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高考数学一轮单元复习:第32讲 平面向量基本定理及向量坐标运算



│平面向量基本定理及向量坐标运算

│知识梳理 知识梳理

1.平面向量的基本定理 . 如果e 是一个平面内的两个不共线向量, 如果 1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量 , 那么对这 一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ 一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 1,λ2使 其中不共线的向量e , 其中不共线的向量 1 , e2 叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 有向量的一组基底.

│知识梳理
2.平面向量的坐标表示 (1) 平面向量的坐标表示 : 在直角坐标系中 , 分别取与 x 平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中, 作为基底, 轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量 的基本定理知, 的基本定理知 , 该平面内的任一向量 a 可表示成 a= xi + yj , (x,y) , 是一一对应的, 由于 a与数对 (x, y)是一一对应的 ,因此把 叫做向量a 的坐标, 轴上的坐标, 的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做 a在y轴上的坐标. 轴上的坐标. (2)规定 : ① 相等的向量坐标相同, 坐标相同的向量是相 规定: 相等的向量坐标相同, 等的向量; 等的向量; 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 ② 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 、 终点的 具体位置无关,只与其相对位置有关系. 具体位置无关,只与其相对位置有关系.

│知识梳理

3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a±b= (x1±x2,y1±y2) ; (2)若A,B,则 = (x2-x1,y2-y1); , (3)若a=(x,y),则λa= (λx,λy) ; (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x1y2-x2y1=0 . a∥b

│要点探究 要点探究
探究点1 探究点1 平面向量基本定理应用

例1 [2009·湖南卷 如图 -1所示,两块斜边长相等的直 湖南卷] 所示, 湖南卷 如图32- 所示 角三角板拼在一起, 角三角板拼在一起,若 求x,y. ,

│要点探究
思路】 【思路】 把AD按, 按 分解. 分解.

解答】 延长线于F, 【解答】 作DF⊥AB,交AB延长线于 ,设AB=AC=1 ⊥ , 延长线于 = = ?
6 BC=DE= 2 ,∵∠ ∵∠DEB=60°,∴BD= = = = ° = 2



6 2 3 = , 由∠DBF=45°,解得 =BF= × = ° 解得DF= = 2 2 2 3 3 . 故x=1+ = + ,y= = 2 2

│要点探究
点评】 只要平面内两向量不共线, 【点评】 只要平面内两向量不共线,则平面内任一向量就 可以按这两个向量分解,并且这种分解是唯一的. 可以按这两个向量分解,并且这种分解是唯一的.利用这一唯 一性既可以求参数,也可以进行证明,如下题: 一性既可以求参数,也可以进行证明,如下题: 已知P是 所在平面内一点, 的中点为 的中点为Q, 变式题 已知 是 △ ABC所在平面内一点, AP的中点为 , 所在平面内一点 BQ的中点为 ,CR的中点为 的中点为R, 的中点为 的中点为S. 的中点为 证明:只有唯一的一点P使得 使得S与 重合 重合. 证明:只有唯一的一点 使得 与P重合. 思路】 要证满足条件的点是唯一的, 【思路】 要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量 可用一组基底唯一表示. 可用一组基底唯一表示.

│要点探究
解答】 证明: 【解答】 证明:设 则

由题设知

由于a, 是平面 是平面ABC的基向量 , 所以 的基向量, 由于 , b是平面 的基向量 是唯一的一个向 所在平面内只有唯一的一点P使得 重合. 量,即△ABC所在平面内只有唯一的一点 使得 与P重合. 所在平面内只有唯一的一点 使得S与 重合

│要点探究

探究点2 探究点2

平面向量的坐标运算的应用

广东卷] 例2 [2009·广东卷 已知平面向量 =(x,1),b=(-x,x2), 广东卷 已知平面向量a= , =- , , 则向量a+ ) 则向量 +b( A.平行于 轴 .平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 .平行于第一、 C.平行于 轴 .平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 .平行于第二、 思路】 根据a+ 的坐标判断 的坐标判断. 【思路】 根据 +b的坐标判断.

