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高中数学联赛模拟题4



联赛模拟题四
一试 一、 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1、若函数 y ? f ( x) 的图像经过 ( 2,4) 点,则 y ? f (2 ? 2 x) 的反函数必过点________. 2、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共 5 节课,如果第 1 节不 排生物,最后 1 节不排物理,那么,不同的排课表的方法有__________种. 3、

正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 边长为 1, 任取两点 Ai , Aj , 则 Ai A j ? A1 A2 最大值为_____. 4、某人排版一个三角形,该三角形有一个大小为 60°角,该角的两边边长分别为 x 和 9, 这个人排版时错把长 x 的边排成长 x ? 1 ,但发现其它两边的边长度没变,则 x = . 5、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ○ 1 三角形 ○ 2 正方形 ○ 3 梯形 ○ 4 五边形 ○ 5 六边形 6、若 n ? N ,且 n 2 ? 24 ? n 2 ? 9 为正整数,则 n ? ________ . 7、对于实数 x , ?x ? 表示不超过 x 的最大整数。对于某个整数 k ,恰存在 2008 个正整数

n1 , n2 ,?, n2008 , 满 足 k ?

? n ?? ? n ?? ? ? ? n ?
3 1 3 2 3

2 0 0 , 8

并 且 k

整 除

,则 ni (i ? 1,2,?2 0 )0 8 k =___________. 8、A、B 两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次。A 队的三名队 员是 A1 , A2 , A3 ,B 队三名队员是 B1 , B2 , B3 ,且 Ai 对 B j 的胜率为 A 队得分期望的最大可能值是_____________. 二.解答题(第 9 题 16 分,第 10,11 题各 20 分) 9.过点 (2,3) 作动直线 l 交椭圆

i (1 ? i, j ? 3) , i? j

x2 ? y 2 ? 1 于两个不同的点 P, Q ,过 P, Q 作椭圆的切 4

线,两条切线的交点为 M , (1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 设 O 为坐标原点,当四边形 POQM 的面积为 4 时,求直线 l 的方程. 10.已知数列 {an } : a1 ? 20, a2 ? 30, an?1 ? 3an ? an?1 . 确定 n 使 5an?1an ? 1为完全平方 数. 11.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a

二 试
1.如图,A、C、E 为直线上三点,B、D、F 为另一直线上三点,直线 AB、CD、EF 分别和 DE、FA、BC 相交.证明交点 L、M、N 三点共线.

U

C E N L V B F D W M

A

2.已知 n 为正整数,且 a1 , a2 , a3 ,?, ak (k ? 2) 是集合 {1,2,?, n} 中不同的正整数,其满足

n 整除 ai (ai ?1 ? 1),i ? 1,2,?, k ? 1,证明: n 不整除 ak (a1 ? 1) .

3.设 a, b, c ? R ? 且 abc ? 8. 证明:

a2 (1 ? a )(1 ? b )
3 3

?

b2 (1 ? b )(1 ? c )
3 3

?

c2 (1 ? c )(1 ? a )
3 3

?

4 . 3

4.设 n 是一个固定的正偶数.考虑一块 n ? n 的正方板,它被分成 n 个单位正 方格.板上两个不同的正方格, 如果有一条公共边, 就称它们为相邻的.将板上 N 个单位正方 格作上标记,使得板上的任意正方格(作上标记的或者没有作上标记的)都与至少一个作上 标记的正方格相邻.确定 N 的最小值.
2

模拟试题四参考答案
一试 一、填空题 1、 ( 4,0) ; 解:由于 f (2) ? 4 ,故函数 y ? f (2 ? 2 x) 过点 (0,4) ,则其反函数过点 ( 4,0) . 2、39; 解:由容斥原理知,有 3、 2 ? 1 ; 解:根据向量内积的几何意义,只要看向量在 A1 A2 方向上的投影即可。最大值为 2 +1 4、4

5! 4! 3! ? 2 ? ? ? 39 种. 2 2 2

x?
解:

9

1 2 ? cos60? ? x ? 4.

2○ 5, 5、○ 2○ 5 可以截得。 解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且○ 6、 n ? 5.

