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福建省福州市八中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷



福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试

高一数学 必修 2
考试时间:120 分钟
2016.1.26

试卷满分:150 分

第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每题有且只有一个选项是正 确的,请把答案填在答卷相应位置上) 1.直线 x

=1 的倾斜角和斜率分别是 A.45°,1 A.(-1,2) B.135°,-1 B.(2,- 1) C.90°,不存在 ) D.(2,1) ( ) C.(1,2) D.180°,不存在 2.直线 y-2=mx+m 经过一定点,则该点的坐标为 (

3.对于直线 m,n 和平面α ,β ,能得出α ⊥β 的一个条件是 A. m⊥n, m∥α,n∥β C. m∥n, n⊥β,m? α 腰梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? 2 C. B. 2 ? 1 D. 2 2 )

B. m⊥n, α∩β=m, n? α D. m∥n, m⊥α, n⊥β

4.如图所示,直观图四边形 A?B?C ?D? 是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等

2 2
)

5.与圆 O1:x2+y2+4x-4y+7=0 和圆 O2:x2+y2-4x-10y+13=0 都相切的直线 条数是( A.4 A.1∶ 3 B.3 B.1∶3 C. 2 ) D.1∶3 3 C.1∶9 D.1

6.正方体的内切球和外接球的体积之比为(

7.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 DD1,D1C1 的中点,则直线 OM( A.与 AC,MN 均垂直相交 B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直 C.与 MN 垂直,与 AC 不垂直 D.与 AC,MN 均不垂直 8.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方 程是(
2

)

) B.(x-1)2+y2=2 D.y =-2x
2

A. (x-1)2+y2=4 C.y =2x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 9.直线 x+2ay-1=0 与直线(a-1)x-ay-1=0 平行,则 a 的值是________. 10. 若 点 P(-4,-2,3) 关 于 坐 标 平 面 xOy 及 y 轴 的 对 称 点 的 坐 标 分 别 是 (a,b,c),(e,f,d),则 c+e= 于 . 12.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形, E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结 论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD;. ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面, 到达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有_____________.(请写出所有符合条件的序号) 三、解答题(本大题共有 4 个小题,共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证 明过程.) 13. (本小题满分 10 分) 如图,已知点 A(2,3),B(4,1),△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形, 点 C 在直线 l:x-2y+2=0 上. (1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积. . 11 . 一 个 圆 锥 的 轴 截 面 是 个 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 这 个 圆 锥 的 侧 面 积 等

14. (本小题满分 10 分) 下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD, 且 PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B—CEPD 的体积.

15. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过点 A( ?1,0) 和 B (3,0) ,且圆心在直线 x ? y ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若点 P ( x, y ) 为圆 C 上任意一点,求点 P 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的最大值

和最小值. 16. (本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心,求证: QG //平面 PBC .

第Ⅱ卷 一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.每题有且只有一个选项是正 确的,请把答案填在答卷相应位置上) 17.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离相等,则正确的结论是( A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必不垂直于 α C.平面 ABC 必与 α 相交 D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 18.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B. (0,1) C. (-1,0) D.(1,2) 2 19.已知集合 M={(x,y)|y= 9-x ,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若 M∩N≠ ? , 则实数 b 的取值范围是( A.[-3 2,3 2] C.(-3,3 2] ) B.[-3,3] D.[-3 2,3) )

20. 已知 定 义在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 4) ? f ( x ) , 且 在 区间 [0 , 2] 上

f ( x) ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? log a x 有三个不同的根,则 a 的范围为(
A. (2,4) B. (2,2 2 ) C. ( 6, 2 2) D. ( 6, 10)



二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 21.设点 A(-3,5)和 B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上找一点 P,使|PA|+|PB| 为最小,则这个最小值为________ 22.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 三、解答题(本大题共有 2 个小题,共 26 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证 明过程.)

23. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的 外接圆圆心为 E. (1)若圆 E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值. (2)设点 P 在圆 E 上,使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 3 个,试问这样的圆 E 是否存在?若存在,求出圆 E 的标准方程;若不存在,说明理由.

24. (本小题满分 14 分) 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面

ABCD , O 为 A1C1 与 B1D1 交 底面 ABCD 为菱形,
点,已知 AA1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60? . (Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1 BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; (Ⅲ)设点 M 在 ?BC1 D 内(含边界) , 且
A1

D1 O B1

C1

D A B

C

OM ? B1 D1 ,说明满足条件的点 M 的轨迹,并 求 OM 的最小值.

