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ，即得数列 ? n ? 的通项公式，最后再 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?
求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法
2
例 5 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
解：因为 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an，a1 ? 3 ，所以 an ? 0 ，则
n
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ，故 an
an ?
an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1
? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2
? n!
n ?1
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2
?5
n ( n ?1) 2
? n!.
n
评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转 化 为
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ， 进 而 求 出 an
an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ，即得数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2 a1
例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 {an } 满足
a1 ? 1，an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ，求 {an } 的通项公式。
解：因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) 所以 an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan 用②式－①式得 an ?1 ? an ? nan . 则 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ② ①
故
an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an
所以 an ?
an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ?2 a2 2
③
由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ， 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ，则 a2 ? a1 ，又知 a1 ? 1 ，则
3
a2 ? 1 ，代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以， {an } 的通项公式为 an ?
n! 。 2
n! . 2
an ?1 ? n ? 1(n ? 2) ，进而求出 an
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为
an an ?1 a ? ?? ? 3 ? a2 ，从而可得当 n ? 2时，an 的表达式，最后再求出数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2
四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ，a1 ? 6 ，求数列 ?an ? 的通项公式。
n
解：设 an ?1 ? x ? 5
n ?1
? 2(an ? x ? 5n )
④
n?1
a 2 将 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 代 入 ④ 式 ， 得 2an ? 3? 5 ? x ? 5 ? 2 n ? x ? 5， 等 式 两 边 消 去 2an ， 得
n n n
3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5，两边除以 5n ，得 3 ? 5 x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入④式得 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) x n
⑤ 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ，则
1 n
an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ，则数列 {an ? 5n } 是以 a1 ? 51 ? 1 为首 n an ? 5
n ?1
项，以 2 为公比的等比数列，则 an ? 5 ? 2
n
n ?1
，故 an ? 2
n
? 5n 。
n ?1
评注： 本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 转化为 an ?1 ? 5
? 2(an ? 5n ) ， 从而可知数列
{an ? 5n } 是等比数列，进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式，最后再求出数列 {an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4，a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
解：设 an ?1 ? x ? 2
n ?1
? y ? 3(an ? x ? 2n ? y )
⑥
将 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式，得
n
3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n
4
令?
?5 ? 2 x ? 3 x ?x ? 5 ，则 ? ，代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2
⑦
an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式，
1
得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ，则
n
an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3， an ? 5 ? 2n ? 2
1
3 故 数 列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 2 ? 1 为 首 项 ， 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此 是
n
an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13 ? 3n ?1 ，则 an ? 13 ? 3n ?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 转化为
n
an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ，从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列，进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式，最后再求数列 {an } 的通项公式。
例 9 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5，a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
2
解：设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z )
2 2
⑧
将 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式，得
2
2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn 2 ? yn ? z ) ，则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z
等式两边消去 2an ，得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z ，
2 2
?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ，则 ? y ? 10 ，代入⑧式，得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18)
⑨
5
由 a1 ? 3 ?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式，得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
2 2
an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ，故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 则 2 an ? 3n ? 10n ? 18
a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ，则 an ? 2n ? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 转化为
2
an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18) ，从而可知数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 是等比数
列，进而求出数列 {an ? 3n ? 10n ? 18} 的通项公式，最后再求出数列 {an } 的通项公式。
2
五、对数变换法 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2 ? 3 ? an ， a1 ? 7 ，求数列 {an } 的通项公式。
n 5
解：因为 an ?1 ? 2 ? 3 ? an，a1 ? 7 ，所以 an ? 0，an ?1 ? 0 。在 an ?1 ? 2 ? 3 ? an 式两边取常用对数得
n 5 n 5
lg an?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2
⑩
设 lg an ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y )
11 ○
将⑩式代入○式，得 5lg an ? n lg 3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) ，两边消去 5lg an 并整理， 11 得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ，则
lg 3 ? ?x ? 4 lg 3 ? x ? 5 x ? ? ，故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○式，得 lg an ?1 ? 11 由 lg a1 ? 得 lg an ?
lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4
12 ○
lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○式， 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0， 4 16 4
6
lg an ?1 ?