│要点探究
解析】 【解析】 C 正确. 知C正确. 正确 a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0及向量的性质可 + = + , + 及向量的性质可

点评】 从向量的坐标可以知道向量的位置和大小, 【点评】 从向量的坐标可以知道向量的位置和大小,为数 形结合做好了准备. 形结合做好了准备.有了坐标就可以把向量的有关问题转化为 数的计算.如下题: 数的计算.如下题: 已知向量a= 变式题 已知向量 =(2,1),b=(1,2),则|a+λb|(λ∈R)的最 , = , + ∈ 的最 小值为( ) 小值为 A.
5 5

B. 2 5
5

C. 3 5
5

D.

5

│要点探究
思路】 表示为λ的函数 【思路】 把|a+λb|(λ∈R)表示为 的函数. + ∈ 表示为 的函数.

解析】 【解析】 C ∵a=(2,1),b=(1,2), = , = , ∴a+λb=(2+λ,1+2λ), + = + , + , ∴|a+λb|= (2 + λ )2 + (1 + 2 λ )2 + =
4 9 = 5? λ + ? + , ? ? 5? 5 ? 4 3 5 ? 时,|a+λb|取得最小值 故当λ= 故当 = + 取得最小值 ,选C. 5 5
2

│要点探究

探究点3 探究点3

向量共线的坐标表示的应用

重庆卷] 例3 [2009·重庆卷 已知向量 =(1,1),b=(2,x),若a+b 重庆卷 已知向量a= , = , , + 4b-2a平行 则实数x的值是 平行, ( ) 与4b-2a平行,则实数x的值是 A.-2 B.0 C.1 D.2 . . . .

思路】利用共线向量的坐标表示进行求解. 【思路】利用共线向量的坐标表示进行求解.

│要点探究
解析】 方法一:因为a= 【解析】 D 方法一 :因为 =(1,1),b=(2,x),所以 + , = , ,所以a+ b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由于 +b与4b-2a平行,得 平行, = , + - = - ,由于a+ 与 - 平行 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 =2. + - - = ,解得x= 方法二:因为a+b与4b-2a平行,则存在实数λ,使a+b= 方法二:因为 + 与 - 平行,则存在实数 , + = 平行 λ(4b- 2a), 即 (2λ+ 1)a= (4λ- 1)b, 根据向量共线的条件知 , - , + = - , 根据向量共线的条件知, 向量a与 共线 共线, 向量 与b共线,故x=2. = 点评】 解决向量共线问题时注意方程思想的应用. 【点评】 解决向量共线问题时注意方程思想的应用.对于 坐标均非零的向量共线,也可以从对应坐标成比例入手, 坐标均非零的向量共线,也可以从对应坐标成比例入手,如下 题:

│要点探究
如图32- 所示 已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6), 所示, 变式题 如图 - 2所示, 已知点 , , , 交点P的坐标 求AC和OB交点 的坐标. 和 交点 的坐标.

│要点探究

t(4,4)=(4t,4t),则 【解答】 方法一:设 解答】 方法一: = , (4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t). - = - . =(2,6)-(4,0)=(-2,6). - =- . 共线的充要条件知(4t- × - × - = , 由 共线的充要条件知 -4)×6-4t×(-2)=0,
3 解得t= 解得 = . 4

∴ =(4t,4t)=(3,3). = . 点坐标为(3,3). ∴P点坐标为 点坐标为 .

│要点探究

方法二:设P(x,y),则 方法二: , , =(x,y), , , =(4,4). . 共线, ∵ 共线,∴4x-4y=0.① - = ① 又 =(x-2,y-6), - , - , =(2,-6), , , 共线. 且向量 共线. ∴-6(x-2)+2(6-y)=0.② - + - = ② ①②组成的方程组 组成的方程组, 解①②组成的方程组,得x=3,y=3, = , = , 的坐标为(3,3). ∴点P的坐标为 的坐标为 .