福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试
高一数学必修 2 试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1-8 CACA BDAB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 1 9. 0 或 10. 1 11. 2π 12. ①②③ 2 三、解答题:本大题共有 4 个小题,共 40 分 13. 解:(1)由题意可知,E 为 AB 的中点, 1 ∴E(3,2),且 kCE=- =1 -----------2 分 kAB ∴CE 所在直线方程为:y-2=x-3,即 x-y-1=0. -----------4 分
?x-2y+2=0, ? (2)由? ?x-y-1=0, ?

得 C(4,3),-----------6 分

∴|AC|=|BC|=2,AC⊥BC,-----------8 分 1 ∴S△ABC= |AC|·|BC|=2. -----------10 分 2 14. 解 (1)该组合体的三视图如图所示.

-----------3 分 (2)∵PD⊥平面 ABCD,PD?平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ----------5 分 ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又∵平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD. ∴BC⊥平面 PDCE. -----------7 分 ∵PD⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD,∴PD⊥DC. 又∵EC∥PD,PD=2,EC=1, ∴四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积: 1 1 S 梯形 PDCE= (PD+EC)· DC= ×3×2=3, 高一数学期末考试卷答案 第1页 共4页 2 2 1 1 ∴四棱锥 B—CEPD 的体积 VB—CEPD= S 梯形 PDCE· BC= ×3×2=2. -------10 分 3 3

15. 解:(1) AB 的中点坐标为 (1, 0) , ∴圆心在直线 x ? 1 上, ………… 1 分 又知圆心在直线 x ? y ? 0 上, ∴圆心坐标是 (1,1) ,圆心半径是 r ?

5 ,…………3 分

∴圆方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ;………… 5 分 (2)设圆心到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离 d ? ∴直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 相离, ∴点 P 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的最大值是 最小值是

1? 2 ? 4 5

?

7 5 ? 5 ,………7 分 5

7 12 5? 5? 5 , ………9 分 5 5

7 2 5? 5? 5 .………… 10 分 5 5
平面 ABC ,

16. 证明:(1) AB 是圆 O 的直径,得 AC ? BC ,… 1 分 由 PA ? 平面 ABC , BC 得 PA ? BC ,………3 分 又 PA ? AC ? A , PA 平面 PAC , AC 平面 PAC ,……… 4 分

所以 BC ? 平面 PAC .……… 5 分 (2)连 OG 并延长交 AC 于 M ,连接 QM , QO ,由 G 为 ?AOC 的重心, 得 M 为 AC 中点.……… 6 分 由 Q 为 PA 中点,得 QM / / PC , 又 O 为 AB 中点,得 OM / / BC ,……… 7 分 因为 QM ? MO ? M , QM 平面 QMO , MO 平面 QMO ,

BC ? PC ? C , BC

平面 PBC , PC

平面 PBC

所以平面 QMO / / 平面 PBC .……… 9 分 因为 QG 平面 QMO ,所以 QG / / 平面 PBC .……… 10 分

第Ⅱ卷
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 17-20 DBCD 二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分 21. 5 13 125 22. π 6 三、解答题: 本大题共有 2 个小题,共 26 分 23. 解: (1)直线 CD 的方程为 y=x+4,圆 E 的圆心为 E( , ),半径为 r= a.[ ……2 分由题意



=

a, ………4 分

解得 a=4. ………5 分 (2)因为|CD|= =4 , ………6 分 .………8 分

所以当△PCD 面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 (定值),

要使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 3 个,需圆 E 的半径 解得 a=10, ……11 分 此时,圆 E 的标准方程为(x-5) +(y-5) =50. ……12 分
2 2

=5

,……10 分

24. 解: (Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1 B1C1 D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1 B1C1 D1 , 所以 BB1 ? A1C1 . 所以 A1C1 ? B1 D1 . 而 BB1 ? B1 D1 ? B1 , ……3 分 所以 A1C1 ? 平面 B1 BDD1 . ……4 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1 E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A1 ACC1 为矩形. ……6 分 所以 OC1 ∥ AE . A ……1 分 因为 A1 B1C1 D1 为菱形, D E B A1 D1 O B1 M C C1

1 1 A1C1 , AE ? AC , A1C1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1 E 为平行四边形,
又 OC1 ? 则 AO ∥ C1 E . ……8 分 ……9 分 又 AO ? 平面 BC1 D , C1 E ? 平面 BC1 D , 所以 AO ∥平面 BC 1 D . (Ⅲ)在 ?BC1 D 内,满足 OM ? B1 D1 的点 M 的轨迹是线段 C1 E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1 D1 ,故欲使 OM ? B1 D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1 D 中, C1 D ? C1 B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1 E . 故 M 点一定在线段 C1 E 上. 当 OM ? C1 E 时, OM 取最小值. ……11 分 ……12 分

在直角三角形 OC1 E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ?

3 7 , C1 E ? , 2 2

OC1 ? OE 21 . ? C1 E 7

……14 分



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