则
lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5， lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4
所以数列 {lg an ?
lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项，以 5 为公比的等比数列，则 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ，因此 4 16 4 4 16 4
lg an ? (lg 7 ?
lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 6 1 4 n ?1 n 4
? (lg 7 ? lg 3 ? lg 3 ? lg 2 )5 ? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5
1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1
? lg 3 ? lg 3 ? lg 2
1 16 1 4
n 4
1 16
1 4
? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 1 1
? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1
?3
5n?1 ? n 4
?3
5n?1 ?1 16 5
n?1
?2
?1
5n?1 ?1 4
)
? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1
5 n ? 4 n ?1 16
?2
4
)
?3
5 n ? 4 n ?1 16
?2
5n?1 ?1 4
。
n 5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an ?1 ? 2 ? 3 ? an 转化为
lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ，从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列，进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项公式，最后 4 16 4 4 16 4 lg an?1 ?
再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an
3( n ?1)2 解：因为 an ?1 ? an
3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2 ( n?2 )?( n?1)
3( n ?1)2n
，a1 ? 5 ，求数列 {an } 的通项公式。
n?1
n
3 n?2 ，所以 an ? an ?1
3( ? [an ?n ?1)?2 ]3n?2 2
n?2
n?1
3( ? [an ?n ? 2)?2 ]3 3
3
n?3
2
( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n?3)?( n?2 )?( n?1)
3 ? an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2
?? ? a13 ? a1
n?1
?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2 )?( n?1)
7
n ( n?1) 3n?1 ?n!?2 2
又 a1 ? 5 ，所以数列 {an } 的通项公式为 an
?5
3n?1 ?n!?2
n ( n?1) 2
。
3( n ?1)2n
评注： 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an ?1 ? an
两边取常用
a 对 数 得 l g n ?1 ?
n3? ( ? n1 ) an2 ， 即 g ? l
lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n ， 再 由 累 乘 法 可 推 知 lg an
n ( n?1) 2
n?1 lg an lg an ?1 lg a3 lg a2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an ?1 lg an ? 2 lg a2 lg a1
， 从而 an
?5
3n?1 ?n!?2
n ( n ?1) 2
。
七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?
8(n ? 1) 8 ，a1 ? ，求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9
解：由 an ?1 ? an ?
8(n ? 1) 8 及 a1 ? ，得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9
8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?
(2n ? 1) 2 ? 1 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ，所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ，则当 n ? k ? 1 时， (2k ? 1) 2
（1）当 n ? 1 时， a1 ?
（2）假设当 n ? k 时等式成立，即 ak ?
ak ?1 ? ak ?
8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
8
(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? ? ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2
*
由此可知，当 n ? k ? 1 时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何 n ? N 都成立。 ， 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后 再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?
1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an )，a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24
解：令 bn ? 1 ? 24an ，则 an ? 故 an ?1 ?
2
1 2 1 1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ，代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24 16 24
2
即 4bn ?1 ? (bn ? 3)
因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ，故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 , 可化为 bn ?1 ? 3 ?
则 2bn ?1 ? bn ? 3 ，即 bn ?1 ?
1 3 bn ? ， 2 2
1 (bn ? 3) ， 2
1 为公比的等比数列，因此 2
所以 {bn ? 3}是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项，以
1 1 1 1 2 1 1 1 bn ? 3 ? 2( )n ?1 ? ( ) n ?2 ，则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ，即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ，得 an ? ( )n ? ( )n ? 。 2 2 2 2 3 4 2 3
评注：本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ，使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?
1 3 bn ? 形式， 2 2
从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列，进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式，最后再求出数列 {an } 的通项公 式。
9
九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?
21an ? 24 ，a1 ? 4 ，求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1
解： x ? 令 因为
21x ? 24 21x ? 24 2 ， 4 x ?2 x ?4 0 ， x1 ? 2，x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 得 则 的两个不动点。 0 2 ? 4x ?1 4x ?1
21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 。所以数列 ? n ? ? ? ? ? 是以 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1
a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 1 13 ? ? 2 为首项，以 为公比的等比数列，故 n ? 2( )n ?1 ，则 an ? ?3。 13 n ?1 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 2( ) ? 1 9
评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键是 先 求 出 函 数 f ( x) ?
21x ? 24 21x ? 24 的不动点，即方程 x ? 的两个根 4x ?1 4x ?1
x1 ? 2，x2 ? 3 ，进而可推出
?a ? 2? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ，从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数列，再求出数列 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?
? an ? 2 ? ? ? 的通项公式，最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?
例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?
7an ? 2 ，a1 ? 2 ，求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3
解：令 x ?
7x ? 2 3x ? 1 2 ，得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ，则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ，所以 2an ? 3 2an ? 3
因为 an ?1 ? 1 ?
2 1 1 1 an ? ( )n ? ( )n ? 。 3 4 2 3
评注：本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ，使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?
1 3 bn ? 形式， 2 2
从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列，进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式，最后再求出数列 {an } 的通项公 式。
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