│要点探究

探究点4 探究点4

向量坐标运算的综合应用

湖南卷] 例 4 [2009·湖南卷 已知向量 = (sinθ,cosθ-2sinθ),b= 湖南卷 已知向量a= , - , = (1,2). . (1)若a∥b,求tanθ的值; 的值; 若 ∥ , 的值 (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值. 的值. 若 = , 的值

思路】 利用向量关系把问题化为三角函数再求解. 【思路】 利用向量关系把问题化为三角函数再求解.

│要点探究

解答】 因为 因为a∥ ,所以2sinθ=cosθ-2sinθ, 【解答】 (1)因为 ∥b,所以 = - ,
1 于是4sinθ=cosθ,故tanθ= . 于是 = , = 4

(2)由|a|=|b|知, sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, 由 = 知 + - , 所以1- 所以 -2sin2θ+4sin2θ=5. + = 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=- , 从而- + - = , + =-1, =-
π ? 2 ? . 于是 sin ? 2θ + ? = ? 4? 2 ?

│要点探究
π π 9π 又由0<θ<π知, <2θ+ < + 又由 知 ,
4 4 4

5π π 7π 所以2θ+ . 所以 + = ,或2θ+ = + 4 4 4 4 3π θ= 因此θ= 因此θ= 2 ,或θ= 4 .

π

π

点评】 高考中,向量与三角函数常常结合在一起, 【点评】 高考中,向量与三角函数常常结合在一起,利用 向量命题,考查三角函数的知识.向量还常常与平面几何. 向量命题,考查三角函数的知识.向量还常常与平面几何.解 析几何联系,此时要注意数形结合,挖掘条件,如下题: 析几何联系,此时要注意数形结合,挖掘条件,如下题:

│要点探究

已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 变式题 已知点 , , 及 (1)求t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限. 为何值时, 在 轴上 轴上? 在 轴上 轴上? 在第二象限 在第二象限. 求 为何值时 (2)四边形 四边形OABP能否构成平行四边形 ? 若能 , 求出相应的 能否构成平行四边形? 四边形 能否构成平行四边形 若能, 求出相应的t 若不能,请说明理由. 值;若不能,请说明理由.

思路】 【思路】 利用 组). .

的坐标满足的条件列方程(组 或不等式 或不等式( 的坐标满足的条件列方程 组)或不等式

│要点探究
【解答】 (1) 解答】
2 ? 只需2+ = , = 只需 +3t=0,∴t= 3
1 ? = 3

轴上, =(1+3t,2+3t),若P在x轴上, + + , 在 轴上 轴上, ;若P在y轴上,只需 +3t=0,∴t 在 轴上 只需1+ = ,

?1 + 3 t < 0 , 在第二象限, ? ;若P在第二象限,只需 在第二象限 ? 2 + 3t > 0 , 2 1 ? . <t< 3 3

∴?

(2)∵ ∵ 则

= (1,2), ,

为平行四边形, = (3-3t,3-3t),若 OABP为平行四边形, - - , 为平行四边形

? 3 ? 3 t = 1, 无解,故四边形OABP不能构成平行四边形. 不能构成平行四边形. 由于 ? 无解,故四边形 不能构成平行四边形 3 ? 3t = 2 ?

│规律总结 规律总结

1. 平面向量基本定理是向量用坐标表示的理论基础, . 平面向量基本定理是向量用坐标表示的理论基础 , 向量坐标的加减和数乘运算的结果仍然是坐标形式. 向量坐标的加减和数乘运算的结果仍然是坐标形式. 2.向量共线的充要条件有两种形式: .向量共线的充要条件有两种形式: (1)a∥b ? b=λa(a≠0); ∥ = ; (2)a∥b ? x1y2-x2y1=0. ∥

│规律总结

3. 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念 , 向量的 . 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念, 坐标等于终点坐标减去起点坐标, 坐标等于终点坐标减去起点坐标 , 当表示向量的有向线段 的起点是坐标原点时,终点坐标就是表示向量的坐标. 的起点是坐标原点时,终点坐标就是表示向量的坐标. 4. 向量的运算包括: 线性运算和坐标运算, 即几何运 . 向量的运算包括 : 线性运算和坐标运算 , 算和代数运算, 算和代数运算 , 两种运算恰好说明了向量是数形结合的载 体.



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