解:由 n ? 24 ? n ? 9 ?
2 2

33 n ? 24 ? n ? 9
2 2

知: n 2 ? 24 ? n 2 ? 9 可能为 1,3,

11,33,从而解得 n ? 5. 7、668.

n ? 1 ? k ? 3 n , 则 k 3 ? n, (k ? 1) 3 ? n , 满 足 k 整 除 n , 则 n 可 取 , k ? 668。 k 3 , k 3 ? k ,?k 3 ? 3k 2 ? 3k ,共 3k ? 4 个,所以 3k ? 4 ? 2008 91 8、 E? ? ; 60 91 解:讨论可知, A1 : B3 ; A2 : B1 ; A3 : B2 ,最大期望 E? ? 60
解:若
3

9. 解(1)依题意设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,与椭圆联立得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k (3 ? 2k ) x ? 4(4k 2 ? 12k ? 8) ? 0 2 ? ? 64(3 ? 2k ) ,由 ? ? 0 得 k ? 3 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则过 P, Q 椭圆的切线分别为 x1 x x x 1 和 2 ? y2 y ? 1○ 2 ? y1 y ? 1 ○ 4 4 1 ? x2 ? ○ 2 ? x1 , 并 且 由 y1 ? k ( x1 ? 2) ? 3 及 y2 ? k ( x2 ? 2) ? 3 得 ○ 1 3 ? 4k 3 y? (k ? ) ,同理 x ? (k ? ) ,故 3 ? 2k 2 3 ? 2k 2 点 M 的轨迹方程为 x ? 6 y ? 2 ? 0 (在椭圆外)
(2) PQ ? 为 d2 ?

64(3k ? 2)(1 ? k 2 ) 1 ? 4k 2
4 3k ? 2 3 ? 2k 1 ? k 2

,O 到 PQ 的距离为 d 1 ?

3 ? 2k 1? k 2


,M 到 PQ 的距离

, d1 ? d 2 ?

4k 2 ? 1 3k ? 2 1 ? k 2

1 4 3k ? 2 (d1 ? d 2 ) ? PQ ? 2 3 ? 2k 11 当 S ? 4 时解得 k ? 1 或 k ? ,直线 l 为 x ? y ? 1 ? 0 或 11x ? 4 y ? 10 ? 0 4 10.解 a1 ? 20, a2 ? 30, a3 ? 70, a4 ? 180. 我们用归纳法证明.
四边形 POQM 的面积 S ?
2 an ? an?1an?1 ? ?500 (n ? 2) (*) (1)当 n ? 2 时,结论成立. 2 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立。即 ak ? ak ?1ak ?1 ? ?500. 又由于 ak ?1 ? 3ak ? ak ?1 . 代入上式可得: 2 2 1 ak ? 3ak ak ?1 ? ak .○ ?1 ? ?500

2 2 2 则 当 n ? k ? 1 时 , ak ?1 ? ak ak ?2 ? ak ?1 ? ak (3ak ?1 ? ak ) ? ak ?1 ? 3ak ak ?1 ? ak ? ?500

2

1 )故当 n ? k ? 1 时,结论成立,即(*)式成立. (由○
2 又 an?1 ? 3an ? an?1 可知: an . ?1 ? 3an an?1 ? an ? ?500 2

则 5an?1an ? (an?1 ? an ) 2 ? 500

5an?1an ? 1 ? (an?1 ? an ) 2 ? 501.

设 5an?1an ? 1 ? t (t ? N ). 则 t ? (an?1 ? an ) 2 ? 501 . 知:
2 2

[t ? (an?1 ? an )] ? (an?1 ? an ? t ) ? 501. 又 an?1 ? an ? N 且 501 ? 1 ? 501 ? 3 ? 167
故?

? a n ?1 ? a n ? t ? ?1 ? a n ?1 ? a n ? t ? ?3 或? ?a n ?1 ? a n ? t ? 501 ?a n ?1 ? a n ? t ? 167

t ? 251 t ? 85 ? ? 或? (舍去) ?a n ?1 ? a n ? 250 ?a n ?1 ? a n ? 82 则当 n ? 3 时,满足条件.
故? 11.证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4(a ? b) 2 ? ? ? ? a?b?c?d ? b c d a a?b?c?d 2 2 2 2 a b c d ? ? ? ? (a ? b ? c ? d ) 事实上, b c d a a2 b2 c2 d2 ? ( ? b ? 2a) ? ( ? c ? 2b) ? ( ? d ? 2c) ? ( ? a ? 2d ) b c d a 1 1 1 1 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? d ) 2 ? (d ? a) 2 b c d a
由柯西不等式知





