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4.2.3 参数方程与普通方程的互化



4.2.3 参数方程与普通方程的互化

1、导入新课
同学们,请回答下面的方程各表示什么样的曲线:

例:2x+y+1=0

直线

(1) y ? 3 x ? 2 x ? 1
2 2 2

抛物线
阅读课 本24页 后,再 回答

x y 椭圆 ( 2) ? ?1 9 4 ? x ? cos? ? 3 (3)? (?为参数) ? y ? sin ?

? x ? cos? ? 3 (?为参数) ? ? y ? sin ?

? ? ?

?( x ? 3) ? cos ? ? 2 2 y ? sin ? ?
2 2

( x ? 3) ? y ? cos ? ? sin ?
2 2 2 2

( x ? 3) ? y ? 1
2 2

表示圆心 (3,0),半径为 1 的圆 .

1、通过什么样的途径,能从参数方程 得到普通方程?

消去参数

2、在参数方程与普通方程互化中,要 注意哪些方面?

必须使x,y的取值范围保持一致.

2、参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为 普通方程,并说明各 表示什么曲线? ? x ? t ?1 ( 1 ) (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

? x ? sin ? ? cos? (2) (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin 2?

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
y
(1,-1)

代入消元法
x

o

(2) x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 所以x ? [? 2 , 2 ], 把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, x ? [? 2 , 2 ].
2

?

这是抛物线的一部分。

y

三角变换 消元法

? 2

o

2

参数方程化为普通方程的步骤

步骤:

1、写出定义域(x的范围)
2、消去参数(代入消元,三角变换消元)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中, 必须使x,y前后的取值范围保持一致。

3、普通方程化为参数方程
x y 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数
2 2

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 2 4t 2 (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 2 2 ? ? ?x ? 3 1 ? t ? x ? ?3 1 ? t (t为参数)和? (t为参数) ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t ?

3、普通方程化为参数方程
x2 y2 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 无限个 限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个? 如何区分? 两个解的范围一样只取一个;不一样时,两个都要取.

课堂小结:
1、参数方程化为普通方程的步骤
(1)写出定义域(x的范围)
(2)消去参数(代入消元,三角变换消元)

在参数方程与普通方程的互化中,必须 注意: 使x,y前后的取值范围保持一致。

2、普通方程化为参数方程的步骤
把含有参数等式代入即可

练习:
? 自主学习能力测评P38-跟踪训练1、2



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