(a ? b)2 (b ? c)2 (c ? d ) 2 (d ? a) 2 ? ? ? ](a ? b ? c ? d ) b c d a ? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 又由 | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知 [

③ ④

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 ? 4(a ? b) 2
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

二 试
1. 证:如图图设 AB、CD、EF 围成一个△UVW ?平行直线视为交于无穷远点?. 对△UVW 三边上的五个共线三点组 LDE、AMF、BCN、ACE、BDF 用梅氏定理得 VL WD UE =1 ? ① LW DU EV U VA WM UF =1 ? ② AW MU FV VB WC UN A =1 ? ③ BW CU NV C VA WC UE =1 ? ④ E W AW CU EV N VB WD UF =1 ? ⑤ M BW DU FV L ①×②×③ NV MU LW V 得 = 1. UN WM VL ④×⑤

B
由梅氏定理之逆定理知 L、M、N 三点共线.

F

D

2. 如 果 n 整 除 ak (a1 ? 1) . 不 妨 设 n ? pq , 其 中 p ak , q a1 ? 1 , 则 可 以 推 得 : 显然 p, q 互素, 且 pq ai (ai ? 1)(i ? 1,2,?, k ) , 只要令 k ? 1,2 , p ai , q ai ? 1(i ? 1,2,?, k ) , 则 pq a1 (a1 ? 1) ? a2 (a2 ? 1) ? (a1 ? a2 )(a1 ? a2 ? 1) ,而 p ? | a1 ? a2 ? 1,q ? | a1 ? a2 ? 1 , 故 pq a1 ? a2 ,即 n | a1 ? a2 ,而 a1 , a2 ?{1,2,?, n} ,矛盾. 3.证明 由均值不等式得:

(t 2 ? t ? 1) ? (t ? 1) t 2 ? 2 ? . 2 2 a2 4a 2 ? 则 . 2 2 (1 ? a 3 )(1 ? b 3 ) (2 ? a )(2 ? b )
t 3 ? 1 ? (t 2 ? t ? 1)( t ? 1) ?

a2 b2 c2 1 ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 (2 ? a )(2 ? b ) (2 ? c )(2 ? b ) (2 ? a )(2 ? c ) 3 2 2 令 x ? a , y ? b 2 , z ? c 且 xyz ? 64. 则只要证明: x y z 1 ? ? ? . (2 ? x)(2 ? y ) (2 ? y )(2 ? z ) (2 ? z )(2 ? x) 3 通分整理等价于 2( x ? y ? z ) ? ( xy ? yz ? zx) ? 72. 由算术平均值及 xyz ? 64. 可证明成立.
我们只要证明 4.解 设 n ? 2 k . 首先将正方板黑白相间地涂成象国际象棋盘那样.设 f ( n) 为所求的 N 的最 小值. fw(n) 为必须作上标记的白格子最小数目,使得任一黑格都有一个作上标记的白格子 与之相邻.同样定义 fb(n) 为必须作上标记的黑格子最小数目,使得任一白格都有一个作上 标记的黑格子与之相邻. 由于 n 是偶数, “棋盘”是对称的,故有 fw(n) ? fb(n) 且 f ( n) ? fw(n) ? fb(n) . 为 方便 ,将“ 棋盘 ”按照 最长 的黑格 子对角 线水 平放 置,则 各行黑 格子 数目 分别为

2,4,?,2k ,?,4,2. 在含有 4i ? 2 个黑格子那行下面,将奇数位置白格子作上标记.当该行在对角线上方时,共 有 2i 个白格子作上了标记;而当该行在对角线下方时,共有 2i ? 1 个白格子作上了标记.因 k (k ? 1) 而作上标记的白格子共有 2 ? 4 ? ? ? k ? ? ? 3 ? 1 ? 个. 2 k (k ? 1) . 易见这时每个黑格子都与一个作上标记的白格子与之相邻.故得: fw( n) ? 2 k ( k ? 1) 考虑这 个作上标记的白格子.它们中任意两个没有相邻公共黑格子,所以至少还需 2 k ( k ? 1) k (k ? 1) k (k ? 1) . 因此, fw(n) ? fb(n) ? . 将 个黑格子作上标记,从而 fb(n) ? 2 2 2 n(n ? 2) f ( n) ? . 4



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